西南(9102)《高等数学》大作业答案

发布时间:2023-09-28 09:09:13浏览次数:7
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别:网教 专业: 建筑工程技术 工程造价 课程名称【编号】:高等数学【9102】 A 卷大作业 满分:100 分一、求极限(每小题 6 分,共 6×5=30 分)1. 解: x →1时,分子和分母的极限都是零(00型),先约去不为零的无穷小因子 x−1后再求极限 limx →1x2−1x2+2 x−3=limx →1( x +1)( x−1 )( x +3 )( x−1)=limx =1x+1x+3(消去零因子法 )=122. 解:x当 ≠0 时,1x−1<[1x]≤1x, 因此,当 x >0 时, 1−x < x[1x]≤1 由夹逼定理可得limx →0x[1x]=1 , x当 > 0时,有 1−x > x[1x]≥1由夹逼定理可得 limx →0x[1x]=1 ,从而 limx →0x[1x]=13. 解:limx →0(1−2 x)1x=limx → 0[(1−2 x)12 x]−2=e−24. 解: limx →∞[1−1x]x=limx →∞(1+1−x)limx → ∞[(1+1−x)]−1=limx →∞1(1+1−x)−x=1e5. 解:x当 →0 时, tan 2 x−2 x ,sin 5 x−5 x故 limx →0tan 2 xsin5 x=limx →02 x5 x=25二、求积分(每小题 6 分,共 6×5=30 分)1. 求不定积分- 1 - 解:∫11+x2dx=∫x (1+x )2x (1+x2)dx=∫(11+x2+1x)dx¿∫11+x2dx +∫1xdx¿arctan x +ln|x|+c2. 求不定积分 解:∫1sin2x cos2xdx=∫sin2x+coos2xsin2x cos2xdx=∫1cos2xdx+∫1sin2xdx¿ tan x −cot x+c3. 求不定积分解:∫sin3x dx=∫sin2x sin x dx=−∫(1−cos2x)d (cos x)=−∫d(cos x)+∫cos2xd (cos x )¿−cos x+13cos3x+c4. 求定积分解:因为|2 x−1|={1−2 x , x≤122 x−1 , x >12所以∫10|2 x −1|dx=∫1/21(1−2 x)dx=(x−x2)|01 /2+( x2−x )|1/20¿125. 求定积分 解:∫−x /2x /3√1−cos2x dx=∫−x /2x /3√sin2x dx=∫−x /2x /3|sin x|dx=−∫−x /20sin xdx +∫0x /3sin xdx¿cos x∫−x /20−cos|0x /3=32三、求三元函数 的偏导数 (10 分)解:把 y x和 看作常数,对 x 求导得∂u∂ x=cos(x + y2−ex)x z把 和 看作常数,对 y 求导得∂u∂ y=2 ycos(x+ y2−ex)x y把 和 看作常数,对z 求导得∂u∂ z=−excos(x + y2−ex)四、证明方程 在区间(0,1)内至少有一个根.(15 分)- 2 - 证:f令 ( x )=x3+4 x2+1 , f则 ( x )在( 0 .1 )上连续又 f (0 )=1 >0 , f (1 )=−2 <0 .由零点定理 ℑξ ∈ (0 . 1),使 f ( ξ ),即 ξ3−4 ξ2+= 0所以方程 x3−4 x2+1=0 , 在( 0,1)内至少有一个实根 ξ五、求由 和 所围成的图形的面积(15 分)解:面积微元: dA= (√x−x 2) dx所求面积: A=∫01(√x−x 2 ) dx=[23x32−x33]|01=13- 3 -
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