2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 A 卷）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：19×0.125+281× ﹣12.5＝　 　．2．（10 分）农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，冬至那天是一九的第一天，2012 年 12 月 21 日是冬至，那么 2013 年的元旦是　 　九的第　 　天．3．（10 分）某些整数分别被 ， ， ， 除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是 ， ， ，，则满足条件且大于 1 的最小整数是　 　．4．（10 分）如图，在边长为 12 厘米的正方形ABCD中，以AB为底边作腰长为 10 厘米的等腰三角形PAB．则三角形PAC的面积等于　 　平方厘米．5．（10 分）有一筐苹果，甲班分，每人 3 个还剩 11 个；乙班分，每人 4 个还剩 10 个；丙班分，每人5 个还剩 12 个．那么这筐苹果至少有　 　个．6．（10 分）两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长为 3，则这个立体图形的表面积为　 　．7．（10 分）设n是小于 50 的自然数，那么使得 4n+5 和 7n+6 有大于 1 的公约数的所有n的可能值之和为　 　．8．（10 分）由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括地面）所有黑点的总数至少是　 　．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）用四个数字 4 和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于 3、4、5 和 6 的算式．10．（10 分）小明与小华同在小六（1）班，该班学生人数介于 20 和 30 之间，且每个人的出生日期均不相同．小明说：“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说：“本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”．问这个班有多少名学生？11．（10 分）小虎周末到公园划船，九点从租船处出发，计划不超过十一点回到租船处．已知，租船处在河的中游，河道笔直，河水流速 1.5 千米/小时，每划船半小时，小虎就要休息十分钟让船顺水漂流． 船在静水中的速度是 3 千米/小时；问：小虎的船最远可以离租船处多少千米？12．（10 分）由四个相同的小正方形拼成如图，能否将连续的 24 个自然数分别放在图中所示的 24 个黑点处（每处放一个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等？若能，请给出一个例子，请说明理由． 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）用八个如图所示的 2×1 的小长方形可以拼成一个 4×4 的正方形，若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有多少种？14．（15 分）不为零的自然数n既是 2010 个数字和相同的自然数之和，也是 2012 个数字和相同的自然数之和，还是 2013 个数字和相同的自然数之和，那么n最小是多少？2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 A 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：19×0.125+281× ﹣12.5＝　 25 　 ．【分析】根据乘法分配律进行简算即可．【解答】解：根据题意可得：19×0.125+281× ﹣12.5，＝19×0.125+281×0.125﹣100×0.125，＝（19+281﹣100）×0.125，＝200×0.125，＝25．故答案为：25．2．（10 分）农谚“逢冬数九”讲的是，从冬至之日起，每九天分为一段，依次称之为一九，二九，…，冬至那天是一九的第一天，2012 年 12 月 21 日是冬至，那么 2013 年的元旦是　二　九的第　 3 　 天．【分析】先求出 2012 年 12 月 21 日到 2013 年的元旦经过了多少天，再求这些天里有几个 9 天，还余几天，再根据余数推算是几九第几天即可．【解答】解：2012 年 12 月 21 日到 2013 年的元旦共有 12 天，12÷9＝1…3，说明已经经过了 1 个 9 天，还余 3 天，这一天就是二九的第 3 天．答：2013 年的元旦是二九的第 3 天．故答案为：二，3．3．（10 分）某些整数分别被 ， ， ， 除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是 ， ， ，，则满足条件且大于 1 的最小整数是　 316 　 ．【分析】观察所得的商的分数部分： ， ， ， ，分子都是 2，分母分别为这些分数的 ， ，， 分子，所以只要求出 3、5、7、9 的最小公倍数再加 1 即可．【解答】解：3、5、7、9 的最小公倍数是：3×3×5×7＝315，所以满足条件且大于 1 的最小整数是：315+1＝316；故答案为：316．4．（10 分）如图，在边长为 12 厘米的正方形ABCD中，以AB为底边作腰长为 10 厘米的等腰三角形PAB．则三角形PAC的面积等于　 12 　 平方厘米． 【分析】过P点作PE⊥AB，PF⊥BC，三角形PAC的面积＝三角形PAB的面积+三角形PBC的面积﹣三角形ABC的面积．【解答】解：因为 102﹣（12÷2）2＝64，则PE＝8，PF＝6，所以三角形PAB的面积为：12×8÷2＝48（平方厘米），三角形PBC的面积为：12×6÷2＝36（平方厘米），阴影部分的面积为：48+36﹣12×12÷2，＝84﹣72，＝12（平方厘米）；答：三角形PAC的面积等于 12 平方厘米．故答案为：12．5．（10 分）有一筐苹果，甲班分，每人 3 个还剩 11 个；乙班分，每人 4 个还剩 10 个；丙班分，每人5 个还剩 12 个．那么这筐苹果至少有　 62 　 个．【分析】因为 11÷3，10÷4，12÷5 余数都是 2，因此这筐苹果的个数就是 3、4、5 的最小公倍数加上 2 即可．【解答】解：11÷3＝3…2，10÷4＝2…2，12÷5＝2…2，3×4×5+2＝60+2＝62（个）；答：这筐苹果至少有 62 个．故答案为：62．6．（10 分）两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长为 3，则这个立体图形的表面积为　 74 　 ．【分析】观察图形可知，大正方体与小正方体的相连的两个面如图所示：因为大正方体的棱长是 3，则四周的小直角三角形的直角边分别是 2、1；如果把四周的四个直角三角形剪下来，正好拼成一个边长是 2 的正方形，根据正方形的面积公式可得：大正方体的一个面的面积是 3×3＝9，则小正方体的一个面的面积就是 9﹣2×2＝5；则这个立方体的表面积就是大正方体的表面积与小正方体的四个面的面积之和，据此即可解答． 【解答】解：根据题干分析可得：大正方体的一个面的面积是：3×3＝9，小正方体一个面的面积是：2×2＝4，9﹣4＝5，所以这个立体图形的表面积是：9×6+5×4，＝54+20，＝74，答：这个立体图形的表面积是 74．故答案为：74．7．（10 分）设n是小于 50 的自然数，那么使得 4n+5 和 7n+6 有大于 1 的公约数的所有n的可能值之和为　 94 　 ．【分析】此题可以通过设公约数这个参数，将参数值求出，进而得出n的值．【解答】解：设 4n+5 和 7n+6 的公约数为k，则（4n+5）÷k为整数，（7n+6）÷k为整数，为了作差后消去n，则左边的式子乘上 7，右边的式子乘上 4，结果还是都为整数， 则[7（4n+5）﹣4（7n+6）]÷k＝11÷k为整数，因为k≠1，则 11÷k为整数时k只能为 11，即两代数式大于 1 个公约数为 11， 又因为[2（4n+5）﹣（7n+6）]÷k为整数，[这里（4n+5）乘上 2 来作差是为了让n的系数变为 1 方便筛选]代入k＝11，有（n+4）÷11 为整数因为n＜50则n＝7，18，29，40．7+18+29+40＝94．故所有n的可能值之和为 94．故答案为：94．8．（10 分）由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括地面）所有黑点的总数至少是　 54 　 ．【分析】根据图意知，上面的正方体同下面正方体中间相连的面最大是 5 个黑点，下面中间的正方体面同上面正方体和左右两个正方体三个面连接的面，最大是 6，4，3 个黑点，下面左面的正方体和下面右面的正方体，同中间的正方体连接的面，最大是 6 个黑点，然用四个正方体上的黑点总数，减去连接在一起看不到的黑点数，就是表面的黑点数．【解答】解：根据以上分析得：（1+2+3+4+5+6）×4﹣5﹣6﹣4﹣3﹣6×2，＝21×4﹣5﹣6﹣4﹣3﹣12，＝84﹣5﹣6﹣4﹣3﹣12，＝54（个）．故答案为：54．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）用四个数字 4 和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于 3、4、5 和 6 的算式．【分析】因为 12÷4＝3，4+4+4＝12，所以可以写成（4+4+4）÷4＝3； 因为 4×（4﹣4）＝0，4﹣0＝4，所以可以写成 4﹣（4﹣4）×4＝4；因为 4×5＝20，20÷4＝5，所以可以写成（4×4+4）÷4＝5；因为 2+4＝6，（4+4）÷4＝2，所以可以写成（4+4）÷4+4＝6．【解答】解：（4+4+4）÷4＝3； 4﹣（4﹣4）×4＝4；（4×4+4）÷4＝5；（4+4）÷4+4＝6；10．（10 分）小明与小华同在小六（1）班，该班学生人数介于 20 和 30 之间，且每个人的出生日期均不相同．小明说：“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说：“本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”．问这个班有多少名学生？【分析】设比小明小得学生为x人，比小华小的学生为y人，那么比小明大的学生为 2x人，所以全班学生共有N＝3x+1 人，又因为比小华大的学生为 3y人，所以全班学生共有N＝4y+1 人，则 N﹣1 既是 3 的倍数，又是 4 的倍数，因此 N﹣1 是 3×4＝12 的倍数，结合该班学生人数介于 15 到 30人之间，所以 N﹣只能是 24，所以这个班共有学生N＝24+1＝25 人．【解答】解：由分析知，设比小明小得学生为x人，比小华小的学生为y人，那么比小明大的学生为 2x人，所以全班学生共有N＝3x+1 人，又因为比小华大的学生为 3y人，所以全班学生共有N＝4y+1 人，则 N﹣1 既是 3 的倍数，又是 4 的倍数，因此 N﹣1 是 3×4＝12 的倍数，结合该班学生人数介于 20 到 30 人之间，所以 N﹣1 只能是 24，所以这个班共有学生N＝24+1＝25 人．答：这个班有 25 名学生．11．（10 分）小虎周末到公园划船，九点从租船处出发，计划不超过十一点回到租船处．已知，租船处在河的中游，河道笔直，河水流速 1.5 千米/小时，每划船半小时，小虎就要休息十分钟让船顺水漂流． 船在静水中的速度是 3 千米/小时；问：小虎的船最远可以离租船处多少千米？【分析】小虎划船的全部时间是 120 分钟，他每划行 30 分钟，休息 10 分钟，周期为 40 分钟，所以一共可以分为 3 个 30 分钟划行时间段，有 3 个 10 分钟休息；划船时，顺水的船速与逆水的船速之比是 4.5：1.5＝3：1；因为小虎要把船划离到离租船处尽可能远，他在划船的过程中只能换一次划船的方向，而且是在尽可能远处，分为两种情况讨论，即开始向下游划船或开始向上游划船，然后再进一步解答即可．【解答】解：根据题意可得：分为两种情况，开始向下游划船或开始向上游划船；①我们假设开始时向下游划，若划 30 分钟，则向下游划（3+1.5）×0.5+1.5× ＝2.5（千米）；返回时，向上游划半小时，顺水漂 10 分钟为一个周期，可以向上游划 （3﹣1.5）×0.5﹣1.5×＝0.5（千米）；在剩余的 40 分钟内回不了租船处．假设开始时向下游划x（x＜30）分钟，则在前 40 分钟内，他可以向下游划（3+1.5）× ﹣（3﹣1.5）× +1.5× ＝0.1x﹣0.25（千米）要保证能回到租船处，则要求 0.1x﹣0.25≤0.5+0.75，即x≤15；所以最多可以划（3+1.5）× ＝1.125（千米）；②开始时向上游划，由①得向上游划半小时，顺水漂 10 分钟为一个周期，（T＝40 分钟）；可以向上游划（3﹣1.5）×0.5﹣1.5× ＝0.5（千米）；假设向上游划 2×40+x（x≤30）分钟，则可以向上游划 2×0.5+（3﹣1.5）× ＝1+ ；余下时间可以向下游划 （3+1.5）× +1.5× ＝2.5﹣x； 要保证能回到租船处，则要求 1+ ≤2.5﹣x，解得x≤15；所以最多可以离开租船处 1+ ＝1.375（千米）；比较两种情况，最多可以离开租船处 1.375 千米．答：小虎的船最远可以离租船处 1.375 千米．12．（10 分）由四个相同的小正方形拼成如图，能否将连续的 24 个自然数分别放在图中所示的 24 个黑点处（每处放一个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等？若能，请给出一个例子，请说明理由．【分析】不能．设放的最小自然数为a，则放的最小自然数为a+23．得到这 24 个自然数的和为A＝12（2a+23）．假设可能，设每个正方形边上所放的数之和为S．因为共有 5 个正方形，这些和的和为 5S．因为每个数在这些和中出现两次，所以 5S＝2A．记最小的 16 个数的和为B，则B＝8（2a+15）．再分两种情况讨论：（1）B≤S；（2）B＞S即可求解．【解答】解：不能．设放的最小自然数为a，则放的最大自然数为a+23．这 24 个自然数的和为A＝12（2a+23）．假设可能，设每个正方形边上所放的数之和为S．因为共有 5 个正方形，这些和的和为 5S．因为每个数在这些和中出现两次，所以 5S＝2A．记最小的 16 个数的和为B，则B＝8（2a+15）．分两种情况讨论：（1）若B≤S，则S＝A＝ （2a+23）≥8（2a+15），9.6a+110.4≥16a+120，不存在自然数a使得不等式成立．（2）若B＞S也是不可能的，因为此时不可能选择最大正方形边上的 16 个数使这 16 个数的和等于S．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）用八个如图所示的 2×1 的小长方形可以拼成一个 4×4 的正方形，若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同．问：在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有多少种？【分析】用右图 代替题目中的 2×1 小长方形，因为题目所给的小长方形的上下不对称，所以同一个小长方形在拼成的上下对称的正方形中，不会既在上半部分也在下半部分，这样，就可以只考虑上半部分的不同情形，据此画图分析解解答．【解答】解：（1）相邻的空白格在第一行的最左边或最右边，因为要排除旋转相同的，所以只考虑相邻空白格在最右边的情况，有下图所示的两种情况： ，（2）相邻的空白格在第一行中间，去掉旋转重合的，有下图所示 3 种情况：答：在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有 5 种．14．（15 分）不为零的自然数n既是 2010 个数字和相同的自然数之和，也是 2012 个数字和相同的自然数之和，还是 2013 个数字和相同的自然数之和，那么n最小是多少？【分析】根据要求写出满足条件的最小n值即可．【解答】解：根据题意有n＝2010A＝2012B＝2013C．能把数字和和数联系起来的数是能被 3 或 9整除的数．明白一个结论，求一个数能否被 3 或 9 整除，将这个数按数位截成若干个数或拆成若干个数，若若干个数的和能被 3 或 9 整除，则这个数能被 3 或 9 整除．例：求 12346789101112…2013能否被 9 整除，只需求 1+2+…+2013 的和能否被 9 整除． 显然 2010，2013 都是 3 的倍数，则n是 3 的倍数，2012B是 3 的倍数．根据非零自然数，B最小为 3，则n最小为 6036． 检验：x+y＝2010，3x+12y＝6036，x＝2008，y＝2（数字和也可以为 2）c+d＝2013，10c+d＝6036，c＝447，d＝1566（数字和等于 2 和 3 没有可能） 6036＝2012×3＝2008×3+12×2＝10×447+1566×1，总数n最小值为 6036．答：n最小是 6036．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:55:54；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800