2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷 D（小学组）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）3 +5 +7 +9 ＝　 　．2．（10 分）丫丫一家 3 口，加上丫丫的表弟，今年四人年龄之和为 95 岁．爸爸比妈妈大 4 岁，丫丫比表弟大 3 岁.8 年前，他们的年龄之和为 65 岁．则爸爸今年　 　岁．3．（10 分）两个非零自然数的和是 210，它们的最小公倍数是 1547，则它们的乘积是　 　．4．（10 分）A，B 两地相距 600 千米，甲、乙两人同时骑自行车从A地出发去B地．甲每天骑 40 千米，乙每天骑 60 千米，但乙骑一天休息一天．第　 　天的行程结束时，乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍．5．（10 分）如图所示，四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF的面积分别是 22 和 36，则三角形BNE的面积为　 　．6．（10 分）某班植树节植树，分为 3 个组，第一组每人植树 5 棵，第二组每人植树 4 棵，第三组每人植树 3 棵．已知第二组人数是第一、三两组人数之和的三分之一，植树棵数比第一、三两组棵数之和少 72 棵，则该班级至少有　 　人．7．（10 分）11×101×1001×10001×1000001×111 的末 8 位数字依次是　 　．8．（10 分）在银行ATM机取钱时需要输入银行卡密码后才能进行下一步操作，密码是 000000 到999999 中某一个 6 位数码．某人取钱时忘记了密码，只记得密码中有 1，3，5，7，9 并且没有别的数字．如果不限制输错密码的次数，某人最多输入　 　次不同的密码就能进行下一步的操作．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）在如图的加法竖式中，不同的汉字可以代表相同的数字，使得算式成立．在所有满足要求的算式中，四位数 的最大值是多少？10．（10 分）如图所示，AB∥CE，AC∥DE，且AB＝AC＝5，CE＝DE＝10．若三角形COD的面积为 10，求四边形ABDE的面积．11．（10 分）老师为自己班级的 50 名学生做了 50 张分别写着 1 到 50 的数字卡片，每张卡片都是一面红色，另一面蓝色，两面都写着相同的数字．老师把这 50 张卡片都蓝色朝上地摆在桌上，对同学们说：“请你们按顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：只要卡片上的数字是你自己序号的倍数，你就把它们都翻过来，蓝的就翻成红的，红的就翻成蓝的．”那么，当全体学生都按老师的要求翻完以后，红色朝上的卡片有多少张？12．（10 分）设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体，则该正方体的棱长最大等于多少？ 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）2011 年 4 月 16 日是星期六．求二十一世纪中二月份有五个星期日的年份．14．（15 分）两个最简分数，较大的减去较小的差是 ，两个分子的最大公约数等于两个分子的差，两个分子的最小公倍数是 1050．求这两个最简分数．2011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷 D（小学组）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）3 +5 +7 +9 ＝　 27 　．【分析】3 ＝4﹣ ，5 ＝6﹣ ，7 ＝8﹣ ，9 ＝10﹣ ，由此进行变形，然后根据加法结合律和减法的性质简算．【解答】解：3 +5 +7 +9＝（4﹣ ）+（6﹣ ）+（8﹣ ）+（10﹣ ）＝（4+6+8+10）﹣（ + + + ）＝28﹣（ + + + ）＝28﹣＝27 ．故答案为：27 ．2．（10 分）丫丫一家 3 口，加上丫丫的表弟，今年四人年龄之和为 95 岁．爸爸比妈妈大 4 岁，丫丫比表弟大 3 岁.8 年前，他们的年龄之和为 65 岁．则爸爸今年　 42 　 岁．【分析】因为今年的年龄之和为 95 岁．那么 8 年前四人的年龄之和应该是 95﹣8×4＝63 岁，而实际年龄和是 65 岁，多减去了 65﹣63＝2 岁，这说明表弟 8 年前还没出生，所以表弟今年的年龄是8﹣2＝6 岁，则丫丫的年龄是 6+3＝9 岁，那么爸爸妈妈的年龄和就是 95﹣6﹣9＝80 岁，又因为爸爸比妈妈大 4 岁，所以他们的年龄和加上 4，再除以 2，即可得出爸爸的年龄．【解答】解：因为今年的年龄之和为 95 岁．那么 8 年前四人的年龄之和应该是 95﹣8×4＝63（岁）而实际年龄和是 65 岁，多减去了 65﹣63＝2（岁），这说明表弟 8 年前还没出生所以表弟今年的年龄是 8﹣2＝6（岁）则丫丫的年龄是 6+3＝9（岁）则爸爸的年龄是（95﹣9﹣6+4）÷2＝84÷2＝42（岁）答：爸爸今年 42 岁．故答案为：42．3．（10 分）两个非零自然数的和是 210，它们的最小公倍数是 1547，则它们的乘积是　 10829 　 ．【分析】先对 1547 分解质因数 1547＝7×17×13，所以，两个数为 7，17，13 中的任意两数的乘积．【解答】解：1547＝7×17×13，这两个数为 7，17，13 中的任意两个数的乘积，有 7，17，13，91，119，221，1547 这七个数，要使两数和为 210， 所以这两个数为 91，119，所以乘积为 91×119＝10829．故答案为：10829．4．（10 分）A，B 两地相距 600 千米，甲、乙两人同时骑自行车从A地出发去B地．甲每天骑 40 千米，乙每天骑 60 千米，但乙骑一天休息一天．第　 12 　 天的行程结束时，乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍．【分析】此题可设第x天的行程结束时，乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍，根据题意，第x天甲行了 40x，距B地还有（600﹣40x）千米，乙行了 60÷2×x，距B地还有（600﹣60÷2×x）千米，根据“乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍”，列出方程 600﹣60÷2×x＝2×（600﹣40x），解答即可．【解答】解：设第x天的行程结束时，乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍，得：600﹣60÷2×x＝2×（600﹣40x） 600﹣30x＝1200﹣80x 50x＝600 x＝12答：第 12 天的行程结束时，乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍．故答案为：12．5．（10 分）如图所示，四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF的面积分别是 22 和 36，则三角形BNE的面积为　 14 　 ．【分析】如下图所示，连接AM，由等底等高的三角形的面积相等，有S△DAP＝S△DAM，所以S△DAP﹣S△DAF＝S△DAM﹣S△DAF，即S△PDF＝S△MAF＝22，同理可得，S△BNE＝S△MAE，所以S△BNE＝S△MAE＝S△EAF﹣S△MAF＝36﹣22＝14，据此解决即可．【解答】解：如上图所示：因为S△DAP＝S△DAM，所以S△DAP﹣S△DAF＝S△DAM﹣S△DAF，即S△PDF＝S△MAF＝22．同理可得，S△BNE＝S△MAE，所以S△BNE＝S△MAE＝S△EAF﹣S△MAF＝36﹣22＝14．答：三角形BNE的面积为 14．故答案为：14．6．（10 分）某班植树节植树，分为 3 个组，第一组每人植树 5 棵，第二组每人植树 4 棵，第三组每人植树 3 棵．已知第二组人数是第一、三两组人数之和的三分之一，植树棵数比第一、三两组棵数之和少 72 棵，则该班级至少有　 32 　 人．【分析】第一组x人，第二组y人，第三组z人因为：第二组的人数是一、三两组总人数的 ，所以：y＝ （x+z），3y＝x+z，4y＝x+y+z 所以总人数是 4 的倍数．因为：第二组植的树比一、三两组植树棵树总和少 72，所以： 4y＝5x+3z﹣72＝2x+3y﹣724y＝2x+3（x+z）﹣72 4y＝2x+9y﹣72把y＝1，2，3，4，5，6，7，8 代入上面各式，只有 8 满足最小解．然后求出总人数即可．【解答】解：第一组x人，第二组y人，第三组z人，得：y＝ （x+z） ①3y＝x+z②4y＝x+y+z③由③可知总人数是 4 的倍数．所以：4y＝5x+3z﹣72＝2x+3y﹣724y＝2x+3（x+z）﹣72 4y＝2x+9y﹣72 ④把y＝1，2，3，4，5，6，7，8 代入④，只有 8 满足最小解．因此，总人数为：4y＝4×8＝32（人）答：该班级至少有 32 人．故答案为：32．7．（10 分）11×101×1001×10001×1000001×111 的末 8 位数字依次是　 87654321 　 ．【分析】把 11×101×1001×10001×1000001×111 运用乘法交换和结合律进行整合，然后整理成 11111111×111111111111，进而得出 11×101×1001×10001×1000001×111 的末 8 位数字依次是87654321；据此解答．【解答】解：11×101×1001×10001×1000001×111＝（11×101）×1001×10001×1000001×111＝（1111×10001）×1001×1000001×111＝11111111×111111×1000001＝11111111×111111111111； 因为 1111×1111＝1234321，1111×111111＝123444321，111111×111111＝12345654321，111111×11111111＝1234566654321，所以：11111111×111111111111＝1234567888887654321，所以 11×101×1001×10001×1000001×111 的末 8 位数字依次是 87654321；答：11×101×1001×10001×1000001×111 的末 8 位数字依次是 87654321．故答案为：87654321．8．（10 分）在银行ATM机取钱时需要输入银行卡密码后才能进行下一步操作，密码是 000000 到999999 中某一个 6 位数码．某人取钱时忘记了密码，只记得密码中有 1，3，5，7，9 并且没有别的数字．如果不限制输错密码的次数，某人最多输入　 1800 　 次不同的密码就能进行下一步的操作．【分析】首先考虑密码是 6 位数，则 1，3，5，7，9 中有一位数字重复，重复数字的可能性有种，然后将 6 个数字进行全排列，还要考虑两个相同的数字，据此解答．【解答】解：根据分析可得，输入次数为 ＝1800．故答案为：1800．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）在如图的加法竖式中，不同的汉字可以代表相同的数字，使得算式成立．在所有满足要求的算式中，四位数 的最大值是多少？ 【分析】根据题干，要使四位数 的值最大，则上面的两位数加数和三位数加数的值应该最小，则两位数加数最小是 10，三位数加数最小是 100，则四位数 的最大值就是 2011﹣100﹣10＝1901．【解答】解：根据题干分析可得，两位数加数最小是 10，三位数加数最小是 100，则四位数 的最大值就是 2011﹣100﹣10＝1901．答：四位数 的最大值是 1901．10．（10 分）如图所示，AB∥CE，AC∥DE，且AB＝AC＝5，CE＝DE＝10．若三角形COD的面积为 10，求四边形ABDE的面积．【分析】根据“AB∥CE，AC∥DE”推出三角形面积之比与边的比之间的关系，求出各三角形的面积，即S△ABC、S△ACE、S△COD、S△DOE，进而解决问题．【解答】解：因为AC∥DE，所以S△AOE＝S△COD，又 ＝ ， ＝ ＝ ，所以 ＝ ．因为三角形EAC在边AC上的高和三角形CDE在边DE上的高相等，所以 ＝ ＝ ＝因为 ＝ ＝ ，所以S△DOE＝2S△COD＝20．因为 ＝ ＝ ，所以S△AOC＝S△AOE＝S△COD＝5．所以S△ACE＝S△AOC+S△AOE＝15，因为AB∥CE，所以 ＝ ＝ ，即S△ABC＝S△ACE＝ ×15＝7.5．所以SABCDE＝S△ABC+S△ACE+S△COD+S△DOE＝7.5+15+10+20＝52.5． 答：四边形ABDE的面积是 52.5．11．（10 分）老师为自己班级的 50 名学生做了 50 张分别写着 1 到 50 的数字卡片，每张卡片都是一面红色，另一面蓝色，两面都写着相同的数字．老师把这 50 张卡片都蓝色朝上地摆在桌上，对同学们说：“请你们按顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：只要卡片上的数字是你自己序号的倍数，你就把它们都翻过来，蓝的就翻成红的，红的就翻成蓝的．”那么，当全体学生都按老师的要求翻完以后，红色朝上的卡片有多少张？【分析】每张卡片，所写数字有几个约数就被翻过几次．被翻了奇数次的卡片红色面朝上，而只有完全平方数才能有奇数个约数，所以本题也就是求写有完全平方数的卡片有几张．【解答】解：因为 1≤12＜22＜32＜42＜52＜62＜72＜50．所以红色朝上的卡片共有 7 张．答：红色朝上的卡片有 7 张．12．（10 分）设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体，则该正方体的棱长最大等于多少？【分析】画出图形，见下图，球的内接正方形ABCD﹣A1B1C1D1的顶点在球面上，它的（体）对角线AC1就是球的直径，即AC1＝2×10＝20（厘米）．然后由图的对称性以及勾股定理解决问题．【解答】解：球的内接正方形ABCD﹣A1B1C1D1的顶点在球面上，它的（体）对角线AC1就是球的直径，即AC1＝2×10＝20（厘米）．由图的对称性，可知∠AA1C1＝90°，∠A1B1C1＝90°．设正方形的棱长为a，即AA1＝A1B1＝B1C1＝a，连续用勾股定理两次，得到：A1C12＝2a2，AC12＝AA12+A1C12+3a2，则 3a2＝202＝400，a2＝ ＝133 ．显然，只要一个正方体的棱长a为整数，满足a2≤133，那么这个正方体一定可以放入球中，因为 112＝121＜133＜144＝122．故所求的棱长为整数的正方体的最大棱长等于 11 厘米．答：该正方体的棱长最大等于 11 厘米．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）2011 年 4 月 16 日是星期六．求二十一世纪中二月份有五个星期日的年份．【分析】根据题意，符合题意的年份必定是闰年（二月有 29 天），并且二月一日恰好是星期日，所以得先找到二十一世纪第一个二月一日是星期日的年份；据此解答．【解答】解：根据题意，2011 年 4 月 16 日是星期六，可倒推得 2004 年 2 月 1 日是星期日．这样可按每隔 4×7（28）年为一个周期推算，二十一世纪符合题意的年份有 2004，2032，2060 和 2088 年，共有 4 个．14．（15 分）两个最简分数，较大的减去较小的差是 ，两个分子的最大公约数等于两个分子的差，两个分子的最小公倍数是 1050．求这两个最简分数．【分析】把 1050 分解质因数，1050＝2×3×5×5×7，得到两个数的最大公约数等于两个分子的差数 5，得到分子是 3×5×5＝75 和 2×7×5＝70；然后根据较大的减去较小的差是 ，进而求出两个分数的分母，即可得解．【解答】解：设这两个最简分数为 和 ， （b，d ）＝1； （1）（a，c）＝1； （2）（am，bk ）＝1；（cm，dk ）＝1．（3）既然m＝am﹣cm，所以有a﹣c＝1．（4）又因为[am，cm]＝1050＝1×2×3×5×5×7，并结合（4），可得到：①c＝14，a＝15，m＝5，此时， ﹣ ＝ ，或 ﹣ ＝ ； （5）②c＝6，a＝7，m＝5×5，此时， ﹣ ＝ ； （6）③c＝5，a＝6，m＝5×7，此时， ﹣ ＝ ； （7）④c＝2，a＝3，m＝5×5×7，此时， ﹣ ＝ （8）⑤c＝1，a＝2，m＝3×5×5×7，此时， ﹣ ＝ （9）上面第（6）式中， ﹣ ＝5×（ ）＝ ，结合条件（1），必有 5|k，即k 有约数 5，和（3）矛盾．即 ﹣ ＝ 无解．同样，（7），（8）和 （9）中，必有 7|k，均和（3）矛盾，即都无解．仅考虑（5），﹣ ＝ ， ﹣ ＝ ＝ ＝ ，（10）根据（1），（2）和（3），应当有（b，15d﹣14b）＝1，（d，15d﹣14b）＝1，此即意味着：k＝（15d﹣14b）×n，（11）并且（10）变形为 ＝ ，即n，b，d 只能取 1，2，3，6．由（3）和（11），可知：（n，15）＝1，（n，14）＝1，因此得n＝1．同样，（b，15）＝1，（d，14）＝1，因此可得：b＝2，d＝3．所以bk＝2×（15d﹣14b）＝34，dk＝3×（15d﹣14b）＝51．这两个分数是 和 ．答：这两个分数是 和 ．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:52:42；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800