2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 C 卷）一、填空题（每小题 6 分，共 48 分）1．（6 分）计算： + ＝　 　．2．（6 分）某月里，星期五、星期六和星期日各有 5 天，那么该月的第 1 日是星期　 　．3．（6 分）大于 且小于 的真分数有　 　个．4．（6 分）哥哥和弟弟各买了若干个苹果，哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果个数一样多”．弟弟想了想，对哥哥说：“若我给你一个苹果，你的苹果数将是我的 2 倍”，则哥哥与弟弟共买了　 　个苹果．5．（6 分）图中，AB＝AD，∠DBC＝21°，∠ACB＝39°，则∠ABC＝　 　度．6．（6 分）已知抽水机甲和抽水机乙的工作效率比是 3：4，如两台抽水机同时抽取某水池，15 小时抽干水池，现在，乙抽水机抽水 9 小时后关闭，再将甲抽水机打开，要抽干水池还需要　 　小时．7．（6 分）n为正整数，形式为 2n﹣1 的质数称为梅森数，例如：22﹣1＝3，23﹣1＝7 是梅森数．最近，美国学者刷新了最大梅森数，n＝74207281，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，它的个位数是．8．（6 分）图中，ABCD是直角梯形，上底AD＝2，下底BC＝6，E是DC上一点，三角形ABE的面积是15.6，三角形AED的面积是 4.8，则梯形ABCD的面积是　 　．二、解答题（共 4 小题，满分 22 分）9．（5 分）甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步，已知甲的速度是每分钟 180m，乙的速度是每分钟 240m，在 30 分钟内，它们相遇了 24 次，问跑道的长度最多是多少米？10．（5 分）一筐苹果分成甲乙两份，甲的个数和乙的苹果个数比是 27：25，甲多乙少，若从甲中至少取出 4 个，加入乙中，则乙多甲少，问这筐苹果有多少个？11．（6 分）如图是一个等边三角形，等分为 4 个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色．涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？12．（6 分）三台车床A，B，C各以一定的工作效率加工同一种标准件，A车床比C车床早开机 10 分钟，C车床比B车床早开机 5 分钟，B车床开机 10 分钟后，B，C车床加工的标准件的数量相同，C车床开机 30 分钟后，A，C两车床加工的标准件个数相同，B车床开机多少分钟后就能与A车床加工的标准件的个数相同？三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）黑板上先写下一串数：1，2，3，…，100，如果每次都擦去最前面的 6 个，并在这串数的最后再写上擦去的 6 个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不足 6个．问： （1）最后黑板上剩下的这些数的和是多少？（2）最后所写的那个数是多少？14．（15 分）数学竞赛，填空题 8 道，答对 1 题，得 4 分，未答对，得 0 分；问答题 6 道，答对 1 道，得 7 分，未答对，得 0 分，参赛人数 400 人，至少有多少人的总分相同？2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 C 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 6 分，共 48 分）1．（6 分）计算： + ＝　 　．【分析】可以先将原式化简，将分子分母分别计算出结果，然后最后求得结果．【解答】解：根据分析，原式＝ +＝ ＝＝＝＝＝ ；故答案是： ．2．（6 分）某月里，星期五、星期六和星期日各有 5 天，那么该月的第 1 日是星期　五　．【分析】首先根据 1 个月最多有 31 天，可得：1 个月最多有 4 个星期零 3 天；然后根据该月星期五、星期六和星期日各有 5 天，可得：该月的第 1 日是星期五，据此解答即可．【解答】解：因为 31÷7＝4（个）…3（天），所以 1 个月最多有 4 个星期零 3 天，因为该月星期五、星期六和星期日各有 5 天，所以该月的第 1 日是星期五．答：该月的第 1 日是星期五．故答案为：五．3．（6 分）大于 且小于 的真分数有　无穷多　个．【分析】比较两个分数大小时，要么分子和相同，要么分母相同，才可比较．所以针对此题中的两个分数，先要通分变成分母相同的两个分数再进行比较即可．【解答】解： ＝ ， ＝ ；比 2015 大且小于 2016 的数有无数个，这无数个数都比 2015×2016 小．以这无数个数中的任何一个数做分子，2015×2016 做分母组成的所有分数都是真分数．故：大于 且小于 的真分数有 无穷多个． 4．（6 分）哥哥和弟弟各买了若干个苹果，哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果个数一样多”．弟弟想了想，对哥哥说：“若我给你一个苹果，你的苹果数将是我的 2 倍”，则哥哥与弟弟共买了　 12 　 个苹果．【分析】首先分析哥哥比弟弟多几个苹果，同时找到第二次的数量差即可求出一份量．问题解决．【解答】解：依题意可知：哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果个数一样多”．说明哥哥比弟弟多 2 个苹果．弟弟若给哥哥一个苹果，哥哥的苹果数将是弟弟的 2 倍”，那么弟弟比哥哥少了 4 个苹果．此时 4÷（2﹣1）＝4（个）．弟弟此时 4 个，哥哥 8 个共 4+8＝12 个．故答案为：125．（6 分）图中，AB＝AD，∠DBC＝21°，∠ACB＝39°，则∠ABC＝　 81 　 度．【分析】如果想求出∠ABC的度数，那么需要求出∠ABD度数，根据AB＝AD可知底角相等．再根据外角即可求解．【解答】解：依题意可知：∠DBC＝21°，∠ACB＝39°根据外角等于不相邻的内角和可知∠ADB＝∠C+∠DBC＝21°+39°＝60°．∵AB＝AD．∴∠ADB＝∠ABD＝60°．∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝60°+21°＝81°．故答案为：816．（6 分）已知抽水机甲和抽水机乙的工作效率比是 3：4，如两台抽水机同时抽取某水池，15 小时抽干水池，现在，乙抽水机抽水 9 小时后关闭，再将甲抽水机打开，要抽干水池还需要　 23 　 小时．【分析】根据“工作量＝工作效率×工作时间”．由已知条件设出甲、乙的工作效率分别是 、1，可得工作总量（ +1）×15＝26.25，工作总量减去乙已经完成的工作量就得出乙要完成的工作量，再有公式即可算出甲的工作时间．【解答】解：设甲、乙的工作效率分别是 、1．（ +1）×15＝26.2526.25﹣1×9＝17.2517.25÷ ＝23（小时）故：要抽干水池还需要 23 小时．7．（6 分）n为正整数，形式为 2n﹣1 的质数称为梅森数，例如：22﹣1＝3，23﹣1＝7 是梅森数．最近，美国学者刷新了最大梅森数，n＝74207281，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，它的个位数是1 　 ．【分析】根据题意，此梅森数为 2n﹣1＝274207281﹣1，要求梅森数的个位数，只需求得 274207281的个位数，而 274207281的个位数可以根据周期规律求得．【解答】解：根据分析，此梅森数为 2n﹣1＝274207281﹣1，∵21＝2；22＝4；23＝8；24＝16；25＝32；26＝64；27＝128；28＝256；29＝512；210＝1024…由此可知，2n个位数字为：2、4、8、6、2、4、8、6、2…即n＝1，5，9，…时，个位数字为 2；n＝2，6，10，…时，个位数字为 4；n＝3，7，11，…时，个位数字为 8；n＝4，8，12，…时，个位数字为 6； 综上，2n个位数字按周期循环出现，周期为 4，而 74207281＝4×18551820+1，故 274207281的个位数与 21的个位数相同，可以断定 274207281的个位数为 2，274207281﹣1 的个位数为：2﹣1＝1．故答案是：1．8．（6 分）图中，ABCD是直角梯形，上底AD＝2，下底BC＝6，E是DC上一点，三角形ABE的面积是15.6，三角形AED的面积是 4.8，则梯形ABCD的面积是　 24 　 ．【分析】按题意，可以先求得三角形ADE底边AD上的高，再求得三角形BEC的底边BC上的高，即可求得三角形ECB的面积，不难求得梯形ABCD的面积．【解答】解：根据分析，先求得三角形ADE底边AD上的高＝4.8÷（ ×AD）＝4.8÷1＝4.8，如图，过E作EG⊥BC，EF⊥AB，显然EG＝EF，由梯形的面积可知，×（AD+BC）×AB＝ ×（2+6）×（AF+FB）＝4×（4.8+EG），梯形的面积＝S△ADE+S△ABE+S△BCE＝15.6+4.8+ ＝20.4+ ＝20.4+3EG，4×（4.8+EG）＝20.4+3EG，解得：EG＝1.2，故梯形ABCD的面积＝4×（4.8+EG）＝4×（4.8+1.2）＝24．故答案是：24．二、解答题（共 4 小题，满分 22 分）9．（5 分）甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步，已知甲的速度是每分钟 180m，乙的速度是每分钟 240m，在 30 分钟内，它们相遇了 24 次，问跑道的长度最多是多少米？【分析】每相遇一次，两人就跑一个跑道的全长，先把两人是反向跑步，所以先求出两人的速度的和，再乘跑步的时间 30 分钟，即可求出 24 圈的长度，再除以 24 即可求出跑道的长度．【解答】解：（180+240）×30÷24＝420×30÷24＝12600÷24＝525（米）答：跑道的长度最多是 525 米．10．（5 分）一筐苹果分成甲乙两份，甲的个数和乙的苹果个数比是 27：25，甲多乙少，若从甲中至少取出 4 个，加入乙中，则乙多甲少，问这筐苹果有多少个？【分析】“从甲中至少取出 4 个，加入乙中，则乙多甲少”这句话的意思是，如果从甲中取出 3个，加入乙中，则乙不比甲多．【解答】解：依题意可知：从甲中取出 4 个，加入乙中，则乙比甲多；从甲中取出 3 个，加入乙中，则乙不比甲多．设甲有 27n，乙有 25n， 则：得 3≤n＜4，所以n＝3，苹果共有：27n+25n＝156 个，这筐苹果有 156 个．11．（6 分）如图是一个等边三角形，等分为 4 个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色．涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？【分析】共分为两大类情况，只使用 1 种颜色、使用两种颜色，分类讨论得出结果．【解答】解：①只是用一种颜色：有 1+1＝2 种情况，②两种颜色的点数比为 1：5，有 2+2＝4 种，③两种颜色的点数比为 2：4，有 2×（1+1+3）＝10 种，④两种颜色的点数比为 3：3，有有 1+3+3+1＝8 种，共有凃法：2+4+10+8＝24 种．12．（6 分）三台车床A，B，C各以一定的工作效率加工同一种标准件，A车床比C车床早开机 10 分钟，C车床比B车床早开机 5 分钟，B车床开机 10 分钟后，B，C车床加工的标准件的数量相同，C车床开机 30 分钟后，A，C两车床加工的标准件个数相同，B车床开机多少分钟后就能与A车床加工的标准件的个数相同？【分析】首先根据工作量相同时，效率和时间是反比关系，找到时间比即可求出效率比，时间可求．【解答】解：依题意可知：A开机 10 分钟C开机，再过 5 分钟B开机．当B开机 10 分钟时，C开机 15 分钟，时间比为：2：3，那么效率比为 3：2．当C开机 30 分钟时，A开机 40 分钟，时间比为 3：4，效率比为 4：3．效率化连比A：B：C＝3：6：4．根据B的效率是A的 2 倍．那么时间差是 15 分钟，再过 15 分钟即可使工作数量相同．答：B车床开机 15 分钟后B与A车床工作数量相同．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）黑板上先写下一串数：1，2，3，…，100，如果每次都擦去最前面的 6 个，并在这串数的最后再写上擦去的 6 个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不足 6个．问：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是多少？（2）最后所写的那个数是多少？【分析】首先分析第一问 擦去 1，2，3，4，5，6 但是写上了 21 数字和没有变化．剩下的数字和就是所有的数字和．第二问中发现数字是等差数列枚举即可．【解答】解：依题意可知：（1）擦去 1，2，3，4，5，6 但是写上了 21 数字和没有变化． 最后的数字和是 1+2+3+…+100 的数字和为 5050．（2）第一次擦下去的数字是 1，2，3，4，5，6 写上去的是 21，第二次擦去的是7，8，9，10，11，12 写上的数字是 57．那么 21 与 57 的数字差为 36．100÷6＝16…4．说明擦去 96 个数字填上了 16 个数字，这 16 个数字是以 21 位首项公差为 36 的等差数列．后来共 20 个数字．这 20 个数字为：9 7，98，99，100，21，57，93，129，165，201，237，273，309，345，381，417，453，489，525，561．然后 20÷6＝3…2．说明最后两个数字剩下了，新添加了 3 个数字，那么最后写的数字就是309，345，381，417，453，489 的数字和为 2394．答：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是 5050．（2）最后所写的那个数是 2394．14．（15 分）数学竞赛，填空题 8 道，答对 1 题，得 4 分，未答对，得 0 分；问答题 6 道，答对 1 道，得 7 分，未答对，得 0 分，参赛人数 400 人，至少有多少人的总分相同？【分析】首先找出有多少种情况的结果，然后用 400 看每一组有多少人看看有没有余数，就是平均分的最大值．【解答】解：方法一：设 4 分题答对a道，7 分题答对b道，则a可取 0 到 8 共 9 种，b可取 0 到6 共 7 种，得分情况共有 9×7＝63 种，再考虑得分重复情况，当a′＝a+7，b′＝b﹣4 时，两次分数相同，即（a，b）＝（0，6）和（7，2），（0，5）和（7，1），（0，4）和（7，0），（1，6）和（8，2），（1，5）和（8，1），（1，4）和（8，0）；共 6 种情况下，分数会相同．所以不同分数共 63﹣6＝57（种），400÷57＝7…1.7+1＝8，至少有 8 人分数相同，故答案为：8方法二：依题意可知：8 道填空和 6 道问答题共 8×4+6×7＝74（分）没有答对问答时：共有 9 种情况：0，4，8，12，16，20，24，28，32．答对 1 个问答时；共有 9 种情况：7，11，15，19，23，27，31，35，39．答对 2 个问答时：共 9 种情况：14，18，22，26，30，34，38，42，46．答对 3 个问答时：共 9 种情况：21，25，29，33，37，41，45，49，53．答对 4 问答时：共 9 种情况：28，32，36，40，44，48，52，56，60．重复 2 个共 7 个．答对 5 问答时：共 9 种情况：35，39，43，47，51，55，59，63，67．重复 2 个共 7 个．答对 6 问答时：共 9 种情况：42，46，50，54，58，62，66，70，74．重复 2 个共 7 个．共有 4×9+7×3＝57．400÷57＝7…1.7+1＝8．故答案为：8．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:02:01；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800