2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组 B 卷）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）＝　 　．2．（10 分）如图中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于　 　度．3．（10 分）商店以每张 2 角 1 分的价格进了一批贺年卡，共卖 14.57 元．若每张的售价相同，且不超过买入价格的两倍，则商店赚了　 　角．4．（10 分）两个班植树，一班每人植 3 棵，二班每人植 5 棵，共植树 115 棵．两班人数之和最多为　．5．（10 分）某商店第一天卖出一些笔，第二天每支笔降价 1 元后多卖出 100 支，第三天每支笔比前一天涨价 3 元后比前一天少卖出 200 支．如果这三天每天卖得的钱相同，那么第一天每支笔售价是　 元．6．（10 分）一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4 小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙 16 小时后追上甲．已知甲在静水中划船的速度为每小时 6 千米，则乙在静水中划船每小时行驶　 　千米．7．（10 分）某个两位数是 2 的倍数，加 1 是 3 的倍数，加 2 是 4 的倍数，加 3 是 5 的倍数，那么这个两位数是　 　．8．（10 分）在三个给词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每个汉字代表 1 至 8 之间的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是 19，且“尽”＞“山”＞“力”，则“水”最大等于　 　．二、简答题（每小题 15 分，共 60 分，要求写出简要过程）9．（15 分）有一批作业，王老师原计划每小时批改 6 本，批改了 2 小时后，他决定每小时批改 8 本，结果提前 3 小时批改完，那么这批作业有多少本？10．（15 分）用五种不同的颜色涂正方体的六个面．如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的）11．（15 分）如图所示，有一个圆圈填了数字 1．请在空白圆圈内填上 2，3，4，5，6 中的一个数字，要求无重复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少为 2．问共有几种不同的填法？12．（15 分）边长分别为 8cm和 6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接DE交BG于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组 B 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）＝　 61 　 ． 【分析】根据除法的性质，原式＝3752÷2÷39+5030÷10÷39＝1876÷39+503÷39＝（1876+503）÷39＝2379÷39＝61，据此解答即可．【解答】解：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）＝3752÷2÷39+5030÷10÷39＝1876÷39+503÷39＝（1876+503）÷39＝2379÷39＝61；故答案为：61．2．（10 分）如图中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于　 360 　 度．【分析】连接CD，有∠G+∠F＝∠EDC+∠ECD，这样就转化成四边形的内角和了，四边形的内角和是 360度．【解答】解：连接CD，有∠G+∠F＝∠EDC+∠ECD，所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠EDC+∠ECD＝四边形ABCD的内角和，180×（4﹣2）＝180×2＝360（度）答：∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于 360 度．故答案为：360．3．（10 分）商店以每张 2 角 1 分的价格进了一批贺年卡，共卖 14.57 元．若每张的售价相同，且不超过买入价格的两倍，则商店赚了　 47 　 角．【分析】将 14.57 元化为整数是 1457 分，售价应是不超过 42 的奇数，容易试出答案．【解答】1457 分解质因数是 1457＝31×47，47 超过了 21 的 2 倍，31 符合条件，所以售价是 31分，进而数量是 47 张，47×（31﹣21）＝470 分＝47 角故答案为：47．4．（10 分）两个班植树，一班每人植 3 棵，二班每人植 5 棵，共植树 115 棵．两班人数之和最多为　37 　 ．【分析】设一班a人，二班b人，则有 3a+5b＝115，求两班人数最多，算式转化成：3（a+b）+2b＝115，a+b最大，b尽可能的小，b＝2 时，a+b＝37．【解答】解：设一班a人，二班b人，则3a+5b＝115，3（a+b）+2b＝115，a+b最大，b尽可能的小，b＝1 时，得出a不是整数，b＝2 时，3（a+2）+2×2＝115 3a+6+4＝115 3a＝105 a＝35a+b＝35+2＝37（人）答：两班人数之和最多的是 37 人．故答案为：37．5．（10 分）某商店第一天卖出一些笔，第二天每支笔降价 1 元后多卖出 100 支，第三天每支笔比前一天涨价 3 元后比前一天少卖出 200 支．如果这三天每天卖得的钱相同，那么第一天每支笔售价是　 4 元．【分析】设第一天每支笔售价x元，卖出y支，那么根据总价＝单价×数量可知：第一天卖出的钱数就是xy元，第二天的单价就是x﹣1 元，卖出的支数是y+100 支，第二天卖出的总价就是（x﹣1）（y+100）；同理得出第三天卖出的总价，再分别根据第一天卖出的钱数与第二天和第三天卖出的钱数分别相等列出方程组，再化简求解．【解答】解：设第一天的单价为x元，数量为y只，那么有：化简得：解得：答：第一天每支笔售价是 4 元．故答案为：4．6．（10 分）一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4 小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙 16 小时后追上甲．已知甲在静水中划船的速度为每小时 6 千米，则乙在静水中划船每小时行驶　 10 　 千米．【分析】在流水行船问题中，两船相遇的速度即两船的速度和，两船追及速度即两船的速度差．相向而行两船所行的路程是A、B两个码头之间的距离，同向而行两船的距离差也为A、B两个码头之间的距离，因此根据路程相等，设乙船的速度是x千米/小时，列出方程（x+6）×4＝（x﹣6）×16，解决问题．【解答】解：设乙船的速度是每小时x千米，（x+6）×4＝（x﹣6）×16 4x+24＝16x﹣96 12x＝120 x＝10答：乙在静水中划船每小时行驶 10 千米．故答案为：10．7．（10 分）某个两位数是 2 的倍数，加 1 是 3 的倍数，加 2 是 4 的倍数，加 3 是 5 的倍数，那么这个两位数是　 62 　 ．【分析】根据 2、3、5 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数；各位上的数字之和是 3 的倍数，这个数一定是 3 的倍数；个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数；据此解答即可．【解答】解：2、3、4、5 的最小公倍数是：2×3×2×5＝60，已知这个两位数是偶数，在 60～70 之间 5 的倍数是 65，又知这个两位数加上 3 是 5 的倍数，所以这个两位数是 65﹣3＝62，答：这个两位数是 62．故答案为：62．8．（10 分）在三个给词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每个汉字代表 1 至 8 之间的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是 19，且“尽”＞“山”＞“力”，则“水”最大等于　 7 　 ． 【分析】通过分析可知：由“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”三个词语中每个词语的汉字所代表的数字之和都是 19，可得方程：可得3 尽+心+2 力+可+拔+2 山+穷+水＝19×3＝57而 1～8 的和是 36，则有 2 尽+1 力+1 山＝57﹣36＝21，与（1）比较得山﹣心＝2．“尽”＞“山”＞“力”，“力”尽可能大，“尽”才最小，假定“力”、“山”、“尽”是连续自然数，有 2（力+2）+力+1+力＝21“力”为 4，此时山＝5，心＝3，尽＝6； （1）式满足：6+3+6+4＝19； （3）式：5+穷+水+6＝19 穷水，水此时最大为 7，穷为 1，来推倒 2 式：（2）式：4+可+拔+5＝19 可拔，而现在只剩下 2 和 8 了，满足条件．此时水最大为 7若水最大取 8 时，有但此时 6（尽）、4（山）、5（力），不满足“尽”＞“山”＞“力”，所以不符合要求． 故水最大为 7．据此解答即可．【解答】解：由“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”三个词语中每个词语的汉字所代表的数字之和都是 19，可得方程：（1）+（2）+（3）可得：3 尽+心+2 力+可+拔+2 山+穷+水＝19×3＝57而 1～8 的和是 36，则有 2 尽+1 力+1 山＝57﹣36＝21，与（1）比较得山﹣心＝2．“尽”＞“山”＞“力”，“力”尽可能大，“尽”才最小，假定“力”、“山”、“尽”是连续自然数，有 2（力+2）+力+1+力＝21“力”为 4，此时山＝5，心＝3，尽＝6； （1）式满足：6+3+6+4＝19； （3）式：5+穷+水+6＝19 穷水，水此时最大为 7，穷为 1，来推倒 2 式：（2）式：4+可+拔+5＝19 可拔，而现在只剩下 2 和 8 了，满足条件．此时水最大为 7若水最大取 8 时，有但此时 6（尽）、4（山）、5（力），不满足“尽”＞“山”＞“力”，所以不符合要求． 故水最大为 7．故答案为：7．二、简答题（每小题 15 分，共 60 分，要求写出简要过程）9．（15 分）有一批作业，王老师原计划每小时批改 6 本，批改了 2 小时后，他决定每小时批改 8 本，结果提前 3 小时批改完，那么这批作业有多少本？【分析】根据题意知道，这批作业的总数本变，即工作总量一定，那么计划与实际的工作效率与工作时间成反比例，据此设出原计划x小时批改完，列出方程先求出原计划用的小时数，再根据 工作效率×工作时间＝工作量进而得解．【解答】解：设原计划x小时批改完，由题意得：6×2+8（x﹣3﹣2）＝6x 12+8x﹣40＝6x 8x﹣6x＝28 2x＝28 x＝14．6×14＝84（本）；答：这批作业有 84 本．10．（15 分）用五种不同的颜色涂正方体的六个面．如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的）【分析】用五种不同的颜色涂正方体的六个面．先确定 1 种颜色染一组对面，剩下的 4 种颜色（用a、b、c、d表示）有abcd、acdb、acbd，3 种染色方法，有 •3＝15 种；据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，•3＝5×3＝15（种）；答：共有 15 种不同的涂色方法．11．（15 分）如图所示，有一个圆圈填了数字 1．请在空白圆圈内填上 2，3，4，5，6 中的一个数字，要求无重复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少为 2．问共有几种不同的填法？【分析】可以按照数字找位置来分析，数字 2 不能在 1 附近，数字 3 有不在 2 附近，可以根据数字的位置枚举出来进行分析即可．【解答】解：相邻两个圆圈内的数字的差至少为 2，设如图所示字母为a，b，c，d，e所以 2 只能填在d和e．（1）d处填 2，2 的周围不能有 3．所以 3 只能填在a处.3 的周围不能填 4，4 只能填在c和e．，5、6 不能在一起，所以 5 填在b.6 和 4 可以在c和e交换，此时 2 种填法； （见中图）（2）e处填 2，3 填a或者b处．3 填a处，4、5、6 必有两个相邻，没有满足条件的填法；3 填b处，4 只能填入c处，5 只能填入a处，6 填入d处．1 种填法；（见右图）故共 2+1＝3 种填法．答：共有 3 种不同的方法．12．（15 分）边长分别为 8cm和 6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接DE交BG于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？ 【分析】首先需要将阴影部分和已知的正方形的边长的关系找到，可根据△APG转换成同底等高的△DPG，然后再根据等积变形的原理与边长为 6 的正方形联系起来即可解决．【解答】解：依题意可知：将△APG移到△DPG（如上面中图），连接DB，DB与GE平行．△DGE等于△BGE的面积（如上面右图）．S阴＝6×6÷2＝18cm2．答：影部分APEG的面积是 18cm2．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:00:15；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800