2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组 B 卷）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：（2014×2014+2012）﹣2013×2013　 　．2．（10 分）将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上．已知∠1＝22°，那么∠2 是　 　度．3．（10 分）亮亮上学，若每分钟行 40 米，则 8：00 准时到校； 若每分钟行 50 米，则 7：55 到校．亮亮的家与学校的距离是　 　米．4．（10 分）第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b； 第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c； 这样继续下去，当完成第五次操作时，得到的图形中共有　 　个正方形．5．（10 分）“熊大”ד熊二”＝“熊兄弟”．若相同的汉字代表 0 至 9 中的相同数字，不同的汉字代表不同的数字，且“大”＞“二”，则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是　 　．6．（10 分）鸡兔同笼，共有 40 个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的 10 倍少 8 只，那么兔有　 　只．7．（10 分）如图所示的手串中，从挂坠的珠子开始逆时针将珠子 1 至 22 依次编号．小明玩数珠子游戏，规则是：从 1 号珠子开始顺时针逐个珠子连续地数自然数，但每当数到含数字 7 或 7 的倍数的数时就跳过它，直接数下一个数．例如：数到 6 时下一个数 8，数到 13 时下一个数 15，…．那么数到 100 时应落在第　 　号珠子上．8．（10 分）布袋中有 60 个彩球，每种颜色的球都有 6 个．蒙眼取球，要保证取出的球中有三个同色的球，至少要取出　 　个球．二、简答题（每小题 15 分，共 60 分，要求写出简要过程）9．（15 分）一块长方形的地ABCD分成如图所示的两个长方形，分别承包给甲、乙两户．甲户的蔬菜大棚与乙户的鸡场面积相等，剩下的部分甲户比乙户的面积多 96 亩．已知BF＝3CF，那么长方形ABCD的总面积是多少亩？10．（15 分）如图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量．如果每辆车都有 50 升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？ 11．（15 分）甲、乙、丙、丁四人分 2013 块糖果，甲分得的糖果比乙的 2 倍多 10 块，比丙的 3 倍多18 块，比丁的 5 倍少 55 块．那么甲分得糖果多少块？12．（15 分）编号从 1 到 10 的 10 个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：（1）涂 2 个球； （2）被涂色的 2 个球的编号之差大于 2．那么不同的涂色方法有多少种？2013 年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组 B 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：（2014×2014+2012）﹣2013×2013　 6039 　 ．【分析】把 2014 看作 2013+1，把 2012 看作 2013﹣1，进行简算即可．【解答】解：（2014×2014+2012）﹣2013×2013＝[（2013+1）×（2013+1）+（2013﹣1）]﹣2013×2013＝（2013+1）×（2013+1）+2013﹣1﹣2013×2013＝2013×2013+2013+2013+1+2013﹣1﹣2013×2013＝（2013×2013﹣2013×2013）+（1﹣1）+（2013+2013+1+2013）＝6039．故答案为：6039．2．（10 分）将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上．已知∠1＝22°，那么∠2 是　 44 　 度．【分析】由题意可知：因为是翻折，∠CFD应该和∠EFD相等，又因∠DEF等于 90°，∠1＝22°，于是利用三角形的内角和定理即可求出∠DFE的度数，又因∠CFD和∠EFD和∠2 构成了一个平角，平角是 180°，据此即可求出∠2 的度数．【解答】解：因为翻折，∠CFD＝∠EFD＝90°﹣22°＝68°，∠2＝180°﹣68°﹣68°＝44°．故答案为：44．3．（10 分）亮亮上学，若每分钟行 40 米，则 8：00 准时到校； 若每分钟行 50 米，则 7：55 到校．亮亮的家与学校的距离是　 1000 　 米．【分析】由题意，每分钟行 40 米，刚好够分；若每分钟行 50 米，则少 5×50＝250 米，所以250÷（50﹣40）＝25 分钟，亮亮的家与学校的距离是 25×40＝1000 米；据此解答．【解答】解：每分钟行 40 米，刚好够分；若每分钟行 50 米，则少 5×50＝250 米，所以 250÷（50﹣40）＝25 分钟，亮亮的家与学校的距离是 25×40＝1000 米；答：亮亮的家与学校的距离是 1000 米．故答案为：1000．4．（10 分）第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b； 第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c； 这样继续下去，当完成第五次操作时，得到的图形 中共有　 25 　 个正方形．【分析】图a有 5 个正方形，以后每次操作将一个正方形数目变成四个小正方形，每次增加 4 个正方形，所以可得计算公式：5+n（n﹣1）．【解答】解：当完成第五次操作时，得到的图形中共有：5+4n＝5+4×5＝25（个）答：当完成第五次操作时，得到的图形中共有 25 个正方形．故答案为：255．（10 分）“熊大”ד熊二”＝“熊兄弟”．若相同的汉字代表 0 至 9 中的相同数字，不同的汉字代表不同的数字，且“大”＞“二”，则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是　 686 　 ．【分析】根据题意，“熊”＝1，若“大”ד二”＜10，则“大”+“二”＜10；若“大”ד二”＞9，则“大”+“二”＜9；然后运用枚举法，解决问题．【解答】解：根据题意，“熊”＝1，若“大”ד二”＜10，则“大”+“二”＜10；若“大”ד二”＞9，则“大”+“二”＜9；枚举：“熊二”＝10，弟为 0，“熊大”没有可以取的值．因为不同的汉字代表不同的数字；“熊二”＝12，“熊大”可以为 13，14，15，16（舍去，数字重复）；“熊二”＝13，“熊大”可以为 14，15（舍去，数字重复）；“熊二”＝14，“熊大”没有可以取的值．所以“熊兄弟”代表的三位数之和是：12×（13+14+15）+13×14＝686．故答案为：686．6．（10 分）鸡兔同笼，共有 40 个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的 10 倍少 8 只，那么兔有　 33 　 只．【分析】设兔有x只，则鸡有（40﹣x）只，根据脚的倍数关系：兔脚的数＝鸡脚的数×10 倍+8只，可列方程解答即可．【解答】解：设兔有x只，则鸡有（40﹣x）只，根据脚的倍数关系可列方程：4x+8＝10×2×（40﹣x）4x+8＝800﹣20x x＝33答：兔子有 33 只．故答案为：33．7．（10 分）如图所示的手串中，从挂坠的珠子开始逆时针将珠子 1 至 22 依次编号．小明玩数珠子游戏，规则是：从 1 号珠子开始顺时针逐个珠子连续地数自然数，但每当数到含数字 7 或 7 的倍数的数时就跳过它，直接数下一个数．例如：数到 6 时下一个数 8，数到 13 时下一个数 15，…．那么数到 100 时应落在第　 4 　 号珠子上．【分析】含数字 7 或 7 的倍数的数有：个位是：7，17，27，…，97，十位：70，71，72，…，79，7 的倍数：100÷7＝14…2，其中 7、70、77 既是 7 的倍数又含有 7，据此解答即可．【解答】解：含数字 7 或 7 的倍数的数有：个位是：7，17，27，…，97，十位：70，71，72，…，79，7 的倍数：100÷7＝14…2，其中 7、70、77 既是 7 的倍数又含有 7，因此共有 10+10+14﹣4＝30，100﹣30＝70，70÷22＝3…4答：数到 100 时应落在第 4 号珠子上． 故答案为：4．8．（10 分）布袋中有 60 个彩球，每种颜色的球都有 6 个．蒙眼取球，要保证取出的球中有三个同色的球，至少要取出　 21 　 个球．【分析】60÷6＝10，有 10 种彩球，考虑最不利情况，每种彩球都拿了 2 个，再拿一个就能保证取出的球中有三个同色的球，所以答案为 2×10+1＝21．【解答】解：60÷6＝10（个），2×10+1＝21（个）；答：至少要取出 21 个球；故答案为：21．二、简答题（每小题 15 分，共 60 分，要求写出简要过程）9．（15 分）一块长方形的地ABCD分成如图所示的两个长方形，分别承包给甲、乙两户．甲户的蔬菜大棚与乙户的鸡场面积相等，剩下的部分甲户比乙户的面积多 96 亩．已知BF＝3CF，那么长方形ABCD的总面积是多少亩？【分析】根据题意，可知BF＝3CF，所以甲户的长方形面积是乙户的长方形面积的 3 倍，甲户的蔬菜大棚与乙户的鸡场面积相等，剩下的部分甲户比乙户的面积多 96 亩．则说明甲户的长方形面积比乙户的长方形面积多 96 亩，根据差倍问题，乙户的长方形面积为 96÷（3﹣1）＝48 亩，所以长方形ABCD的总面积是 48×（1+3）＝192 亩．【解答】解：因为BF＝3CF，所以长方形ABEF的面积＝长方形EFCD面积×3，甲户的蔬菜大棚与乙户的鸡场面积相等，剩下的部分甲户比乙户的面积多 96 亩．乙户的长方形面积为：96÷（3﹣1）＝48（亩），所以长方形ABCD的总面积是：48×（1+3）＝192（亩）．10．（15 分）如图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量．如果每辆车都有 50 升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？【分析】U类型：100 千米耗油 20 升，先用 50 升除以 20 升，求出 50 升能跑多少个 100 千米，再乘上 100 千米，就是U型车可以行驶的路程；同理求出V，W，X各可以跑多少千米，然后相加即可．【解答】解：（50÷20）×100+（50÷25）×100+（50÷5）×100+（50÷10）×100＝250+200+1000+500＝1950（千米）答：这四辆车最多可行驶的路程总计是 1950 千米．11．（15 分）甲、乙、丙、丁四人分 2013 块糖果，甲分得的糖果比乙的 2 倍多 10 块，比丙的 3 倍多18 块，比丁的 5 倍少 55 块．那么甲分得糖果多少块？【分析】设甲分得糖果x块，依据题意可得：乙分得糖 ×（x﹣10）块，丙分得 ×（x﹣18）块，丁分得糖 ×（x+55）块，再根据四人共分得 2013 块可列方程：x+ ×（x﹣10）+ ×（x﹣ 18）+ ×（x+55）＝2013，依据等式的性质即可求解．【解答】解：设甲分得糖果x块x+ ×（x﹣10）+ ×（x﹣18）+ ×（x+55）＝2013 2x＝2013 2x÷2 ＝2013 x＝990答：甲分得糖果 990 块．12．（15 分）编号从 1 到 10 的 10 个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：（1）涂 2 个球； （2）被涂色的 2 个球的编号之差大于 2．那么不同的涂色方法有多少种？【分析】本题采用枚举法，令被涂色的第一个球的编号小于第二个球的编号，由于 8+2＝10，要使编号之差大于 2，所以第二个球编号最大是 7，那么第一个球可以是 1～7 号中的任意一个，由此进行逐个情况讨论，最后再把各种情况的种数相加即可．【解答】解：第一个球涂 1 号，则另一个球可涂 4～10；有 7 种不同的情况；第一个球涂 2 号，则另一个球可涂 5～10；有 6 种不同的情况；第一个球涂 3 号，则另一个球可涂 6～10；有 5 种不同的情况；第一个球涂 4 号，则另一个球可涂 7～10；有 4 种不同的情况；第一个球涂 5 号，则另一个球可涂 8～10；有 3 种不同的情况；第一个球涂 6 号，则另一个球可涂 9～10；有 2 种不同的情况；第一个球涂 7 号，则另一个球可涂 10；有 1 种不同的情况；所以，不同的涂色方法有：7+6+5+4+3+2+1＝28（种）．答：不同的涂色方法有 28 种．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:51:35；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800