25. （2012 黑龙江哈尔滨 10 分）已知：在△ABC 中，∠ACB=900，点 P 是线段 AC 上一点，过点 A 作AB 的垂线，交 BP 的延长线于点 M，MN⊥AC 于点 N，PQ⊥AB 于点 Q，A0=MN．（1）如图 l，求证：PC=AN；（2） 如图 2，点 E 是 MN 上一点，连接 EP 并延长交 BC 于点 K，点 D 是 AB 上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM 于点 H，交 BC 延长线于点 F，若 NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求 DQ 的长．【答案】解：（1）证明：∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°。 ∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN。∵PQ⊥AB MN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。∴△AQP≌△MNA（ASA）。∴AN=PQ，AM=AP。∴∠AMB=∠APM。∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PBC。∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC（角平分线的性质）。∴PC=AN。（2）∵NP=2 PC=3，∴由（1）知 PC=AN=3。∴AP=NC=5，AC=8。∴AM=AP=5。∴ 。∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°，∴∠ABC=∠MAN。∴ 。∵ ，∴BC=6。∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC。又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK。∴ 。∵CK：CF=2：3，设 CK=2k，则 CF=3k。∴ ， 。过 N 作 NT∥EF 交 CF 于 T，则四边形 NTFE 是平行四边形。∴NE=TF= ，∴CT=CF－TF=3k－ 。∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。∴∠BPC=∠BFH。∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。∴ 。 ∴ ， 。∴CT= 。∴ 。∴CK=2× =3，BK=BC－CK=3。∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC。∴ 。∴tan∠BDK=1。过 K 作 KG⊥BD 于 G。∵tan∠BDK=1，tan∠ABC= ，∴设 GK=4n，则 BG=3n，GD=4n。∴BK=5n=3，∴n= 。∴BD=4n+3n=7n= 。∵ ，AQ=4，∴BQ=AB－AQ=6。∴DQ=BQ－BD=6－ 。26. （2012 湖北十堰 10 分）如图 1，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD 交⊙O 于点 E．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点 E 为线段 OD 的中点，证明：以 O、A、C、E 为顶点的四边形是菱形；（3）作 CF⊥AB 于点 F，连接 AD 交 CF 于点 G（如图 2），求 的值．27. （2012 江苏镇江 11 分）等边△ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合），连接 AP，以 AP 为边向两侧作等边△APD 和等边△APE，分别与边 AB、AC 交于点 M、N（如图 1）。（1）求证：AM=AN；（2）设 BP=x。①若，BM= ，求 x 的值；②记四边形 ADPE 与△ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式以及 S 的最小值；③连接 DE，分别与边 AB、AC 交于点 G、H（如图 2），当 x 取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。 28. （2012 福建三明 14 分）在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 P 在线段 BC 上（不含点 B），∠BPE＝ ∠ACB，PE 交 BO 于点 E，过点 B 作 BF⊥PE，垂足为 F，交 AC 于点 G．（1） 当点 P 与点 C 重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；（4 分）（2）通过观察、测量、猜想： = ▲ ，并结合图②证明你的猜想；（5 分）（3）把正方形 ABCD 改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求 的值．（用含 α 的式子表示）（5 分） 29. （2012 辽宁沈阳 12 分）已知，如图①，∠MON=60°，点 A，B 为射线 OM，ON 上的动点（点A，B 不与点 O 重合），且 AB=4√3，在∠MON 的内部、△AOB 的外部有一点 P，且 AP=BP，∠APB=120°.（1）求 AP 的长；（2）求证：点 P 在∠MON 的平分线上；（3） 如图②，点 C，D，E，F 分别是四边形 AOBP 的边 AO，OB，BP，PA 的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.①当 AB⊥OP 时，请直接写出四边形 CDEF 的周长的值；②若四边形 CDEF 的周长用 t 表示，请直接写出 t 的取值范围．30. （2012 辽宁大连 12 分）如图 1，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点 E 在 AD 上，点 F 在 DC 上，且∠BEF=∠A.ÚÚÚ（1）∠BEF=_____(用含 α 的代数式表示)；ÚÚ（2）当 AB＝AD 时，猜想线段 ED、EF 的数量关系，并证明你的猜想；ÚÚ（3）当 AB≠AD 时，将“点 E 在 AD 上”改为“点 E 在 AD 的延长线上，且 AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图 2），求 的值（用含 m、n 的代数式表示）。 相似三角形的对应边成比例，即可求得 的值。31. （2012 辽宁鞍山 12 分）如图，正方形 ABCO 的边 OA、OC 在坐标轴上，点 B 坐标（3，3），将正方形 ABCO 绕点 A 顺时针旋转角度 α（0°＜α＜90°），得到正方形 ADEF，ED 交线段 OC 于点 G，ED的延长线交线段 BC 于点 P，连 AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG 的度数；并判断线段 OG、PG、BP 之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2 时，求直线 PE 的解析式．32. （2012 山东威海 11 分）探索发现：已知：在梯形 ABCD 中，CD∥AB，AD、BC 的延长线相交于点 E，AC、BD 相交于点 O，连接 EO 并延长交 AB 于点 M，交 CD 于点 N。（1）如图①，如果 AD=BC，求证：直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线；（2）如图②，如果 AD≠BC，那么线段 AM 与 BM 是否相等？请说明理由。学以致用：仅用直尺（没有刻度），试作出图③中的矩形 ABCD 的一条对称轴。（写出作图步骤，保留作图痕迹） 33. （2012 四川泸州 9 分）如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，C 是的弧 AD 中点，弦 CE⊥AB于点 H，连结 AD，分别交 CE、BC 于点 P、Q，连结 BD。(1)求证：P 是线段 AQ 的中点；(2)若⊙O 的半径为 5，AQ= ，求弦 CE 的长。34. （2012 四川成都 10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O的切线交 AB 的延长线于 F．切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K． （1）求证：KE=GE； （2）若 =KD·GE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若 sinE= ，AK= ，求 FG 的长．35. （2012 广西钦州 10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线 EF 经过点 C，AD⊥EF 于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）求证：AC2=AD•AB；（3）若⊙O 的半径为 2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．36. （2012 广西贵港 11 分）如图，Rt△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、CA 分别相切于点 D、E、F，且∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3。点 P 在射线 AC 上运动，过点 P 作 PH⊥AB，垂足为 H。2KG （1）直接写出线段 AC、AD 以及⊙O 半径的长；（2）设 PH＝x，PC＝y，求 y 关于 x 的函数关系式；（3）当 PH 与⊙O 相切时，求相应的 y 值。37. （2012 贵州安顺 12 分）如图，在⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B 的大小；（2）已知 AD=6，求圆心 O 到 BD 的距离．38. 2012 云南省 7 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M，与 BD相交于点 N，连接 BM，DN．（1）求证：四边形 BMDN 是菱形；（2）若 AB=4，AD=8，求 MD 的长．39. （2012 山东淄博 9 分）在矩形 ABCD 中，BC=4，BG 与对角线 AC 垂直且分别交 AC，AD 及射线 CD于点 E，F，G，AB=x．（1）当点 G 与点 D 重合时，求 x 的值；（2）当点 F 为 AD 中点时，求 x 的值及∠ECF 的正弦值．