2011 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）一、填空题Ⅰ（每题 8 分，共 32 分）1．（8 分）计算：2011﹣（9×11×11+9×9×11﹣9×11）＝　 　．2．（8 分）如图，5 个相同的小长方形拼成一个大正方形，已知大正方形的周长比一个小长方形的周长多 10 厘米，那么小长方形的周长是　 　厘米．3．（8 分）一个奥特曼与一群小怪兽在战斗．已知奥特曼有一个头、两条腿，开始时每只小怪兽有两个头、五条腿，在战斗过程中有一部分小怪兽分身了，一个小怪兽分成了两只，分身后的每只小怪兽有一个头、六条腿（不能再次分身），某个时刻战场上有 21 个头，73 条腿，那么这时共有　 只小怪兽．4．（8 分）在一个 4×4 的方格纸内按下面的要求放入糖块：（1）每个格内都要放入糖块；（2）相邻的格子中，左边格比右边格少放 1 块，上面格比下面格少放 2 块，（3）右下角的格子里放了 20 块糖，那么方格纸上共放了　 　块糖．（相邻的格子是指有公共边的格）二、填空题（每题 10 分，共 40 分）5．（10 分）乐乐把一些小正方形和等腰直角三角形不重叠地放在边长是 7 厘米的大正方形盒子的底层．如果小正方形的边长都是 2 厘米，等腰直角三角形的斜边长都是 3 厘米，那么两种图形他最多可以各放进　 　个．6．（10 分）如图，四个三边长度分别为 3 厘米、4 厘米、5 厘米的直角三角形拼成一个大方形．从中去掉一些线段，使得改动后的图形可以一笔画出，那么去掉的线段长度之和最小是　 　厘米．7．（10 分）有 37 个人排成一行一次报数，第一个人报 1，以后每人报的数都是把前一人报的数加 3，报数过程中有一个人报错了，把前一个人报的数减 3 报了出来，最后这 37 个人报的数加起来恰好等于 2011，那么是第　 　个人报数的人报错了．8．（10 分）麦斯将 9 个不同的自然数填入图中的九个空格内，使每行、每列、每条对角线上 3 个数的和都相等．已知A和B的差为 14，B和C的差也为 14，那么D和E的差是　 　．三、填空题（每题 12 分，共 48 分）9．（12 分）如图，有一个 4×8 的棋盘，现将一枚棋子放在棋盘左下角格子A处，要求每一步只能向棋盘右上或右下走一步（如从C走一步可走到D或E），那么将棋子从A走到棋盘右上角B处共有　种不同的走法． 10．（12 分）大小箱子共 62 个，小箱子 5 个一吨，大箱子 3 个一吨．现要用一辆卡车运走这些箱子．如果先装大箱子，大箱子装完后恰好还可以装 15 个小箱子．如果先装小箱子，小箱子装完后恰好还可装 15 个大箱子．那么这些箱子中，大箱子有　 　个．11．（12 分）一个新建 5 层楼房的一个单元每层有东西 2 套房：各层房号如图所示，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住，一天他们 5 人在花园中聊天： 赵说：“我家是第 3 个入住的，第 1 个入住的就住我对门．” 钱说：“只有我一家住在最高层．” 孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．” 李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．” 周说：“我家住在 106 号，104 号空着，108 号也空着．” 他们说的话全是真话，设第 1、2、3、4、5 家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那么五位数 ＝　 　．12．（12 分）在如图的每个圆圈中，各填入一个不为 0 的数字，使得所有有线段连接的相邻两个圆圈内数的差至少为 2，而且每个数字都恰好出现两次．那么A×B的值是　 　．2011 年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、填空题Ⅰ（每题 8 分，共 32 分）1．（8 分）计算：2011﹣（9×11×11+9×9×11﹣9×11）＝　 130 　 ．【解答】解：2011﹣（9×11×11+9×9×11﹣9×11）＝2011﹣9×11×（11+9﹣1）＝2011﹣9×11×19＝2011﹣99×19＝2011﹣（100﹣1）×19＝2011﹣1900+19＝111+19＝130；故答案为：130．2．（8 分）如图，5 个相同的小长方形拼成一个大正方形，已知大正方形的周长比一个小长方形的周长多 10 厘米，那么小长方形的周长是　 15 　 厘米． 【解答】解：依题意可知：大正方形的周长比小正方形的周长多 8 个小正方形的宽．所以小长方形的宽等于 10÷8＝1.25（厘米）．大正方形的边长为 1.25×5＝6.25（厘米）．所以小长方形的周长为（6.25+1.25）×2＝15（厘米）．故答案为：153．（8 分）一个奥特曼与一群小怪兽在战斗．已知奥特曼有一个头、两条腿，开始时每只小怪兽有两个头、五条腿，在战斗过程中有一部分小怪兽分身了，一个小怪兽分成了两只，分身后的每只小怪兽有一个头、六条腿（不能再次分身），某个时刻战场上有 21 个头，73 条腿，那么这时共有　 13 只小怪兽．【解答】解：去掉奥特曼还有 20 个头 71 条腿．假设全是没有分身的怪兽，那么 20 个头对应的 10 个小怪兽有 50 条腿．那么少了 71﹣50＝21 条腿．每分身一次增加 2×6﹣5＝7（条），21÷7＝3（只）一共有 10+3＝13（只）故答案为：134．（8 分）在一个 4×4 的方格纸内按下面的要求放入糖块：（1）每个格内都要放入糖块；（2）相邻的格子中，左边格比右边格少放 1 块，上面格比下面格少放 2 块，（3）右下角的格子里放了 20 块糖，那么方格纸上共放了　 248 　 块糖．（相邻的格子是指有公共边的格）【解答】解：由题意可知，方格内的糖块数量如图所示，发现中心对称的一对格子里面一共有31 块糖，∴共有 ＝248 块糖．或 11+12+13+14+13+14+15+16+15+16+17+18+17+18+19+20＝248故答案为 248．二、填空题（每题 10 分，共 40 分）5．（10 分）乐乐把一些小正方形和等腰直角三角形不重叠地放在边长是 7 厘米的大正方形盒子的底层．如果小正方形的边长都是 2 厘米，等腰直角三角形的斜边长都是 3 厘米，那么两种图形他最多可以各放进　 7 　 个．【解答】解：“各放进”应该是两种放的个数相等， 因为每一个小正方形和一个三角形面积之和为 2×2+3×3÷4＝6.25，大正方形的面积 7×7＝49，而 49÷6.25＝7.84，所以最多各放进 7 个，下面图形说明可以做，6．（10 分）如图，四个三边长度分别为 3 厘米、4 厘米、5 厘米的直角三角形拼成一个大方形．从中去掉一些线段，使得改动后的图形可以一笔画出，那么去掉的线段长度之和最小是　 7 　 厘米．【解答】解：依题意可知：图中有 8 个奇点，需要去掉三条边剩余 2 个奇点，无论去掉两条长度为 3 的和长度为 1 的，还是去掉长度为 5 的和两条长度为 1 的总和都是 7．故答案为：77．（10 分）有 37 个人排成一行一次报数，第一个人报 1，以后每人报的数都是把前一人报的数加 3，报数过程中有一个人报错了，把前一个人报的数减 3 报了出来，最后这 37 个人报的数加起来恰好等于 2011，那么是第　 34 　 个人报数的人报错了．【解答】解：这 37 个人报的数是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，第 37 个数为 1+（37﹣1）×3＝109，这 37 个数的和为（1+109）×37÷2＝2035，2035﹣2011＝24，由于报错人把数据少了 6，24÷6＝4也就是第 37、36、35、34 人报错了，即第 34 个人报数的人报错了．故答案为：34．8．（10 分）麦斯将 9 个不同的自然数填入图中的九个空格内，使每行、每列、每条对角线上 3 个数的和都相等．已知A和B的差为 14，B和C的差也为 14，那么D和E的差是　 49 　 ．【解答】解：令A＝28，B＝14，C＝0，28+14﹣0＝4228+42﹣14＝5628+42﹣0＝7056+42＝9828+14＝4298﹣42＝56（70﹣56）÷2＝14÷2＝770﹣7＝63如图所示： 56﹣7＝49答：D和E的差是 49．故答案为：49．三、填空题（每题 12 分，共 48 分）9．（12 分）如图，有一个 4×8 的棋盘，现将一枚棋子放在棋盘左下角格子A处，要求每一步只能向棋盘右上或右下走一步（如从C走一步可走到D或E），那么将棋子从A走到棋盘右上角B处共有　8 　 种不同的走法．【解答】解：如图所示，跳到点C只有 1 种跳法，跳到点D只有A﹣C﹣D这 1 种跳法，跳到点E只有A﹣C﹣E这 1 种跳法，跳到点F有A﹣C﹣D﹣F、A﹣C﹣E﹣F这 2 种跳法，跳到点G只有A﹣C﹣D﹣G这 1 种跳法，跳到点H有A﹣C﹣D﹣G﹣H、A﹣C﹣D﹣F﹣H、A﹣C﹣E﹣F﹣H这 3 种跳法，…所以跳到点I有 2 种跳法、跳到点J有 2+3＝5 种跳法、跳到点K有 3 种跳法、跳到点L有 3+5＝8 种跳法、跳到点M有 5 种跳法、跳到点N有 8+5＝13 种跳法、跳到点B有 8 种跳法，故答案为：8．10．（12 分）大小箱子共 62 个，小箱子 5 个一吨，大箱子 3 个一吨．现要用一辆卡车运走这些箱子．如果先装大箱子，大箱子装完后恰好还可以装 15 个小箱子．如果先装小箱子，小箱子装完后恰好还可装 15 个大箱子．那么这些箱子中，大箱子有　 27 　 个．【解答】解：设大箱子有x个，则小箱子有 62﹣x个，所以大箱子的重量是 吨，小箱子的重量是 吨，所以 +15÷5×1＝ +15÷3×1 ＝ +5 +3＝﹣ +17.4 +3 ＝﹣ +17.4 +3＝17.4 +3﹣3＝17.4﹣3 ＝14.4 ＝14.4 x＝27答：大箱子有 27 个．故答案为：27．11．（12 分）一个新建 5 层楼房的一个单元每层有东西 2 套房：各层房号如图所示，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住，一天他们 5 人在花园中聊天： 赵说：“我家是第 3 个入住的，第 1 个入住的就住我对门．” 钱说：“只有我一家住在最高层．” 孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．” 李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．” 周说：“我家住在 106 号，104 号空着，108 号也空着．” 他们说的话全是真话，设第 1、2、3、4、5 家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那么五位数 ＝　 69573 　 ．【解答】解：根据分析，因为 104 和 108 都空着，而孙的楼上楼下都有人了，所以孙住在左侧，只有钱一家住在最高层，说明剩余 4 人住在 101，102，103，105，106，107，里面的 6 家，全空着的一层只能是第一层或第二层，这样才能使得孙和楼上楼下都有人．如果全空着的是第一层，则李住在第二层的 103，李氏最后入住的，所以孙住在 107，且 105 和 109 都在这之前有人住了，赵是第三个入住的，所以孙一定是第四个入住的，根据钱的话，钱住在 109，有对门的是 105 和 106，周住在 106，所以赵住在 105，而且周的第一个入住的，故答案是：69573．12．（12 分）在如图的每个圆圈中，各填入一个不为 0 的数字，使得所有有线段连接的相邻两个圆圈内数的差至少为 2，而且每个数字都恰好出现两次．那么A×B的值是　 18 　 ．【解答】解：依题意可知：设出字母表示： 剩余的数字有 1 个 1，2，5．还有 2 个 3，6，7，9 共 11 个数字．根据F只能填写数字 1 或者 2，无论填写那个E只能写 6，进一步推出A和F只能是 1 和 2．现在C只能填写 9，D只能填写 3．由于题目中有唯一的解：现在A周围已经填写完了，但仍然无法确定A是 1 还是 2．所以只能是H填写 3，限制了F只能填写 1，A填写 2．剩下的 5 个空格中，6 只能有一个相邻的 9．所以填写在I或者K，如果 6 填写在I则两个 7 只能填写在G和K位置．9 填写在B，5 填写在J；如果 6 填写K，则两个 7 无法填写．另解：如果B填写 5 或者 6 则I无数字和填写，如果B填写 7 则 6 无处填写，所以B只能是 9，然后两个 7 填不相邻的位置且不能填在I，只能G和K，从而H只能填写 3，F填写 1，A填写 2．所以A×B＝2×9＝18故答案为：18声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:07:48；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800