2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 C 卷）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分）．1．（10 分）计算：（ ﹣ + ﹣ + ）×120﹣ ÷ （　　）A．42 B．43 C．15 D．162．（10 分）如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线，这两条直线成 45 度角，最高的小树高 2.8 米，最低的小树高峰 1.4 米，那么从左向右数第 4 棵树的高度是（　　）米．A．2.6 B．2.4 C．2.2 D．2.03．（10 分）春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁 4位同学有如下对话：甲：“丙，丁之中至少有 1 人捐了款”乙：“丁，甲之中至多有 1 人捐了款”丙：“你们 3 人之中至少有 2 人捐了款”丁：“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款”已知这 4 位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款，那么这 2 位同学是（　　）A．甲，乙 B．丙，丁 C．甲，丙 D．乙，丁4．（10 分）六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的 99 分，最低的 76 分，那么按分数从高到低居第 3 位的同学的分数至少是（　　）A．94 B．95 C．96 D．975．（10 分）如图，BH是直角梯形ABCD的高，E为梯形对角线AC上一点，如果△DEH、△BEH、△BCH的面积依次为 56、50、40，那么△CEH的面积是（　　）A．32 B．34 C．35 D．366．（10 分）一个由边长为 1 的小正方形组成的n×n的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的 4 个角上的小正方形不全同色，那么正整数n的最大值是（　　）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：（每小题 10 分，满分 40 分）7．（10 分）在每个格子中填入 1﹣6 中的一个，使得每行、每列及每个 2×3 长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数“相约华杯”是　 　． 8．（10 分）整数n一共有 10 个因数，这些因数从小到大排列，第 8 个是 ．那么整数n的最大值是　．9．（10 分）在边长为 300 厘米的正方形 中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是　 　平方厘米，两块阴影部分的周长差是　 　厘米．（π 取 3.14）10．（10 分）A地，B地，C地，D地依次分布在同一条公路上．甲，乙，丙三人分别从A地，B地，C地同时出发，匀速向D地行进．当甲在C地追上乙时，甲的速度减少 40%，当甲追上丙时，甲的速度再次减少 40%，甲追上丙后 9 分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少 25%；乙追上丙后再行 50 米，三人同时到D地．已知乙出发时的速度是每分钟 60 米，那么甲出发时的速度是每分钟　 　米，A、D两地间的路程是　 　米．2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 C 卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 10 分，共 60 分）．1．（10 分）计算：（ ﹣ + ﹣ + ）×120﹣ ÷ （　　）A．42 B．43 C．15 D．16【分析】首先对（ ﹣ + ﹣ + ）进行拆分，然后用所得的结果减去 除以 所得的商，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（ ﹣ + ﹣ + ）×120﹣ ÷＝（ + ﹣ ﹣ + + ﹣ ﹣ + + ）×120﹣＝（ + ）×120﹣＝30+ ×120﹣＝42故选：A．2．（10 分）如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线，这两条直线成 45 度角，最高的小树高 2.8 米，最低的小树高峰 1.4 米，那么从左向右数第 4 棵树的高度是（　　）米． A．2.6 B．2.4 C．2.2 D．2.0【分析】因为∠A＝45°，最高的小树高 2.8 米，所以AC＝2.8 米，又因为树根成一条直线，树顶也成一条直线，所以所有的树都互相平行，所以AB＝1.4 米，BC＝AC﹣AB＝1.4 米，因为这排树的间距相同，则每个间距是 1.4÷7＝0.2 米，则从左向右数第 4 棵树的高度：0.2×4+1.4，据此解答即可．【解答】解：因为：树根成一条直线，树顶也成一条直线，∠A＝45°，最高的小树高 2.8 米，最低的小树高峰 1.4米，所以AC＝2.8 米，AB＝1.4 米，BC＝AC﹣AB＝1.4 米，又因为：这排树的间距相同，所以：1.4÷7＝0.2（米）0.2×4+1.4＝0.8+1.4＝2.2（米）答：那么从左向右数第 4 棵树的高度是 2.2 米．故选：C．3．（10 分）春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁 4位同学有如下对话：甲：“丙，丁之中至少有 1 人捐了款”乙：“丁，甲之中至多有 1 人捐了款”丙：“你们 3 人之中至少有 2 人捐了款”丁：“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款”已知这 4 位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款，那么这 2 位同学是（　　）A．甲，乙 B．丙，丁 C．甲，丙 D．乙，丁【分析】因为有 2 位同学捐了款，所以根据：丙：“你们 3 人之中至少有 2 人捐了款，说明捐款的只能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐钱；甲：“丙，丁之中至少有 1 人捐了款”因为丙没捐钱，所以只能是丁捐款；乙：“丁，甲之中至多有 1 人捐了款”只能是丁，所以甲没捐款；这恰好印证了丁：“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款”是正确的．据此解答即可．【解答】解：根据分析可得：丙：“你们 3 人之中至少有 2 人捐了款，说明捐款的只能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐钱；甲：“丙，丁之中至少有 1 人捐了款”因为丙没捐钱，所以只能是丁捐款；乙：“丁，甲之中至多有 1 人捐了款”只能是丁，所以甲没捐款；这恰好印证了丁：“你们 3 人之中至多有 2 人捐了款”是正确的，只有乙和丁捐了款．故选：D． 4．（10 分）六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的 99 分，最低的 76 分，那么按分数从高到低居第 3 位的同学的分数至少是（　　）A．94 B．95 C．96 D．97【分析】要求第三名同学至少要考多少分，知道六名同学的总平均分，能求出总成绩，用总成绩﹣最高分﹣最低分＝另四名同学的总成绩，要想第 3 个同学成绩最小，则第 2 个同学成绩取最大值为：98，进而求出另三位同学的总成绩，进而根据“总成绩÷总人数＝平均分”能求出另三名同学的平均分，继而分析、推导得出所求问题的答案．【解答】解：92.5×6﹣99﹣76＝380（分），由于最高分是 99 分，所以第二个的最好成绩最多是：98剩余三人成绩和为：380﹣98＝282（分），第 3 个同学成绩最小，第 4、5 个同学的成绩尽可能接近第三个同学的成绩，则这 3 个数相差为1，282÷3＝94（分），则第三位同学至少是：94+1＝95（分）．答：第三名至少得 95 分．故选：B．5．（10 分）如图，BH是直角梯形ABCD的高，E为梯形对角线AC上一点，如果△DEH、△BEH、△BCH的面积依次为 56、50、40，那么△CEH的面积是（　　）A．32 B．34 C．35 D．36【分析】如下图所示：分别过点E作EF⊥DC，EG⊥BH，连接AF，BF，BD，由等底等高的三角形面积相等，可得S△BDF＝S△ADF，S△ADC＝S△BDC，因此有：S△CDE＝S△ADC﹣S△ADE＝S△BDC﹣S△BDF＝S△BFC，而S△BFC＝S△BFH+S△BCH＝S△BEH+S△BCH＝90；因此S△CHE＝S△EDC﹣S△HDE＝90﹣56＝34，据此即可解决．【解答】解：如上图所示，分别过点E作EF⊥DC，EG⊥BH，连接AF，BF，BD，则S△BDF＝S△ADF，S△ADC＝S△BDC，所以S△CDE＝S△ADC﹣S△ADE＝S△BDC﹣S△BDF＝S△BFC，又因为S△BFC＝S△BFH+S△BCH＝S△BEH+S△BCH＝90，所以S△CHE＝S△EDC﹣S△HDE＝90﹣56＝34．故选：B．6．（10 分）一个由边长为 1 的小正方形组成的n×n的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的 4 个角上的小正方形不全同色，那么正整数n的最大值是（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】此题要充分利用抽屉原理和假设推理．根据题目所给的选项不妨选一个中间的数 5 为假设n的值，进行一步步地推理，进而推出与题目要求矛盾．从而得出n的取值范围，即得出答案．【解答】解：①假设n＝5，（由抽屉原理知）第一行中至少有 3 个格子颜色相同．不妨设前 3 格为黑色（如图 1）．在这 3 个黑格下方可以分割为 4 个横着的 3×1 的长方形，若其中有一个中有 2 个黑格 （如图 2），则存在着图中的粗线长方形 4 个角上的小正方形都是黑格；所以这 4 个横着的 3×1 的长方形中，每个至多 1 个黑格．②假设这 4 个横着的 3×1 的长方形中，有两个对应格子颜色都一样（如图 3），则一样存在图中的粗线长方形 4 个角上的小正方形都是白格；而 3×1 的长方形中至多 1 个黑格的只有如图 4 的这4 种．如果这 4 种都存在的话如图 5，则同样存在图中粗线长方形 4 个角上的小正方形都是白格；这均与题目要求的矛盾．所以，n＜5，正整数n的最大值是 4．而图 6 给出了n＝4 的一种构造．故选：B．二、填空题：（每小题 10 分，满分 40 分）7．（10 分）在每个格子中填入 1﹣6 中的一个，使得每行、每列及每个 2×3 长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数“相约华杯”是　 4123 　 ．【分析】如图：因为第三行存在 1、3、4，所以A为 2，5，6 之一，而 3 与A的和是质数，所以A为 2．在A所在的长方形中，还剩下 1、4、5、6 没有使用．而 3 与“相”的和是质数，所以“相”是 4．“相”与“约”的和为质数，“约”为 1，“约”与“月”的和为质数，“月”为 6，剩下的C为 5．第三行只剩下数字 5，所以B为 5；在B所在的长方形中，还剩下 2、3、6 没有使用．而 4 与“杯”的和是质数，所以“杯”为 3，“杯”与”“华”的和为质数，所以“华”为 2，剩下的D就是 6；所以四位数“相约华杯”是 4123，据此解答即可．【解答】解：如图：因为第三行存在 1．、3、4，所以A为 2，5，6 之一，而 3 与A的和是质数，所以A为 2．在A所在的长方形中，还剩下 1、4、5、6 没有使用．而 3 与“相”的和是质数，所以“相”是 4． “相”与”“约”的和为质数，“约”为 1，“约”与”“月”的和为质数，“月”为 6，剩下的C为 5．第三行只剩下数字 5，所以B为 5；在B所在的长方形中，还剩下 2、3、6 没有使用．而 4 与“杯”的和是质数，所以“杯”为 3，“杯”与”“华”的和为质数，所以“华”为 2，剩下的D就是 6；所以四位数“相约华杯”是 4123．故答案为：4123．8．（10 分）整数n一共有 10 个因数，这些因数从小到大排列，第 8 个是 ．那么整数n的最大值是　162 　 ．【分析】由于整数的因数都是成对出现，则这 10 个约数必然是 1、 、3、 、 、 、 、 、 、n，立即可以填出 1、2、3、 、 、 、 、 、 、n，也就是说n必然含有质因数 2 和 3，然后结合因数个数定理可求解．【解答】解：根据分析可知 10 个因数分别为 1、2、3、 、 、 、 、 、、n，根据因数个数定理 10＝1×（9+1）＝（1+1）×（4+1），由于含质因数 2 和 3，则n应为 21×34或 24×31，其中 21×34＝162 更大．故答案为：162．9．（10 分）在边长为 300 厘米的正方形 中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是　 15975 　 平方厘米，两块阴影部分的周长差是　 485 　 厘米．（π 取 3.14）【分析】（1）如图：扇形ABC的面积＝①+②+③，扇形BCD的面积＝②+③+④，正方形ABCD的面积＝①+②+③+④+⑤，所以扇形ABC的面积+扇形BCD的面积﹣正方形ABCD的面积＝②+③﹣⑤，据此可求出两块阴影部分面积的差是多少；（2）连结BE、CE，因BC＝BE＝CE，所以三角形BCE是等边三角形，所以扇形BCE的圆心角是60°，扇形CED的圆心角是 30°，据此可分别阴影部分的周长是多少，再相减即可．【解答】解：（1）S扇形ABC＝①+②+③S扇形BCD＝②+③+④S正方形ABCD＝①+②+③+④+⑤，S扇形ABC+S扇形BCD﹣S正方形ABCD的＝②+③﹣⑤③﹣⑤＝S扇形ABC+S扇形BCD﹣S正方形ABCD的﹣②＝3.14×3002÷4+3.14×3002÷4﹣300×300﹣3.14×（300÷2）2÷2＝3.14×90000÷4+3.14×90000÷4﹣300×300﹣3.14×22500÷2 ＝70650+70650﹣90000﹣35325＝15975（平方厘米）（2）连结BE、CE阴影部分③的周长是×3.14×300×2+3.14×300÷2＝628+471＝1099（厘米）阴影部分⑤的周长是×3.14×300×2+300＝314+300＝614（厘米）1099﹣614＝485（厘米）答：两块阴影部分的面积差是 15975 平方厘米，两块阴影部分的周长差是 485 厘米．故答案为：15975，485．10．（10 分）A地，B地，C地，D地依次分布在同一条公路上．甲，乙，丙三人分别从A地，B地，C地同时出发，匀速向D地行进．当甲在C地追上乙时，甲的速度减少 40%，当甲追上丙时，甲的速度再次减少 40%，甲追上丙后 9 分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少 25%；乙追上丙后再行 50 米，三人同时到D地．已知乙出发时的速度是每分钟 60 米，那么甲出发时的速度是每分钟　 125 　 米，A、D两地间的路程是　 1880 　 米．【分析】由于同时到达，所以甲追上丙后二者速度相等，乙追上丙后二者速度相等．乙出发时的速度是每分钟 60 米，遇到丙后速度变为 60×（1﹣25%）＝45（米/分），所以丙的速度为 45 米/分，可以推知甲在追上丙后的速度变为 45 米/分，在追上乙后追上丙之前速度为 45÷（1﹣40%）＝75 米/分，甲出发时的速度为 75÷（1﹣40%）＝125（米/分 ）．甲在C地追上乙，设在此时起追上丙花了t分钟，则在乙追上丙时也追上了甲，此时甲走的路程为（75t+45×9）米，乙走的路程为60×（t+9）米，列方程为：75t+45×9＝60×（t+9），解得t＝9．由于此后又走了 50 米到达D地，所以CD的距离为 75t+45×9+50＝1130（米）．由于甲从C地花了 9 分钟追上乙，所以此时丙到C的距离为 75×9﹣45×9＝270（米），即甲从A地到C地，丙走了270÷45＝6（分钟），那么AC的距离为 125×6＝750（米），所以AD得距离为 1130+750＝1880（米）．【解答】解：遇到丙后速度变为：60×（1﹣25%）＝60×0.75＝45（米/分）甲在追上乙后追上丙之前速度为：45÷（1﹣40%）＝45÷0.6＝75（米/分）甲出发时的速度为：75÷（1﹣40%）＝75÷0.6＝125（米/分 ）甲在C地追上乙，设在此时起追上丙花了t分钟，得：75t+45×9＝60×（t+9） 75t+405＝60t+540 15t＝135 t＝9CD的距离为： 75t+45×9+50＝75×9+405+50＝1130（米）甲从C地花了 9 分钟追上乙，所以此时丙到C的距离为：75×9﹣45×9＝（75﹣45）×9＝270（米）甲从A地到C地，丙走了：270÷45＝6（分钟），那么AC的距离为：125×6＝750（米），所以AD得距离为 1130+750＝1880（米）．答：甲出发时的速度是每分钟 125 米，A、D两地间的路程是 1880 米．故答案为：125，1880．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:00:31；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800