2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）决赛试卷（小高组）一、填空题1．（10 分）计算：2017 ÷2019 + ＝　 　．2．（10 分）如图，圆周上有 12 个点，将圆周 12 等分．以这些等分点为四个顶点的矩形共有　 　个．3．（10 分）如图，已知ABCDEFGHI为正九边形，那么∠DIG＝　 　度．4．（10 分）在黑板上按照从小到大的顺序写出所有能被 17 或 20 整除的非零自然数；17，20，34，40，51，60，…那么这列数中排在第 289 位的数是　 　．5．（10 分）甲农场有鸡、鸭共 625 只，乙农场有鸡、鸭共 748 只．其中乙农场的鸡比甲农场多 24%，甲农场的鸭比乙农场少 15%，那么乙农场有鸡　 　只．6．（10 分）已知自然数n有 10 个约数，2n有 20 个约数，3n有 15 个约数，那么 6n有　 　个约数．7．（10 分）甲乙两人进行 10 公里赛跑，甲跑完全程用了 50 分钟，此时乙离终点还差 500 米．为了给乙一次机会，两人约定，第二次赛跑时甲退后 500 米起跑．假设两次跑步两人速度都不变，则第二次跑步第一个人到达终点时，另一人离终点还差　 　米．8．（10 分）对于两位数n，A、B、C、D四人有以下的对话：A：“n能被 24整除．”B：“n能被 33整除．”C：“n能被 62整除．”D：“n的各位数字之和为 15．”其中只有 2 人的话是正确的，那么n的取值为　 　．二、解答下列各题9．（10 分）一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两个两位数也都是完全平方数．那么这个四位数是多少？10．（10 分）盒子里有 4 枚白色棋子和 2 枚黑色棋子，菲菲分若干次拿走所有棋子，每次至少拿走一枚，共有多少种不同拿法？11．（10 分）熙熙军团的胸章是如图所示的正八边形图案，已知正八边形的边长为 18，那么阴影部分的面积是多少？12．（10 分）一个机关锁如图所示，锁上共有八卦和太极共九个按键，依次按下其中四个按键后（按键按下便不可再按），若与正确按法一致则开锁，若不一致则机关重置至初始状态．已知在太极按 下之前不可连续按下正对的两个卦象键（例如图中的乾、坤或兑、艮），且正确按法只有一种，那么打开这个机关锁至多需要试多少次？三、解答下列各题13．（15 分）已知一个长方体的长、宽、高的比为 4：3：2，用平面切割，切割面为六边形（如图所示），已知所有这样的六边形的周长最小为 36，求这个长方体的表面积．14．（15 分）如图，A、B、C分别是某学校的北门、西门和东门，从测量地图上看，线段AD、AE、DE均为公路，B、C分别在AD、AE上，DC、BE交于P点，△PBC、△PBD、△PCE的面积分别为 73000 平方米、163000 平方米和 694000 平方米，小叶和小峰步行速度相同．一日，他们放学后同时从北门出发，小叶先跑后走，小峰一直步行，当小叶用 3 分钟跑到西门时，小峰恰好步行到东门，小叶继续用 8 分钟跑到D处，然后沿DE步行与从东门到E再往D走的小峰会合，第二天按相同出行方式，如果小峰想在DE路段的中点处于小叶会合，需要比小叶提前多少分钟出发？2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）决赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、填空题1．（10 分）计算：2017 ÷2019 + ＝　 1 　 ．【分析】先把带分数化成假分数，然后把分子变形进行简算即可．【解答】解：2017 ÷2019 +＝ ÷ +＝ ÷ +＝ ÷ +＝ +＝1故答案为：1．2．（10 分）如图，圆周上有 12 个点，将圆周 12 等分．以这些等分点为四个顶点的矩形共有　 15 　 个． 【分析】12 个等分点是 6 条直径的端点，以这些等分点为顶点的矩形，一定以其中两条直径为对角线，所以共有 ＝15 个矩形，据此解答即可．【解答】解：12 个等分点是 6 条直径的端点，共有： ＝ ＝15（个）答：以这些等分点为四个顶点的矩形共有 15 个．故答案为：15．3．（10 分）如图，已知ABCDEFGHI为正九边形，那么∠DIG＝　 60° 　 度．【分析】可以利用九边形的内角和，以及三角形的内角和，作辅助线，连接正九边形的中心，则OI＝OD＝OG，从而可以求得∠DIG的度数．【解答】解：根据分析，如图，O为正九边形中心，则OI＝OD＝OG，∠DIG＝∠DIO+∠OIG＝＝ ∠DOG＝ ×（360°÷9×3）＝60°故答案是：60°．4．（10 分）在黑板上按照从小到大的顺序写出所有能被 17 或 20 整除的非零自然数；17，20，34，40，51，60，…那么这列数中排在第 289 位的数是　 2737 　 ．【分析】先根据 17 和 20 的公倍数，算出数列的周期，再算出每个周期有多少个数，即可求出第 289 位数是多少【解答】解：根据分析，17 和 20 的倍数交替出现，17 和 20 的最小公倍数为 340，易知，1～340 为一个周期，每个周期中列出了 17+20﹣1 个数，289＝36×8+1∴数列中第 289 个数是：340×8+17＝2737故答案为：27375．（10 分）甲农场有鸡、鸭共 625 只，乙农场有鸡、鸭共 748 只．其中乙农场的鸡比甲农场多 24%，甲农场的鸭比乙农场少 15%，那么乙农场有鸡　 248 　 只．【分析】根据“乙农场的鸡比甲农场多 24%，”可得：甲农场的鸡是乙农场的鸡的 1÷（1+24%）＝ ；根据“甲农场的鸭比乙农场少 15%”可得：甲农场的鸭是乙农场的鸭的 1﹣15%＝ ；假设甲农场的鸡鸭都是乙农场的鸡鸭的 ，则多算了（748× ﹣625），对应着分率也多了鸡的（ ﹣），由此用除法解答即可求出乙农场的鸡的只数．【解答】解：1÷（1+24%）＝1﹣15%＝（748× ﹣625）÷（ ﹣ ）＝10.8÷＝248（只）答：乙农场有鸡 248 只．故答案为：248．6．（10 分）已知自然数n有 10 个约数，2n有 20 个约数，3n有 15 个约数，那么 6n有　 30 　 个约数．【分析】n有 10 个约数，而 2n有 20 个约数，按约数和定理，得知n的分解式中不含有 2，3n有15 个约数，假设 3n的分解式中不含有 3，则 3n的约数应该是（1+1）×10＝20 个，则n的分解式中含有一个 3，6n分成 2×3×n，再根据约数和定理，可以求得约数的个数．【解答】解：根据分析，n有 10 个约数，2n有 20 个约数，按约数和定理，又∵ ，∴n的质因数分解式中含有 0 个 2；设n＝3amx，又∵ ，∴n的质因数分解式中含有一个 3，根据约数和定理，得n的约数和为：（a+1）（x+1）＝10，解得：a＝1，x＝4，此时n＝3×m4；故 6n＝2×3×n＝2×3×3×m4＝2×32×m4，其约数和为：（1+1）×（2+1）（4+1）＝2×3×5＝30，故答案是：30．7．（10 分）甲乙两人进行 10 公里赛跑，甲跑完全程用了 50 分钟，此时乙离终点还差 500 米．为了给乙一次机会，两人约定，第二次赛跑时甲退后 500 米起跑．假设两次跑步两人速度都不变，则第二次跑步第一个人到达终点时，另一人离终点还差　 25 　 米．【分析】首先找到不变量是时间，两人两次赛跑的时间是相同的，路程是成比例关系．【解答】解：依题意可知：当甲跑全程 10 公里时即 10000 米，乙跑全程的 10000﹣500＝9500 米，两人跑的时间相同，路程成比例关系．即 10000：9500＝20：19＝（10000+500）：9975．当甲跑完 10500 米时，乙跑 9975 米．还差 10000﹣9975＝25（米）故答案为：25 8．（10 分）对于两位数n，A、B、C、D四人有以下的对话：A：“n能被 24整除．”B：“n能被 33整除．”C：“n能被 62整除．”D：“n的各位数字之和为 15．”其中只有 2 人的话是正确的，那么n的取值为　 96 　 ．【分析】四个人只有两个人的话是正确的，B、C的话都要求n的数字和是 9 的倍数，与的D的话矛盾，从四个人的话中找到共同点和不同的，以及矛盾的点，即可判断谁的话是正确的．【解答】解：根据分析，B、C的话都要求n的数字和是 9 的倍数，而C要求n的数字之和为 15，若D正确，则B、C错误，所以A正确，n＝24×3＝96若D错误，则 24 和 33、62和 33、24 和 62的最小公倍数均大于 100，矛盾综上所述，n的取值为 96故答案为：96．二、解答下列各题9．（10 分）一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两个两位数也都是完全平方数．那么这个四位数是多少？【分析】可以先假设这个四位数为 ，分两半，前两位和后两位，再根据完全平方数的性质，可以在两位数里缩小范围，最后分别确定这两个两位数．【解答】解：根据分析，设这个四位数为 ＝n2，∵前两位 是完全平方数，故≥16，∴n≥41，又∵ ， 均为完全平方数，∴后两位 ≥2n﹣1≥2×41﹣1＝81，∴ ＝81，＝16，此四位数为 1681，故答案是：1681．10．（10 分）盒子里有 4 枚白色棋子和 2 枚黑色棋子，菲菲分若干次拿走所有棋子，每次至少拿走一枚，共有多少种不同拿法？【分析】可以将将白棋看作列，黑棋看作行，则每次拿走若干棋子后，转化为左、下某一个点的情况，然后构造图，最后求得不同的拿法．【解答】解：根据分析，如图将白棋看作列，黑棋看作行，则每次拿走若干棋子后，转化为左、下某一个点的情况，所以构造如图：每个格点上标的数等于这点左、下所有格点各数之和，所以 4 枚白棋 2 枚黑棋共有 208 种不同拿法．故答案是：208．11．（10 分）熙熙军团的胸章是如图所示的正八边形图案，已知正八边形的边长为 18，那么阴影部分的面积是多少？【分析】按题意，将图等积变形，将阴影部分的面积转化为求其它三角形的面积，最后转化为S阴影＝4S△ABO＝ ＝182＝324．【解答】解：根据分析，如图， S阴影＝2S△ABO+2S△COD，显然S△COE＝S△COD＝S△BOA，故：S阴影＝4S△ABO＝ ＝182＝324故答案是：324．12．（10 分）一个机关锁如图所示，锁上共有八卦和太极共九个按键，依次按下其中四个按键后（按键按下便不可再按），若与正确按法一致则开锁，若不一致则机关重置至初始状态．已知在太极按下之前不可连续按下正对的两个卦象键（例如图中的乾、坤或兑、艮），且正确按法只有一种，那么打开这个机关锁至多需要试多少次？【分析】从九个按键中依此按 4 个，有 9×8×7＝3024（种），其中前两次相对的有 8×1×7×6＝336（种），中间两次相对且第一步不是太极的有 8×6×1×6＝288（种），末两次相对，前两部不相对且部署太极的有 8×6×4×1＝192（种），最后求和．【解答】解：根据分析，从九个按键中依此按 4 个，有 9×8×7＝3024（种）；其中前两次相对的有 8×1×7×6＝336（种）；中间两次相对且第一步不是太极的有 8×6×1×6＝288（种）；末两次相对，前两步不相对且不是太极的有 8×6×4×1＝192（种）；所以所有可以按的方法有：3024﹣336﹣288﹣192＝2208（种）．即至多需要试 2208 次．故答案是：2208．三、解答下列各题13．（15 分）已知一个长方体的长、宽、高的比为 4：3：2，用平面切割，切割面为六边形（如图所示），已知所有这样的六边形的周长最小为 36，求这个长方体的表面积．【分析】按题意，长方体的长、宽、高的比为 4：3：2，而六边形周长最小，则六边形的六条边在展开图上应构成一条线段，此时可以求出长方体的长、宽、高，表面积也即可求得．【解答】解：根据分析，长方体展开图如下图：（AB与CE是同一条棱，P与Q是同一点） 所以周长最小时，六边形的六条边在展开图上应构成一条线段，所以长方体表面积为：2×（长×宽+长×高+宽×高）＝2×（2×3+3×4+4×2）×[（）2÷2]＝416，故答案是：416．14．（15 分）如图，A、B、C分别是某学校的北门、西门和东门，从测量地图上看，线段AD、AE、DE均为公路，B、C分别在AD、AE上，DC、BE交于P点，△PBC、△PBD、△PCE的面积分别为 73000 平方米、163000 平方米和 694000 平方米，小叶和小峰步行速度相同．一日，他们放学后同时从北门出发，小叶先跑后走，小峰一直步行，当小叶用 3 分钟跑到西门时，小峰恰好步行到东门，小叶继续用 8 分钟跑到D处，然后沿DE步行与从东门到E再往D走的小峰会合，第二天按相同出行方式，如果小峰想在DE路段的中点处于小叶会合，需要比小叶提前多少分钟出发？【分析】首先分析各个线段之间的比例关系，找到两段距离的路程之间的关系，做差即可．【解答】解：依题意可知：＝ ， ＝ ＝ • ＝ × ＝ ；所以小峰走CE需要 26 分钟，如果小峰想在DE路段的中点处和小叶会和，此时需要小叶提前 26﹣8＝18（分）．答：如果小峰想在DE路段的中点处于小叶会合，需要比小叶提前 18 分钟．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:03:18；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800