位移法本章主要介绍位移法，因此本次拓展资源总结了位移法的特点、两种位移法的求解方法等方面的内容。一、位移法中杆端弯矩正负号的规定与作弯矩图时弯矩正负号规定的不同及其原因位移法中杆端弯矩正负号的规定与作弯矩图时弯矩正负号规定有所不同：在位移法中杆端弯矩一律以顺时针向为正，而通常作弯矩图时，各杆弯矩图画在杆的受拉一侧，而在梁中，弯矩使梁下部纤维受拉着规定为正。位移法之所以这样规定，是由于：第一，这规定是针对杆端弯矩，而不是针对杆件任一截面的弯矩；第二，这样的规定是把杆端弯矩看作外力，为便于建立平衡方程（位移法的基本方程）而规定的。因取杆件（或取结点）为隔离体建立平衡方程时，杆端弯矩是隔离体上的外力，建立平衡方程取力矩时，力矩一律以顺时针转向为正。二、力法和位移法的比较 位移法 力法求解依据综合应用静力平衡、变形连续及物理关系这三方面的条件，使基本体系与原结构的变形和受力情况一致，从而利用基本体系建立典型方程求解原结构。 基 本 未 知量 独立的结点位移，基本未知量与结构的超静定次数无关。 多余未知力，基本未知量的数目等于结构的超静定次数 基本体系加入附加约束后得到的一组单跨超静定梁作为基本体系。对同一结构，位移法基本体系是唯一的。 去掉多余约束后得到的静定结构作为基本体系，同一结构可选取多个不同的基本体系 典 型 方 程的物理意义 基本体系在荷载等外因和各结点位移共同作用下产生的附加约束中的反力（矩）等于零。实质 上 是 原 结 构 应 满 足 的 平 衡 条件。方程右端项总为零。 基本体系在荷载等外因和多余未知力共同作用下产生多余未知力方向的位移等于原结构相应的位移。实质上是位移条件。方程右端项也可能不为零。 系 数 的 物理意义 rij表示基本体系在 Zj=1 作用下产生的第 i 个附加约束中的反力（矩）； δij表示基本体系在 Xj=1 作用下产生的第 i 个多余未知力方向的位移； 自 由 项 的物理意义 RiP表示基本体系在荷载作用下产生的第 i 个附加约束中的反力（矩）； ΔiP表示基本体系在荷载作用下产生的第 i 个多余未知力方向的位移； 方 法 的 应用范围 只要有结点位移，就有位移法基本未知量，所以位移法既可求解超静定结构，也可求解静定结构。 只有超静定结构才有多余未知力，才有力法基本未知量，所以力法只适用于求解超静定结构 三、位移法的特点位移法的特点：基本未知量独立结点位移； 基本体系一组单跨超静定梁； 基本方程平衡条件。因此，位移法分析中应解决的问题是：1）确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。2）确定结构独立的结点位移。3）建立求解结点位移的位移法方程。四、位移法计算典型方程法的解题思路和解题步骤1、位移法典型方程的建立欲用位移法求解图 a 所示结构，先选图 b 为基本体系。然后，使基本体系发生与原结构相同的结点位移，受相同的荷载，又因原结构中无附加约束，故基本体系的附加约束中的约束反力（矩）必须为零，即：R1=0，R2=0。而 Ri 是基本体系在结点位移 Z1，Z2 和荷载共同作用下产生的第 i 个附加约束中的反力（矩），按叠加原理 Ri 也等于各个因素分别作用时（如图 c，d，e 所示）产生的第 i 个附加约束中的反力（矩）之和。于是得到位移法典型方程： Z1Z1Z2Z1Z1Z2R1R2R1=0R2=0R1PR2Pr21Z1=1Z1×Z1×Z2r11Z2=1r22r12位移法基本体系原结构Z1Z1Z2Z1Z1Z2Z1Z1Z2Z1Z1Z2Z1Z1Z2R1R1R2R2R1=0R2=0R1PR1PR2PR2Pr21r21Z1=1Z1Z1=1Z1Z1=1Z1×Z1×Z2r11r11Z2=1Z2=1Z2=1Z2=1r22r22r12r12位移法基本体系原结构注意：1）位移法方程的物理意义：基本体系在荷载等外因和各结点位移共同作用下产生的附加约束中的反力（矩）等于零。实质上是原结构应满足的平衡条件。2）位移法典型方程中每一项都是基本体系附加约束中的反力（矩）。其中： RiP表示基本体系在荷载作用下产生的第 i 个附加约束中的反力（矩）；称为自由项。rijZj表示基本体系在 Zj作用下产生的第 i 个附加约束中的反力（矩）；3）主系数 rii表示基本体系在 Zi=1 作用下产生的第 i 个附加约束中的反力（矩）；rii恒大于零；4）付系数 rij表示基本体系在 Zj=1 作用下产生的第 i 个附加约束中的反力（矩）；根据反力互等定理有 rij=rji，付系数可大于零、等于零或小于零。5）由于位移法的主要计算过程是建立方程求解方程，而位移法方程是平衡条件，所以位移法校核的重点是平衡条件（刚结点的力矩平衡和截面的投影平衡）。 2、解题步骤： 1）确定位移法基本未知量，加入附加约束，取位移法基本体系。2）令附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和结点位移共同作用下产生的附加约束中的总反力（矩）=0，列位移法典型方程。 3）绘出单位弯矩图、荷载弯矩图，利用平衡条件求系数和自由项。 4）解方程，求出结点位移。 5）用公式 叠加最后弯矩图。并校核平衡条件。 6）根据 M 图由杆件平衡求 Q，绘 Q 图，再根据 Q 图由结点投影平衡求 N，绘 N 图。五、位移法计算直接平衡法的解题思路和解题步骤1、直接列平衡方程法位移法方程实质上是静力平衡方程。对于结点角位移，相应的是结点的力矩平衡方程；对于结点线位移，相应的是截面的投影平衡方程。用基本体系方法计算时，是借助于基本体系这个工具，以达到分步、分项写出平衡方程的目的。也可以不用基本体系，直接由转角位移方程，写出各杆件的杆端力表达式，在有结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程；在有结点线位移处，建立截面的投影平衡方程。这些方程也就是位移法的基本方程。3、解题步骤1）确定基本未知量；2）由转角位移方程，写出各杆端力表达式；3）在由结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程，在由结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程， 得到位移法方程；4）解方程，求基本未知量； 5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到杆端力； 6）按杆端力作弯矩图。