2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 A 卷）一、选择题（每小题 10 分）1．（10 分）平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（　　）条直线互相平行．A．0 B．2 C．3 D．42．（10 分）某次考试有 50 道试题，答对一道题得 3 分，答错一道题扣 1 分，不答题不得分．小龙得分 120 分，那么小龙最多答对了（　　）道试题．A．40 B．42 C．48 D．503．（10 分）用图 1 的四张含有 4 个方格的纸板拼成了图 2 所示的图形．若在图 2 的 16 个方格分别填入1，3，5，7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A，B，C，D四个方格中数的平均数是（　　）．A．4 B．5 C．6 D．74．（10 分）小明所在班级的人数不足 40 人，但比 30 人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（）A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．3：75．（10 分）某学校组织一次远足活动，计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点 10 分到达乙地，但出发晚了 5 分钟，却早到达了 4 分钟．甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（　　）A．11 点 40 分 B．11 点 50 分C．12 点 D．12 点 10 分6．（10 分）如图所示，AF＝7cm，DH＝4cm，BG＝5cm，AE＝1cm．若正方形 ABCD 内的四边形 EFGH 的面积为 78cm2，则正方形的边长为（　　）cm．A．10 B．11 C．12 D．13二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分）7．（10 分）五名选手 A，B，C，D，E 参加“好声音”比赛，五个人站成一排集体亮相．他们胸前有每人的选手编号牌，5 个编号之和等于 35．已知站在 E 右边的选手的编号和为 13；站在 D 右边的选手的编号和为 31；站在 A 右边的选手的编号和为 21；站在 C 右边的选手的编号和为 7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是　 　．8．（10 分）甲乙同时出发，他们的速度如图所示，30 分钟后，乙比甲一共多行走了　 　米 9．（10 分）四个黑色 1×1×1 的正方体和四个白色 1×1×1 的正方体可以组成　 　种不同的2×2×2 的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种惰况）．10．（10 分）在一个圆周上有 70 个点，任选其中一个点标上 1，按顺时针方向隔一个点的点上标 2，隔两个点的点上标 3，再隔三个点的点上标 4，继续这个操作，直到 1，2，3，…，2014 都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数，那么标记了 2014 的点上标记的最小整数是　 　．2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 A 卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 10 分）1．（10 分）平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（　　）条直线互相平行．A．0 B．2 C．3 D．4【分析】这道题考查的是大家对于平面直线分割的考查，因为所给的直线比较少，因此用找规律的方法来做比较简单．【解答】解：这道题问的是至多有几条直线平行，现在总过四条直线，那么最多 4 条线平行，而此时最多只能分成 5 个部分，那么我们再考虑三条直线的情况，此时只要画成“丰”字形，就可以得到八个平面，成立，故选：C．2．（10 分）某次考试有 50 道试题，答对一道题得 3 分，答错一道题扣 1 分，不答题不得分．小龙得分 120 分，那么小龙最多答对了（　　）道试题．A．40 B．42 C．48 D．50【分析】首先分析如果正好得 120 分最低需要对 40 题，剩余的 10 题需要得分和扣分平衡即可．【解答】解：依题意可知：当小龙答对 40 题时，得分正好为 40×3＝120 分．那么需要剩余的 10 题得分和扣分相等．当小龙再答对 1 题时可以错 3 题剩余 6 题不答．当小龙再答对 2 题时可以错 6 题剩余 2 题不答．当小龙再答对 3 题时最多错 7 题，不能平衡分数．那么小龙最多答对 42 题．故选：B．3．（10 分）用图 1 的四张含有 4 个方格的纸板拼成了图 2 所示的图形．若在图 2 的 16 个方格分别填入1，3，5，7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A，B，C，D四个方格中数的平均数是（　　）．A．4 B．5 C．6 D．7【分析】如图 2， ，根据每个纸板内四个格子里的数不重复，可得：A≠E，A≠F，B≠E，B≠F，所以A＝G，B＝H或A＝H，B＝G，所以G+H＝A+B，据此求出A，B，C，D四个方格中数的平均数是多少即可． 【解答】解：如图 2， ，因为每个纸板内四个格子里的数不重复，所以A≠E，A≠F，B≠E，B≠F，所以A＝G，B＝H或A＝H，B＝G，所以G+H＝A+B，所以A，B，C，D四个方格中数是 1，3，5，7（每个方格填一个数），所以A，B，C，D四个方格中数的平均数是：（1+3+5+7）÷4＝4．答：A，B，C，D四个方格中数的平均数是 4．故选：A．4．（10 分）小明所在班级的人数不足 40 人，但比 30 人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（）A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．3：7【分析】先把比看成份数，求出总人数一共是几份，由于人数是整数，所以总人数必须是总份数的倍数，找出大于 30 小于 40 的数中没有总份数的倍数的选项即可求解．【解答】解：A：2+3＝5大于 30 小于 40 的数中 35 是 5 的倍数，所以这个班男、女生人数的比可能是 2：3；B：3+4＝7大于 30 小于 40 的数中 35 是 7 的倍数，所以这个班男、女生人数的比可能是 3：4；C：4+5＝9大于 30 小于 40 的数中 36 是 9 的倍数，所以这个班男、女生人数的比可能是 4：5；D：3+7＝10大于 30 小于 40 的数中没有数是 10 的倍数，所以这个班男、女生人数的比不可能是 3：7；故选：D．5．（10 分）某学校组织一次远足活动，计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点 10 分到达乙地，但出发晚了 5 分钟，却早到达了 4 分钟．甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（　　）A．11 点 40 分 B．11 点 50 分C．12 点 D．12 点 10 分【分析】首先分析计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点 10 分到达乙地时间为 3 个小时．出发晚了 5 分钟，却早到达了 4 分钟时间差为 9 分钟．根据比例关系即可求解．【解答】解：依题意可知：计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点 10 分到达乙地时间为 3 个小时．出发晚了 5 分钟，却早到达了 4 分钟时间差为 9 分钟．每个小时会追及 3 分钟，那么就是每 20 分钟够追回 1 分钟．100 分钟就追及 5 分钟．从 10 点 10 分过 100 分钟就是 11 点 50 分．故选：B．6．（10 分）如图所示，AF＝7cm，DH＝4cm，BG＝5cm，AE＝1cm．若正方形 ABCD 内的四边形 EFGH 的面积为 78cm2，则正方形的边长为（　　）cm． A．10 B．11 C．12 D．13【分析】四边形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣四个小三角形面积；设正方形ABCD的边长为x，则四个小三角形的边长，都确定；列方程求出x．【解答】解：S四边形EFGH＝S□ABCD﹣S△AEF﹣S△FBG﹣S△CGH﹣S△DHE＝AB×BC﹣AE×AF÷2﹣BG×BF÷2﹣GC×GH÷2﹣DE×DH÷2＝x2﹣7×1÷2﹣5×（x﹣7）÷2﹣（x﹣5）×（x﹣4）÷2﹣4×（x﹣1）÷2＝78．化简x2＝144；故选：C．二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分）7．（10 分）五名选手 A，B，C，D，E 参加“好声音”比赛，五个人站成一排集体亮相．他们胸前有每人的选手编号牌，5 个编号之和等于 35．已知站在 E 右边的选手的编号和为 13；站在 D 右边的选手的编号和为 31；站在 A 右边的选手的编号和为 21；站在 C 右边的选手的编号和为 7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是　 11 　 ．【分析】按题意，五位选手中，A，C，D，E的右侧都有人，故最右侧的是选手B，且B的编号为7，五人的排列顺序，可以依此推测出来，最后求和．【解答】解：根据分析，五位选手中，A，C，D，E的右侧都有人，故最右侧的是选手B，且B的编号为 7；E右边的选手的编号和为 13，故E右侧有C和B，且C的编号为：13﹣7＝6；A右边的选手的编号和为 21，故A的边有E、C、B，且E的编号为：21﹣13＝8；D右边的选手的编号和为 31，故D右边有A、E、C、B，且A的编号为：31﹣21＝10；剩下的D的编号为：25﹣31＝4，则最左侧的编号为D，最左侧与最右侧的选手编号之和＝4+7＝11．故答案是：11．8．（10 分）甲乙同时出发，他们的速度如图所示，30 分钟后，乙比甲一共多行走了　 300 　 米【分析】观察图可知：甲的路程分成 3 部分，第一部分，前 10 分钟，甲的速度是 100 米/分，第二部分，10～25 分钟，甲的速度是 80 米/分，第三部分是 25～30 分，速度是 60 米/分钟；分别用速度乘行驶的时间，求出各段走的路程，再相加，即可求出甲走了多少米；乙的路程分成 2 部分，前 20 分钟，乙的速度是 100 米/分，第二部分 20～30 分钟，乙的速度是80 米/分，同甲，求出乙的总路程，再用乙的总路程减去甲的总路程即可求解．【解答】解：甲：100×10＝1000（米）80×（25﹣10）＝80×15＝1200（米）60×（30﹣25）＝60×5 ＝300（米）1000+1200+300＝2500（米）乙：100×20＝2000（米）80×（30﹣20）＝80×10＝800（米）2000+800＝2800（米）2800﹣2500＝300（米）答：乙比甲一共多行走了 300 米．故答案为：300．9．（10 分）四个黑色 1×1×1 的正方体和四个白色 1×1×1 的正方体可以组成　 7 　 种不同的 2×2×2的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种惰况）．【分析】首先分析一个颜色在同一面的情况．然后同一面的白色变成 3 个再变成 2 个分别进行枚举即可．【解答】解：依题意可知：①白色在底部 5，6，7，8 位置是 1 种（同一面）．②白色在底面 5，6，7 的位置第四块可以是 1，2，4 三个位置共 3 种．③白色在底面 5，6 位置，上面可以是 1，4 或者 1，3 共两种．④白色在底面 5，7 位置时，上面可以是 1，3 位置，共 1 种．1+3+2+1＝7（种）．故答案为：710．（10 分）在一个圆周上有 70 个点，任选其中一个点标上 1，按顺时针方向隔一个点的点上标 2，隔两个点的点上标 3，再隔三个点的点上标 4，继续这个操作，直到 1，2，3，…，2014 都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数，那么标记了 2014 的点上标记的最小整数是　 5 　 ．【分析】首先根据等差数列的求和公式，求出 1、2、3、…、2014 的和是 2029105；然后把圆周上 70 个点看作是等分点，因为 2029105÷70＝28987…15，所以 2014 落在圆周上的第 15 个点，再根据 15＝1+2+3+4+5，可得最小整数为 5，所以标记了 2014 的点上标记的最小整数是 5，据此解答即可．【解答】解：1+2+3+…+2014＝（1+2014）×2014÷2＝2015×2014÷2＝2029105因为 2029105÷70＝28987…15，所以 2014 落在圆周上的第 15 个点，又因为 15＝1+2+3+4+5，最小整数为 5，所以标记了 2014 的点上标记的最小整数是 5．答：标记了 2014 的点上标记的最小整数是 5．故答案为：5．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:49:16；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800