西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教 专业： 建筑工程技术 工程造价 课程名称【编号】：高等数学【9102】 A 卷大作业 满分：100 分一、求极限（每小题 6 分，共 6×5=30 分）1. 解： x →1时，分子和分母的极限都是零（00型），先约去不为零的无穷小因子 x−1后再求极限 limx →1x2−1x2+2 x−3=limx →1( x +1)( x−1 )( x +3 )( x−1)=limx =1x+1x+3(消去零因子法 )=122. 解：x当 ≠0 时，1x−1＜[1x]≤1x, 因此，当 x ＞0 时， 1−x ＜ x[1x]≤1 由夹逼定理可得limx →0x[1x]=1 , x当 ＞ 0时，有 1−x ＞ x[1x]≥1由夹逼定理可得 limx →0x[1x]=1 ，从而 limx →0x[1x]=13. 解：limx →0(1−2 x)1x=limx → 0[(1−2 x)12 x]−2=e−24. 解： limx →∞[1−1x]x=limx →∞(1+1−x)limx → ∞[(1+1−x)]−1=limx →∞1(1+1−x)−x=1e5. 解：x当 →0 时， tan 2 x−2 x ,sin 5 x−5 x故 limx →0tan 2 xsin5 x=limx →02 x5 x=25二、求积分（每小题 6 分，共 6×5=30 分）1. 求不定积分- 1 - 解：∫11+x2dx=∫x (1+x )2x (1+x2)dx=∫(11+x2+1x)dx¿∫11+x2dx +∫1xdx¿arctan x +ln|x|+c2. 求不定积分　解：∫1sin2x cos2xdx=∫sin2x+coos2xsin2x cos2xdx=∫1cos2xdx+∫1sin2xdx¿ tan x −cot x+c3. 求不定积分解：∫sin3x dx=∫sin2x sin x dx=−∫(1−cos2x)d (cos x)=−∫d(cos x)+∫cos2xd (cos x )¿−cos x+13cos3x+c4. 求定积分解：因为|2 x−1|={1−2 x , x≤122 x−1 , x ＞12所以∫10|2 x −1|dx=∫1/21(1−2 x)dx=(x−x2)|01 /2+( x2−x )|1/20¿125. 求定积分 解：∫−x /2x /3√1−cos2x dx=∫−x /2x /3√sin2x dx=∫−x /2x /3|sin x|dx=−∫−x /20sin xdx +∫0x /3sin xdx¿cos x∫−x /20−cos|0x /3=32三、求三元函数 的偏导数 （10 分）解：把 y x和 看作常数，对 x 求导得∂u∂ x=cos(x + y2−ex)x z把 和 看作常数，对 y 求导得∂u∂ y=2 ycos(x+ y2−ex)x y把 和 看作常数，对z 求导得∂u∂ z=−excos(x + y2−ex)四、证明方程 在区间(0,1)内至少有一个根.（15 分）- 2 - 证：f令 ( x )=x3+4 x2+1 , f则 ( x )在（ 0 .1 ）上连续又 f (0 )=1 ＞0 ， f (1 )=−2 ＜0 .由零点定理 ℑξ ∈ （0 . 1），使 f ( ξ )，即 ξ3−4 ξ2+= 0所以方程 x3−4 x2+1=0 , 在（ 0,1）内至少有一个实根 ξ五、求由 和 所围成的图形的面积（15 分）解：面积微元： dA= （√x−x 2） dx所求面积： A=∫01（√x−x 2 ） dx=[23x32−x33]|01=13- 3 -