第十八届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题 C（小学高年级组）（时间 2013 年 3 月 23 日 10：00～11：00）一、选择题（每题 10 分，满分 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。）1． 如果2013×20132014×2014 + 2012=nm（其中m与n为互质的自然数）, 那么m+n的值是（ ）。 A．1243 B．1343 C．4025 D．4029 解析：计算之巧算。2013×20132014×2014+ 2012=2013220132+ 2×2013+1+2013− 1=201322016×2013=671672，m+n的值是671+672=1343。答案为 B。2．甲、乙、丙三位同学都把 25 克糖放入 100 克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下事情: 最终,（ ）得到的糖水最甜。 A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 解析：浓度问题。原糖水浓度为 25÷（100+25）×100%=20%。甲加入 20%的糖水，所得糖水的浓度不变；乙加入浓度为 20÷（20+30）×100%=40%的糖水，所得糖水的浓度增加；丙加入浓度为 2÷（2+3）×100%=40%的糖水，但丙加 40%的糖水比乙多，所得糖水的浓度增加比丙多，所以丙得到的糖水最甜。选 C。3． 一只青蛙 8 点从深为 12 米的井底向上爬, 它每向上爬 3 米, 因为井壁打滑, 就会下滑 1 米, 下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的三分之一。 8 点 17 分时, 青蛙第二次爬至离井口 3 米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟。 A．22 B．20 C．17 D．16 解析：周期问题。下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的三；爬一米和滑一米的时间相同，以爬三米，滑一米为一个周期；（3-1）×3+3=9m,青蛙第一次爬至离井口 3 米之处，（3-1）×4+1=9m，青蛙第二次爬至离井口 3 米之处，此时，青蛙爬了 4 个周期加 1 米，用时 17 分钟，所以青蛙每爬 1m 或滑 1m 所用时间为 1 分钟。（12—3）÷（3-1）=4…1，青蛙从井底爬到井口经过 5 个周期，再爬 2m，用时 5×（3+1）+2=22分钟，答案为 A。4．已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ, 其中 α、β、γ 是自然数。 如果A的二分之一是完全平方数, A的三分之一是完全立方数, A的五分之一是某个自然数的五次方, 那么 α+β+γ的最小值是（ ）。 A．10 B．17 C．23 D．31 解析：数论A的二分之一是完全平方数，α-1、β、γ 是 2 的倍数；A的三分之一是完全立方数，α、β-1、γ 是 3 的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α、β、γ-1 是 5 的倍数；要 α+β+γ 的值最小，分别求满足条件的 α、β、γ 值。3×5-1 是 2 的倍数，α 的最小值为15，2×3-1 是 5 的倍数，γ 的最小值为 6，2×5-1 是 3 的倍数，β 的最小值为 10，α+β+γ 的最小值是 15+6+10=31。答案选 D。 A B C D 5．今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边中点的连线。 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部所画线段的位置不对称。 从图中所示的位置开始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开。 在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形。 那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（ ）个三角形。 A．9 B．10 C．11 D．12 解析：在甲三角形平移过程中，甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形有以下情况，如下图所示，注意要用动态的思想去分析平移过程。所以答案为 C。6． 从 1～11 这 11 个整数中任意取出 6 个数, 则下列结论正确的有（ ）个。 ① 其中必有两个数互质; ② 其中必有一个数是其中另一个数的倍数; ③ 其中必有一个数的 2 倍是其中另一个数的倍数。 A．3 B．2 C．1 D．0 解析：抽屉原理① 1 和其它大于 1 的自然数互质，相邻两自然数互质，1～11 有 5 个偶数，再选一个数，必定有两数相邻，其中必有两个数互质。②（1）（2，4,8）（3，6）（5,10）（7）（11）（9），显然取出 4、5、6、7、9、11，没有一个数是其中另一个数的倍数。③（4,8）（3，6，9）（5,10）（7）（11），每组数中取一个，取 5 个数（不同时取 4,6），可以保证没有一个数的 2 倍是另一个数的倍数，但再取 1,2，或每组内其他数，其中必有一个数的 2 倍是其中另一个数的倍数。所以有 2 个正确，答案为 B。二、填空题(每小题 10 分, 满分 40 分) 7． 有四个人去书店买书, 每人买了 4 本不同的书, 且每两个人恰有 2 本书相同, 那么这 4 个人至少买了_______种书。 8． 每天, 小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡 路BC 和一段下坡路 CD （如右图）。 已知AB:BC:CD = 1:2:1, 并 且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为 3:2:4。 那么小明上学 与放学回家所用的时间比是_______。 解析：与分数比相关的行程问题。设全程为“1”，则上学走得平路、上坡路、下坡路的路程分别为14，12，14，则放学回家走得平路、上坡路、下坡路的路程分别为14， 14，12。小明上学与放学回家所用的时间比是：（14÷3+12÷2+14÷4 ）：（14÷3 +12÷4+14÷2 ）=19： 169．黑板上有 11 个 1, 22 个 2, 33 个 3, 44 个 4。 做以下操作: 每次擦掉 3 个不同的数字,并且把没擦掉的第四种数字多写 2 个。 例如: 某次操作擦掉 1 个 1, 1 个 2, 1 个 3, 那就再写上 2 个 4。 经过若干次操作后, 黑板上只剩下 3 个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是______ _。 解析：操作问题。倒推最简单情况，黑板上只剩下 3 个 数字, 而且无法按规定继续进行操作,只有两种情况 2 个 a，一个 b，或 3 个 a。我们根据规则进行操作，当剩下 3 个数字，无法继 续进行操作，问题得解。1 2 3 46 8 4 02 4 0 80 2 4 64 0 2 42 4 0 21 3 2 13 2 1 02 1 0 21 0 2 10 2 1 0 M N 所以答案为 2×2×3=1210．如右图, 正方形ABCD被分成了面积相同的 8 个三角形, 如果DG = 5, 那么正方形ABCD面积是 _______ 。 解析：如图，过 G 点做 MO 平行 AD，交 CD、AB 分别于点 M、O，过F 做 FN⊥BC 于 N。设正方形面积为“1”，则正方形边长为 1，图中每个三角形面积都是18。由图易知，BI=HA=14,四边形 FGHI 是平行四边形，HI=FG=12，GO=GM=12,FN=18,所以在直角三角形 GMD 中，MG=12,MD=1-18-12=38，根据勾股定律， DG=√12×12+38×38=58所以正方形的边长为 5÷58=8，正方形面积为 8×8=64。1 2 3 4112233443311223322331122112233110 112233220 112211220 115 161250 117 15144 0 8100 8 4