西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷课程名称【编号】：数学课程标准解读【0692】 A 卷考试类别：大作业 满分：100 分一、简答题（10 分）（注意：本题二选一）1 《普通高中数学课程标准（2017 年版）》提出的“四基”是什么，谈谈对其的认识。答：“四基”即学生通过学习，获得必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；“四能”发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。认识：在新时代的发展下，传统数学中的双基（基础知识，基本技能）已不能适应现代数学教学，甚至影响着数学课程的改革和发展。 新课标提出的四基是对学生进行良好的数学教育的重要体现，关系到学生当前学习和发展。四基应当贯穿整个数学教学，在不同学段和不同领域的教学中都应当体现四基。在具体的教学实践中，无论是教学目标的定位，教学活动的设计，教学内容的呈现还是教学的展开过程都应当考虑如何关注四基体现四基。 四基更强调的是学生两种能力的培养，即发现问题和提出问题的能力，分析问题和解决问题的能力。两种能力体现了学生创新学习的基本过程，也是一个完整的探索研究的过程。只有对课标与课程理解透彻，具体，才能处理好知识，技能。能力三者之间的关系，才能提高数学教学的实效性。二、论述题（40 分）（注意：本题二选一）2 如何认识高中核心素养直观想象的内涵与价值，请谈谈如何培养和评价数学抽象素养？答：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养。 主要包括:借助空间形式认识事物的位置关系,形态变化与运动规律;利用图形描述,分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型, 探索解决问题的思路。（1）基于问题情境，注重过程引导，积累从具体到抽象的活动经验； （2）采取多种措施，培养学生抽象性思考问题的习惯和思维方式； （3）教学中注意把握数学抽象素养的水平，科学地进行评价；三、实践题（50 分）《普通高中数学课程标准（2017 年版）》颁布，其中一个显著特点将培养和提升学生的数学核心素养作为数学教育的总目标。请以下面材料完成一篇教学设计并说明如何体现课程标准的理念。函数的概念【目的】理解基于对应关系的函数概念，感悟函数概念进一步抽象的必要性。【情境】在高中函数概念的教学中，为什么要强调函数是实数集合之间的对应关系？【分析】初中学习的函数概念表述为：如果在一个变化过程中有两个变量 和 ，对于变量 的每一个值，变量 都有唯一的值与它对应，那么称 是 的函数。它强调的是用函数描述一个变化过- 1 - 程。例如，在匀速直线运动中（速度为 ），路程 随着时间 的变化而变化，因此路程是时间的函数，记为 。再如，在单价 、数量 、总价 的关系中，总价 随着数量 的变化而变化，因此总价是数量的函数，记为 ，通常把这样的表述称为函数的“变量说”。但是，上述两个函数自变量的单位不同，不能进行加、减等运算。若舍去其具体背景进一步抽象，可以得到一般的正比例函数 为非零常数 。于是，两个正比例函数就可以进行运算了，所得结果还是一般的函数。到了高中，函数的概念表述为：给定两个非空实数集合 A 和 B，以及对应关系 f，若对于集合 A 中的每一个实数 ，集合 B 中有唯一实数 与 对应，则称 为集合 A 上的函数，这个概念更强调实数集与实数集间的对应关系，通常把这样的表述成为函数的“对应关系说”。这样，不同的函数可以进行加、减、乘、除等运算，函数研究的内涵和应用的范围得以扩展。对应关系强调的是对应的结果，而不是对应的过程。例如，借助高中函数的表达式，可以认定函数 ， 与函数 ， 表示同一个函数。更一般地，可以判断两个函数是否相同：如果两个函数的定义域相同，且相同的变量值对应的函数值也相同，那么，这两个函数就是同一个函数。直观地说，如果两个函数的图象重合，这两个函数是同一个函数，此外，函数 ， ， ， ， ， ，使用的字母不同，但它们表示的是同一个函数，因为它们的定义域和对应关系分别对应相同；反之，函数 ，， ， ，的对应关系相同，但它们是不同的函数，因为它们的定义域不同。因此，函数的表达与字母的使用无关。使用对应关系刻画函教还有更为深刻的含义，这是因为有些函数很难用解析式表示。侧如，狄利克雷函数因此，对函数概念的进一步抽象是必要的。注：1851 年，德国数学家黎曼（Bernhard Riemanm，1826-1866）给出函数定义[1]，假定 x 是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。如果对它的每一个值，都有未知量 w 的唯一的一个值与之对应，则 w 称为 x 的函数。人们通常称这样的定义为函数的“对应说”，因为定义中采用了“唯一的一个值与之对应”的说法。法国布尔巴基学派（Nicolas Bourbaki）的宗旨是在集合论的基础上，用形式化的方法重新构建数学最基本的概念和法则。1939 年，布尔巴基学派给出函数的定义[2]。（[1]Dieter Ruthing．函数概念的一些定义从 Joh．Bernoulli 到 N．Bourbaki[J]．数学译林，1986，3，261[2] DieterRuthing ． 函数概念的一 些 定义 从 Joh ．Bernoulli 到 N ．Bourbaki[J]． 数学译林，1986，3，263）设 E 和 F 是两个集合，它们可以不同，也可以相同。E 中的变元 x 和变元 y 之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于第一个 x∈E，都存在唯一的 y∈F，它满足与 x 给定的关系。称这样的运算为函数，它以上述方式将与 x 有给定关系的元素 y∈F 与每一个元素 x∈E 相联系。称 y 是函数在元素 x 处的值，函数值由给定的关系所确定。两个等价的函数关系确定同一个函数。人们通常称这样的定义为“关系说”，由此可以看到，高中函数定义的表述是黎曼对应说与布尔巴基学派关系说的融合，采纳了“对应”和“关系”的表述方式。后来，有些学者把布尔巴基学派的定义进一步符号化。设 F 是定义在集合 X 和 Y 上的一个二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一个 x ∈X，都存在唯一的 y∈Y，使得（x，y）∈F。这样，函数的定义九完全用数学的符号形式化了，在这个定义中，已经很难找到变量、甚至对应- 2 - 的影子了，进而完全摆脱了函数的物理背景。虽然这种完全形式化的定义更为一般化，却是以丧失数学直观为代价的，因此不适于基础教育阶段的数学教育。答案：函数的概念 [教学目标]1、通过本节课的学习，让学生跟深刻的了解函数的意义。能够理解函数中一个量随着另一个量的变化而变化的，两者的依赖关系的教学。2、学习用集合语言刻画函数 3、理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域并能够正确使用“区间”的符号表文库示某些函数的定义域。 4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。 [教学重难点]   教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念    教学难点：函数的概念及符号 y=f(x)的理解 [教学过程](一）、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； (二)、教学过程 一、情境引入函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：    （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；    （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；    （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 通过多教材上三个例子的研究，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 二、合作交流 1．用集合语言刻画函数关键词语有哪些？ 2．明确函数的三要素：定义域、值域、解析式 注意：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。3．函数的概念：  设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（function）．    记作： y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域（domain）；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域（range）。区间的概念：区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；知识点 1：常量与变量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量。 点拨：变量和常量最大的区别在于表示量的数值变还是不变，此外，还要注意，区分变量和常量，要结合具体问题进行具体分析，如在火车行驶的问题上，火车在启动阶段，速度 v 就不是常量，而是变量。 例题一：（1）瓜子每千克 12 元，买 x 千克瓜子需付款 y 元，用 x 的代数式表示 y，并指出这个问题中的变量和常量。 解：y=12x。在这个问题中，单价 12 元是常量，瓜子的重量 x 千克、付款金- 3 - 额 y 元是变量。 （2）写出圆周长公式，并指出公式中每个字母所表示的量是常量还是变量 解：C=2πR 或 C=πd.在公式中，2π 或 π 是常量，半径 R 或直径 d、圆周长 C都是常量。 点拨：变量一般用字母表示，常量用具体的数表示，但有时也用字母表示，如例题（2）中的 π 表示圆周率是常量。知识点 2：在某个变化过程中有两个变量 x 和 y，如果在 x 的允许范围内，变量 y 随着x 的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量 y 叫做变量 x 的函数，x 叫做自变量，y 叫做因变量。 理解函数的概念，要注意以下三点： 其一：函数并不是数，它是指在一个变化过程中两个变量的一种对应关系，至于这两个变量是否一定要用字母 x、y 来表示，不一定。 其二：自变量 x 虽然可以任意取值，但在很多问题中，自变量 x 的取值是有范围的，如 x 表示时间则 x 一般在正数范围内取值；自变量允许取值的范围叫做函数的定义域。 其三：对自变量 x 在定义域内的每一个值，变量 y 都有唯一确定的值与它对应。这里确定与对应对理解函数概念是非常重要的关键词，至于唯一确定是中学阶段对函数概念的一种界定。例题二：（1）2x+1 是不是变量 x 的函数？为什么? (2）在二元一次方程 2x+3y=6 中，y 是不是 x 的函数？为什么？ 解：（1）因为 x 是变量，代数式 2x+1 的值也是一个变量，且随着字母 x 的取值而唯一确定，所以变量 2x+1 是变量 x 的函数。 （2）在二元一次方程 2x+3y=6 中，因为 x、y 可以取不同的数值，所以 x、y是变量。当 x 取确定的值时，可由 y= 求出 y，即 y 的值随之唯一确定。所以在这个二元一次方程中，y 是 x 的函数。练习：物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G=mg,其中，m 表示质量，G 表示重力，g=9.8 牛/千克，物体所受的重量 G 是不是它的质量 m 的函数？知识点 3：函数的定义域与函数值 函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。 如果 y 是 x 的函数，那么对于 x 在定义域内取定的一个值 a，变量 y 的对应值叫做当 x=a 时的函数值。 符号“y=f(x）”表示 y 是 x 的函数，f 表示 y 随 x 变化而变化的规律。 函数的自变量取定义域中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域。如函数 y=x+10（4<x<10）,它的值域是 14<y<20 例题 3：求下列函数的定义域 （1）y=3 -2x （2）y= （3)y= (4)y= 分析：（1）是整式函数，整式函数的定义域是全体实数； （2）是分式函数，分式函数的定义域是使分母不等于零的一切实数 （3）是二次根式函数，二次根数函数的定义域是使被开方数大于等于零- 4 - 的一切实数 （4）是二次根式与分式的综合，要注意综合考虑 解：（1）定义域是全体函数 （2）2x+3=0，即 x=- （3）5-2x≥0,即 x≤ （4） 解不等式组得 即- x<练习：求下列各函数的定义域 （1）y=2x+ (2)y= (3)y= (4)y=例题 4：已知 f(x)= ,求 f(- )的值 分析：函数与函数值是不同的概念，函数是指两个变量之间的某种关系，而函数值指的是当自变量取某一数值时，函数的一个对应值，求 f(- )得值，就是当 x=- 时，求 y= ,的值，只需要把 x=- 代入后计算即可。 解：f(- )= =-练习：已知 f(x）= ,求 f(-2),f(- ),f(0),f( )练习：把下列 x 与 y 的关系写成 y=f(x)的形式，并指出函数的定义域 （1）8x+7y=16 (2)xy=9 (3)x= (4)(x+2)(y-3)=-6[教学反思]函数是一个系统，而不只是一个单纯的式子。它由定义域、值域、对应法则三要素组成。通过例题的讲解，进一步地巩固了定义域与值域，同时突出了值域与集合 B 的关系。 总体来说，这堂课较好地使学生在学习中完成了“引起关注--激发热情--与体验”的过程。当发现学生发言不普遍，个别学生有自卑心理，羞于启齿时，要鼓励他们大胆地说出自己的想法，不要怕说错；当个别学生过分好胜，没有经过认真的思考就抢先发表意见时，则要告诉他们只有作好准备，才能做出负责任的发言。在授课过程中语言方面还不够精炼，在今后的教学中要不断的反思与探索，走向更为成熟与完善。- 5 -