ABDCAB CD总分第二十二届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题（小学高年级组）（时间 2016 年 12 月 10 日 10：00～11：00）一、选择题（每题 10 分，满分 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。）1.两个有限小数的整数部分分别是 7 和 10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（ ）种可能的取值．（A）16 （B）17 （C）18 （D）19解析：设这两个有限小数为 A、B，则 7×10=70<AB<8×11=88，很明显，积的整数部分可以是 70-87的整数，所以这两个有限小数的积的整数部分有 87-70+1=18 种。答案选 C。2.小明家距学校，乘地铁需要 30 分钟，乘公交车需要 50 分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了 40 分钟到达学校，其中换乘过程用了 6 分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（ ）分钟．（A）6 （B）8 （C）10 （D）12解析：方法一：单位“1”和假设法，设小明家距学校的路程为“1”，乘地铁的速度为 ，乘公交车速度为 ，40-6=34 分钟，假设全程都做地铁，能走 ×34= ，所以坐公交车用了（ -1）÷（ - ）=10 分钟。方法二：设数法和假设法，设小明家距学校的路程为[30，50]=150m，乘地铁的速度为150÷50=3m/min，乘公交车速度为 150÷30=5m/min，40-6=34 分钟，假设全程都做地铁，能走 5×34=170m，所以坐公交车用了（170-150）÷（5-3）=10 分钟。方法三：时间比和比例。同一段路程，乘地铁和乘公交车时间比为 3:5，全程乘地铁需要 30 分钟，有一段乘公交车则用 40-6=34 分钟，所以乘公交车的那段路比乘地铁多用 34-30=4 分钟，所以坐公交车用了 4÷（5-3）×5=10 分钟。答案选 C。3.将长方形 ABCD 对角线平均分成 12 段，连接成右图，长 方形 ABCD 内部空白部分面积总和是 10 平方厘米，那么阴影部分面积总和 是（ ）平方厘米．（A）14 （B）16 （C）18 （D）20解析：如图大长方形被分成六个小长方形，根据相似模型， 这些小长方形的长和宽的长度比依次为 1:2:3:4:5:6，空白部分与阴影部分 的面积比为:[12+（32-22）+（52-42）]:[（22-12）+（42-32）+（62-52）]=15:21=5:7,所以阴影部分的面积总和为10÷5×7=14cm2答案选 A.4.请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那 么乘积是（ ）．（A）2986 （B）2858 （C）2672 （D）2754解析：选择题解析一：显然三位数乘以两位数小于三千，所以 D 小 于 3， =17 或27，根据四个选项，只有 2754÷17=162,2754÷27=102，检验 27×102 符合题意。答案 AB CDEFHGKJI为 D。选择题解析二：将四个选项中的数分解质因数，并写出三位数乘两位数的形式，看两位数的个位数是否是 7 以及列竖式是否符合题意。2986=2×1493，2858=2×1429，2672=24×167，2754=2×34×17只有 102×27 符合题意。答案为 D。如果此题为填空，填空题解析：为了方便叙述，给空格标上字母，如图所示：(1) ×7= ，所以 A=1，同时 F=K。(2)根据乘积 ，H=1 或 2，D 等于 1 或 2,；(3)当 H=D 等于 1 时，则 E=G=9，则 C×D 尾数为 9，只有 1×9，3×3，和7×7，所以只有 1×9 符合题意，此时，D=1， ×D=109， =109，而109×7 小于 900，排除此种情况。(4)当 H 等于 2 时，则 D=2， ×2= ，所以 = ， ×7= ，C=2。所以答案为 102×27=2754。答案选 D。5.在序列 20170……中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（ ）．（A）8615 （B）2016 （C）4023 （D）2017解析：把序列写出来：2017 08615 02855088174023 948……，所以答案为 B。本题本意应该是考查奇偶性，该序列每个数字的奇偶性规律如下：偶偶奇奇偶偶偶奇奇偶偶偶奇奇偶偶偶奇奇偶偶偶……，从第 5 个数开始，五个数为一周期，规律为偶偶偶奇奇，不可能出现偶偶奇偶的情况，因为奇数都是两个连续出现的。选 B。6.从 0 至 9 中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（ ）种填法使得方框中话是正确的．这句话里有（ ）个数大于 1，有（ ）个数大于 2，有（ ）个数大于 3，有（）个数大于 4．（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解析：（1）设四个括号内填的数依次是 a、b、c、d。这句话中共有 8 个数，显然 a>b>c>d≥0。（2）由于括号内四个数不同，因为只有 0、1 不大于 1，（加上已给出的 1），所以 a≥5。（3）a≥5，所以至少有一个数大于 4，则 d≥1。而 a=5，则 b、c、d 中有一个是 0，则这种情况不存在；所以 a≥6，又因为 a 不可能是 8（8 个数中已有一个 1），所以 a=7、或 6。（4）当 a=7 时，则所填四个数最小的 d≥2。当 d=2 时，b 不能等于 6，（已经有 1、2、2 三个数不大于 2 了），b 只能是 5，c=4、3 满足条件。这句话为：这句话里有 7 个数大于 1，有 5 个数大于 2，有 4 个数大于 3，有 2 个数大于 4；或这句话里有 7 个数大于 1，有 5 个数大于 2，有 3 个数大于 3，有 2 个数大于 4．当 d=3 时，为了满足三个数大于 4，则 b、c 分别为 6、5，没有 5 个数大于 3。（5）当 a=6 时，则 bcd 中有一个数为 0 或 1，显然只能是 d=1。若 d=1，则 b=4（b 不能等于5），c≥3，c=3，这句话为：这句话里有 6 个数大于 1，有 4 个数大于 2，有 3 个数大于 3，有 1 个数大于 4；错误。（6）所以有 2 种填法。选 B。二、填空题(每小题 10 分, 满分 40 分) 7.若 ,那么 A 的值是 。 解析：倒推计算。4-2.25=1.75， ， ，, = , ， ，A=4。8.右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表 1—5 这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有________种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．解析：计算五角星五条线段端点上的两个数之和，1-5 每个数都算了两次，相加得（1+2+3+4+5）×2=30，把 30 拆成五个连续自然数相加，中间数为 30÷5=6，,4+5+6+7+8=30，五条线上的数之和依次为 4、5、6、7、8。因此，与 1 的相对的两个数只能是 3 和 4，3 相对的是 5，4 相对的是 2，也就是确定 1 的位置，3，4 也确定了，进而 2,5 的位置随之确定。所以有 5×2=10 种。9.右图中，ABCD 是平行四边形，E 为 CD 的中点，AE 和 BD 的交点为 F ，AC 和 BE 的交点为 H ，AC 和 BD 的交点为 G ，四 边形 EHGF的面积是 15 平方厘米，则 ABCD 的面积是__________平方厘 米．解析：考查几何几大模型。解法一：蝴蝶模型与一半模型。（1）E 是 CD 的中点，DE:AB=1:2，所以S△DEF:S△DAF:S△BEF:S△ABF=1：2：2：4。（2）设平行四边形面积为“1”。E 是 CD 的中点，所以 S△ABG、S△ADG、S△BEC占平行四边形面积的 ，梯形 SABED占平行四边形面积的 ；（3）所以 S△DAF= × = ，S△GAF= = ，同理可知 S△GHB= 。（4）根据一半模型，S△ABE= ，S四 EHGF= = ；（5） ABCD 的面积是 15÷ =180cm2。解法二：相似模型、等积变形与一半模型。（1）E 是 CD 的中点，DE:AB=1:2，所以 DF:FB=1：2，而 DG=GB， DF:FG= =2：1；（2）设平行四边形面积为“1”。E 是 CD 的中点，所以 S△ABG、S△ADG占平行四边形面积的 ，所以 S△GAF= = ，同理可知 S△GHB= 。 AD（3）根据一半模型，S△ABE= ，S四 EHGF= = ；（4） ABCD 的面积是 15÷ =180cm2。解法三：燕尾模型与一半模型。（1）设平行四边形面积为“1”。S△ADC= 。（2）E 是 CD 的中点，G 为 AC 的中点，连接 FC，设 S△DEF为 1 份，S△ECF也为 1 份，根据燕尾 S△ADF为 2 份，再根据燕尾 S△ACF也为 2 份，根据按比例分配，S△AGF、S△GCF都为 1 份，所以 S△GAF=÷（2+1+1+1+1）= ，同理可知 S△GHB= 。（3）根据一半模型，S△ABE= ，S四 EHGF= = ；（4） ABCD 的面积是 15÷ =180cm2。解法四：风筝模型与一半模型。连接 EG 同样可解。10.若 2017,1029 与 725 除以 d 的余数均为 r，那么 d-r 的最大值是________．解析：余数与同余。（1）2017-1029=988，1029-725=304，因为 2017,1029 与 725 除以 d 的余数均为 r，所以 d|988，d|304，D 是 988 和 304 的公约数。（2）988=22×13×19,304=24×19，所以 d 可以是 2,4,19,38,76。（3）经检验 2017,1029 与 725 除以 76 的余数依次为 41,41,41；2017,1029 与 725 除以 38 的余数依次为 3,3,3；（2017,1029 与 725 除以 2 的余数均为 1，2017,1029 与 725 除以 4 的余数均为1，2017,1029 与 725 除以 19 的余数依次为 3,3,3；）（4）d-r 的最大值是 35。总分第二十二届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题（小学高年级组）（时间 2016 年 12 月 10 日 10：00～11：00）一、选择题（每题 10 分，满分 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。）1.两个有限小数的整数部分分别是 7 和 10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（ ）种可能的取值．（A）16 （B）17 （C）18 （D）192.小明家距学校，乘地铁需要 30 分钟，乘公交车需要 50 分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了 40 分钟到达学校，其中换乘过程用了 6 分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（ ）分钟．（A）6 （B）8 （C）10 （D）123.将长方形 ABCD 对角线平均分成 12 段，连接成右图，长方形 ABCD 内部 空白部分面积总和是 10 平方厘米，那么阴影部分面积总和是（ ）平方厘米．（A）14 （B）16 （C）18 （D）204.请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（ ）．（A）2986 （B）2858 （C）2672 （D）27545.在序列 20170……中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（ ）．（A）8615 （B）2016 （C）4023 （D）20176.从 0 至 9 中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（ ）种填法使得方框中话是正确的．这句话里有（ ）个数大于 1，有（ ）个数大于 2，有（ ）个数大于 3，有（）个数大于 4．（A）1 （B）2 （C）3 （D）4二、填空题(每小题 10 分, 满分 40 分) 7.若 ,那么 A 的值是 。 8.右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表 1—5 这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有________种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9.右图中，ABCD 是平行四边形，E 为 CD 的中点，AE 和 BD 的交点为 F ，AC 和 BE 的交点为 H ，AC 和 BD 的交点为 G ，四 边形 EHGF的面积是 15 平方厘米，则 ABCD 的面积是__________平方厘 米．10.若 2017,1029 与 725 除以 d 的余数均为 r，那么 d-r 的 最大值是________．