2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷 A（小学组）一、填空题（每小题 3 分，共 80 分）1．（3 分）1 +3 +5 +7 ＝　 　．2．（3 分）工程队的 8 个人用 30 天完成了某项工程的 ，接着增加了 4 个人完成了其余的工程，那么完成这项工程共用了　 　天．3．（3 分）甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的 1.2 倍．乙骑了 5 千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的 ．排除故障后，乙的速度提高了 60%，结果甲乙同时到达B地．那么A，B两地之间的距离为　 　千米．4．（3 分）在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在圆形钟面的边界，每分钟的刻度处都有一个小彩灯，晚上 9 时 35 分 20 秒时，在分针与时针所夹的锐角内有　 　个小彩灯．5．（3 分）在边长为 1 厘米的正方形ABCD中，分别以A、B、C、D为圆心，1 厘米为半径画四分之一圆，交点E、F、G、H，如图，则中间阴影部分的周长为　 　厘米．（取圆周率 π＝3.141）6．（3 分）用 40 元钱购买单价分别为 2 元、5 元和 11 元的三种练习本，每种至少买一本，而且钱恰好花完．则不同的购买方法有　 　种．7．（3 分）已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是　 　（立方厘米）8．（3 分）将自然数 1～22 分别填在下面的“□”内（每个“□”只能填一个数），在形成的 11 个分数中，分数值为整数的最多能有　 　个二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．长方形ABCD的面积是 2011 平方厘米．梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．试求梯形AFGE的面积．10．公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示，如图所示．某公交车的数字显示器有两支坏了的荧光管不亮，显示的线路号为“351”，则该公交车的线路号有哪些可能？ 11．设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的 20 日可能是星期几？12．以[x]表示不超过x的最大整数，设自然数n满足[ ]+[ ]+[ ]+…+[ ]+[ ]＞2011，则n的最小值是多少？三、解答下列各题（每小题 0 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．在如图的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字．问：满足要求的不同算式共有多少种？14．如图，两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点A，而一只爬虫处在A的体对顶点G，假设蜘蛛和爬虫均以同样的速度沿正方体的棱移动，任何时候它们都知道彼此的位置，蜘蛛能预判爬虫的爬行方向，试给出一个两只蜘蛛必定捉住爬虫的方案．2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷 A（小学组）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 3 分，共 80 分）1．（3 分）1 +3 +5 +7 ＝　 18 　．【分析】根据加法结合律和加法交换律进行计算．【解答】解：1 +3 +5 +7＝1+ +3+ +5+ +7+＝（1+3+5+7）+（ + + + ）＝16+2＝18故答案为：18 ．2．（3 分）工程队的 8 个人用 30 天完成了某项工程的 ，接着增加了 4 个人完成了其余的工程，那么完成这项工程共用了　 70 　 天．【分析】把这项工程看作单位“1”，用“ ÷30÷8＝ ”求出 1 人 1 天的工作效率，则 12 个人工作效率和为 ×12＝ ，求出剩下的工作总量，然后根据：工作总量÷工作效率＝工作时间“求出后来用的时间，进而求出完成这项工程共用的时间．【解答】解：一个人的工作效率是 ÷30÷8＝ ， 12 个人的工作效率和为 ×12＝ ，共需：（1﹣ ）÷ +30＝40+30＝70（天）答：一共用了 70 天．故答案为：70．3．（3 分）甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的 1.2 倍．乙骑了 5 千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的 ．排除故障后，乙的速度提高了 60%，结果甲乙同时到达B地．那么A，B两地之间的距离为　 45 　 千米．【分析】根据题意可知，甲乙的车速比是 1.2：1＝6：5，所以所用时间比为 5：6，不妨设甲用时 5t，则乙原定时间为 6t，乙因故障耽误的时间为 ×6t＝t，而最后全程用时 5t，所以故障排除后，乙的提速使它节省了 2t的时间．提速后的速度与原来速度比为 1.6：1＝8：5，所以时间比为5：8，节省了三份的时间，所以每份为t，所以这段路原计划用时t×8＝t，所以一开始的 5千米原计划用时是 6t﹣t＝t，所以A、B之间的距离为 5×（6t÷t），然后计算即可．【解答】解：甲乙的车速比是 1.2：1＝6：5，所以所用时间比为 5：6；设甲用时 5t，则乙原定时间为 6t；乙因故障耽误的时间为 ×6t＝t，而最后全程用时 5t，所以故障排除后，乙的提速使它节省了2t的时间．提速后的速度与原来速度比为 1.6：1＝8：5，所以时间比为 5：8，节省了三份的时间，所以每份为t，所以这段路原计划用时t×8＝t，所以一开始的 5 千米原计划用时是 6t﹣t＝t，所以A、B之间的距离为：5×（6t÷t），＝5×9，＝45（千米）；故答案为：45．4．（3 分）在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在圆形钟面的边界，每分钟的刻度处都有一个小彩灯，晚上 9 时 35 分 20 秒时，在分针与时针所夹的锐角内有　 12 　 个小彩灯．【分析】先求出晚上 9 时 35 分 20 秒时针与分针所夹的角；再根据表盘共被分成 60 小格，每一大格所对角的度数为 30°，每一小格所对角的度数为 6°，即可求出晚上 9 时 35 分 20 秒时针与分针间隔的分钟的刻度，从而求出晚上 9 时 35 分 20 秒时，时针与分针所夹的角内装有的小彩灯个数．【解答】解：晚上 9 时 35 分 20 秒时，时针与分针所夹的角为：9×30°+35×0.5°+20×0.5°÷60﹣（7×30°+20×6°÷60）＝270°+17.5°+10°÷60﹣210°﹣2°＝（75 ）°（75 ）°÷6≈12（个）．故在分针与时针所夹的锐角内有 12 个小彩灯．故答案为：12． 5．（3 分）在边长为 1 厘米的正方形ABCD中，分别以A、B、C、D为圆心，1 厘米为半径画四分之一圆，交点E、F、G、H，如图，则中间阴影部分的周长为　 2.094 　 厘米．（取圆周率 π＝3.141）【分析】如图所示：由题意很容易就可以得出△ABF为等边三角形，则弧 为 圆，同理弧也为 圆，所以弧 ＝ + ﹣ ＝ 圆，同理其余三段也为 圆，故周长＝ 圆，再据圆的周长公式即可得解．【解答】解：依题易知△ABF为等边三角形，故弧 为 圆，同理弧 也为 圆，所以弧 ＝ + ﹣ ＝ 圆，同理其余三段也为 圆，故阴影部分的周长＝ 圆×4＝ 圆＝＝2.094（厘米）；答：中间阴影部分的周长为 2.094 厘米．6．（3 分）用 40 元钱购买单价分别为 2 元、5 元和 11 元的三种练习本，每种至少买一本，而且钱恰好花完．则不同的购买方法有　 5 　 种．【分析】每种先都减去 1 本，剩余 40﹣2﹣5﹣11＝22 元．然后根据剩余的钱数，分类解答，解决问题．【解答】解：每种先都减去 1 本，剩余 40﹣2﹣5﹣11＝22 元．如果再买 2 本 11 元的，恰好用完，计 1 种方法；如果再买 1 本 11 元的，剩余 11 元，可以买 1 本 5 元和 3 本 2 元，计 1 种方法；如果不再买 11 元的，22 元最多买 4 本 5 元的，5 元的本数可以是 4，2，0，计 3 种方法．共有 1+1+3＝5 种方法．答：不同的购买方法有 5 种．7．（3 分）已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是　 2666 　（立方厘米） 【分析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，分别确定底面积和高，利用锥体的体积公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面ABCD为边长为 20cm的正方体，OE⊥CD且E是CD的中点，所以棱锥的高OE＝20cm．所以四棱锥的体积为×202×20＝ ×400×20＝2666 （cm3）．答：这个几何体的体积是 2666cm3．故答案为：2666 ．8．（3 分）将自然数 1～22 分别填在下面的“□”内（每个“□”只能填一个数），在形成的 11 个分数中，分数值为整数的最多能有　 10 　 个【分析】分值为整数，说明分母是分子的约数．大于 11 的质数 13、17、19 要想构成分值为整数的分数，只能做 1 的分子．然后写出这几个数即可．【解答】解：根据分析可知，22 个数最多能构成的整数为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ．所以分数值为整数的最多能有 10 个．故答案为：10．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．长方形ABCD的面积是 2011 平方厘米．梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．试求梯形AFGE的面积． 【分析】根据题意可连接DF，三角形ADF和长方形ABCD是同底等高的，因此可知三角形ADF的面积是长方形ABCD面积的一半，因为点D是EG的中点，AE平行与FG，所以三角形ADF也是梯形AFGE面积的一半，因为点D是线段EG的中点，所以三角形ADE和三角形DGF的面积就为梯形AFGE面积的一半，即梯形的面积等于长方形的面积，据此解答即可．【解答】解：如图，连接DF．三角形ADF＝2011÷2＝1005.5（平方厘米），因为点D为EG的中点，所以三角形AED+三角形DFG＝1005.5（平方厘米），梯形AFGE的面积：1005.5+1005.5＝2011（平方厘米），答：梯形AFGE的面积是 2011 平方厘米．10．公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示，如图所示．某公交车的数字显示器有两支坏了的荧光管不亮，显示的线路号为“351”，则该公交车的线路号有哪些可能？【分析】显示的百位数字 3 有一处坏，可能是 9，有两处坏可能是 8；十位数字 5，有一处坏，可能是 6 和 9，有两处坏，可能是 8；个位数字 1，有一处坏可能是 7，有两处坏可能是 4；在不亮的灯管中可能应该都不亮，可能有一处该亮却没亮，可能有 2 处该亮却没亮，分三种可能情况，细致分析，即可得解．【解答】解：分三种情形考虑．第一种情形：线路号的数字中没有荧光管坏了．只有 351 一个可能线路号．第二种情形：线路号的数字中有 1 支荧光管坏了．坏在第一位数字上，可能的数字为 9，线路号可能是 951；坏在第二位数字上，可能的数字为 6，9，线路号可能是 361，391；坏在第三位数字上，可能的数字为 7，线路号可能是 357．第三种情形：线路号的数字中有 2 支荧光管坏了．都坏在第一位数字上，可能的数字为 8，线路号可能是 851；都坏在第二位数字上，可能的数字为 8，线路号可能是 381；都坏在第三位数字上，可能的数字为 4，线路号可能是 354；坏在第一、二位数字上，第一位数字可能的数字为 9，第二位数字可能的数字为 6，9，线路号可能是 961，991；坏在第一、三位数字上，第一位数字可能的数字为 9，第三位数字可能的 数字为 7，线路号可能是 957；坏在第二、三位数字上，第二位数字可能的数字为 6，9，第三位数字可能的数字为 7，线路号可能是 367，397．所以可能的线路号有 13 个：351，354，357，361，367，381，391，397，851，951，957，961，991．答：则该公交车的线路号有 13 种可能．11．设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的 20 日可能是星期几？【分析】有三个星期日的日期为奇数，这三个星期日应是不相邻的．并且两个奇数周日之间应相隔 14 天．故可设第一个周日为x，那么第二个周日为x+14，则第三个周日为x+28，第三个周日的日期应不大于 31．【解答】解：因为每个周日的间隔是 7 日，所以若一个月中有三个星期日为奇数，则这三个星期日必定不会是连续的，而是两个奇数周日间间隔 14 日，一个月最多 31 日，设第一个周日为x，那么第二个周日为x+14，则第三个周日为x+28，所以x+28≤31，解得x≤3；这样第一个星期日可以是 1 号或 3 号．如果第一个星期日是 1 号，那么该月的 20 号是星期五；如果第一个星期日是 3 号（此时本月有 31 天），那么该月的 20 号是星期三．故这个月的 20 日可能是星期五或星期三（此时本月有 31 天）．12．以[x]表示不超过x的最大整数，设自然数n满足[ ]+[ ]+[ ]+…+[ ]+[ ]＞2011，则n的最小值是多少？【分析】观察：[ ]＝0，[ ]＝0，…，[ ]＝0，前 14 个数的和为 0[ ]＝1，[ ]＝[1 ]＝1，…，[ ]＝[1 ]＝1，这 15 个数都是 1，之和为 1×15＝15，[ ]＝2，[ ]＝[2 ]＝2，…，[ ]＝[2 ]＝2，这 15 个数都是 2，之和为 2×15＝30，…观察可以得到，规律是间隔 15 个增加 1，（1+2+3+…+15）×15＝1800，（1+2+3+…+15+16）×15＝2040，2040＞2011，因此整数部分加到 15，只是达到 1800，继续往下到达整数部分是 16，2011﹣1800＝211，211÷16＝13.1875，那么要取 14 个，即最少取到 16 ，才能保证大于2011，则n最下值是：16×15+13＝253．【解答】解：（1+2+3+…+15）×15＝1800，（1+2+3+…+15+16）×15＝2040，2040＞2011，那么整数部分到 16，2011﹣1800＝211，211÷16＝13.1875，即最少取到 16 ，才能保证大于 2011，则n最下值是：16×15+13＝253．答：自然数n的最小值是 253．三、解答下列各题（每小题 0 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．在如图的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字．问：满足要求的不同算式共有多少种？ 【分析】由于 2+0+1+1＝4 且 0+1+2+3+4+6+7+8+9＝40，4≡40（mod 9），所以，九个不同的汉字代表的数字：0，1，2，3，4，6，7，8，9．易知：40﹣4＝36，36÷9＝4（次），说明此算式共发生四次进位．“4＝2+2＝1+1+2＝1+2+1”显然：①华＝1，“4＝2+2”无解②华＝1，“4＝1+1+2”有解，据此分析讨论即可解答问题．【解答】解：由于 2+0+1+1＝4 且 0+1+2+3+4+6+7+8+9＝40，4≡40（mod 9），所以，九个不同的汉字代表的数字：0，1，2，3，4，6，7，8，9．易知：40﹣4＝36，36÷9＝4（次），说明此算式共发生四次进位．“4＝2+2＝1+1+2＝1+2+1”显然：①华＝1，“4＝2+2”无解②华＝1，“4＝1+1+2”有解A：28+937+1046＝2011，可组成算式 36 种（6×6×1＝36）B：69+738+1204＝2011，可组成算式 48 种（6×4×2＝48）C：79+628+1304＝2011，可组成算式 48 种（6×4×2＝48）③华＝1，“4＝1+2+1”有解A：46+872+1093＝2011，可组成算式 36 种（6×6×1＝36）B：98+673+1240＝2011，可组成算式 72 种（6×6×2＝72）C：97+684+1230＝2011，可组成算式 72 种（6×6×2＝72）总计：72×3+96＝216+96＝312（种）．答：一共有 312 种．14．如图，两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点A，而一只爬虫处在A的体对顶点G，假设蜘蛛和爬虫均以同样的速度沿正方体的棱移动，任何时候它们都知道彼此的位置，蜘蛛能预判爬虫的爬行方向，试给出一个两只蜘蛛必定捉住爬虫的方案．【分析】根据题意，可假设一只蜘蛛先不动另一只蜘蛛去追击沿着棱去追击虫子，不论虫子如何逃跑，虫子和追击的蜘蛛始终能保持的最大距离为 2 个棱的长度，随着爬虫的移动，爬虫必然和等待的蜘蛛会出现最小距离为 1 个棱的长度，此时即可抓到虫子．【解答】解：其中一只蜘蛛先不动，控制正方体的其中一个面，我们定义这个面为A1面，另一只蜘蛛开始向A1面的相对的面爬行，我们定义这个相对的面为A2面；这时 2 只蜘蛛，每个蜘蛛控制一个面，不论虫子如何移动，必然会移动到A1面或者A2面；于是必然有一个蜘蛛和虫子处于一个面，这时处于一个面的蜘蛛（设追击的蜘蛛为B1）开始追击虫子，另一个面的蜘蛛则不动，不论虫子如何逃跑，虫子和追击的蜘蛛始终能保持的最大距离为 2 个棱的长度，随着爬虫的移动，爬虫必然和等待的蜘蛛会出现最小距离为 1 个棱的长度，这时等待的蜘蛛出击，必然能抓到虫子．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:54:16；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800