条件概率、全概率公式与贝叶斯公式　　一、背景　　一个随机事件 的概率 ,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件 发生的可能性大小的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如果增加某个条件之后,事件 的概率会怎样变化的?它与原来的概率 之间有什么关系?显然这类现象是常有的.　　[例 1]设有一群共 人,其中 个女性, 个是色盲患者. 个色盲患者中女性占 个.如果 ={从中任选一个是色盲}, ={从中任选一个是女性},此时, .如果对选取规则 附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说, 发生之后, 发生的概率(暂且记为)自然是 .　　[例 2]将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件 为“两次掷出同一面”,事件为“至少有一次为正面 H”.现在来求已知事件 已经发生的条件下事件 发生的概率.　这里,样本空间 .易知此属于古典概型问题.已知事件 已发生,有了这一信息,知道 不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就是 . 中共有 3 个元素,其中只有 属于 .于是,在 发生的条件下, 发生的概率为　　对于例 1,已知　　容易验证在 发生的条件下, 发生的概率　　对于例 2,已知　　容易验证 发生的条件下, 发生的概率 　　解:设 ={从这批种子任选一颗种子是 等种子}, .　　　 ={从这批种子任选一颗,所结出的麦穗含有 50 颗麦粒以上}则　　　　　　由全概率公式　　在例题 5 中, ,这对于农业技术人员来说,这个数据是重要的,但对育种专家来说,仅有这个数据是不够的.因为他们更感兴趣的是下面的问题.　　[例 6]在例题 5 中,问由这批所结出的含有 50 颗麦粒以上麦穗中是一等、二等种子长出的概率.　　解:　　　　　　在上面的计算中,事实上建立了一个著名的公式——Bayes 公式.　　七、贝叶斯公式　　设试验 的样本空间, 为 的事件, 为 的一个分割,且 ,则 　　上式称为贝叶斯公式.　　证明:由条件概率,知和全概率公式　　[例 7]某电子设备厂所用的元件是由三家元件厂提供的,根据以往的记录,这三个厂家的次品率分别为 0.02,0.01,0.03,提供元件的份额分别为 0.15,0.8,0.05,设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志.　　(1)在仓库中随机地取一个元件,求它是次品的概率.　　(2)在仓库中随机地取一个元件,若已知它是次品,为分析此次品出自何厂,需求出此品由三个厂家生产的概率是多少?　　解:设 取到的元件是次品, 表示取到的元件是由第 个厂家生产的.　　(1)由全概率公式,　　　　　(2)由贝叶斯公式,　　以上结果表明,这只产品来自第 2 家工厂的可能性最大. 　　八、贝叶斯方法　　从这道题中我们看出，“取一个元件”是进行一个试验,那么 是在试验以前就已经知道的,所以习惯地称它们为先验概率.实际上它是过去已经掌握的生产情况的反映,对试验要出现的结果提供了一定的信息.　　在这个例子中,试验结果出现次品,这时条件概率 反映了在试验以后,对 A 发生的来源的各种可能性的大小,通常称为后验概率.　　如果 是病人可能患的n种疾病,在诊断以前先检验与这些疾病有关的某些指标(如体温,血压,白血球等),若病人的某些指标偏离正常值,要问病人患的是哪一种疾病,从概率论的角度考虑,若 较大,而为了计算 ,就可以利用上述的贝叶斯公式,并把由过去的病例中得到的先验概率 值代入,也就是医学上所说的发病率,人们常常喜欢找有经验的医生给自己治病,因为过去的经验能帮助医生作出比较准确的诊断,能够更好地做到对症下药,而贝叶斯公式正是利用了经验的知识,由此,读者可以直觉地认识到这个公式的意义.也正因如此,这类方法在过去和现在,都受到人们的普遍重视,并称为贝叶斯方法.　　[例 8]用甲胎蛋白法普查肝癌,令　　　　 ={被检验者患肝癌}　　　　 ={甲胎蛋白检验呈阳性}　　　　 {被检验者未患肝癌}　　　　 {甲胎蛋白检验呈阴性}　　由资料已知, ,又已知某地居民的肝癌发病率 ,在普查中查出一批甲胎蛋白检验呈阳性的人,求这批人中真的患肝癌的概率 .　　解:由贝叶斯公式可得, 　　由此可见,经甲胎蛋白检验呈阳性的人群中,其中真正患肝癌的人还是很少的,只占 0.0038,把与 对比一下是很有意思的.当已知病人患肝癌或未患肝癌时,甲胎蛋白检验的准确性应该说是比较高的,这从 可以肯定这一点.但如果病人患肝癌或未患肝癌时,而要从甲胎蛋白检验结果是否为阳性这一事件出发,来判断病人是否患肝癌,那么它的准确性还是很低的,因为.这个问题看来似乎有点矛盾.一种检验方法准确性很高,但实际使用时准确性很低,到底是怎么一回事?　　从上述计算中用到的贝叶斯公式,可以得到解释.已知 是不大的,但是患肝癌的人数毕竟很少, ,这就使得 相对很大,从而 很小.那么,上述结果是不是说明甲胎蛋白检验法不能用了呢?完全不是!通常医生总是先采取一些其它简单易行的辅助方法进行检查,当他怀疑某个对象有可能患肝癌时,才建议用甲胎蛋白检验法.这时,肝癌的发病率已经显著地增加了.比方说,在被怀疑的对象中 ,这时 ,这就有相当的准确性了. 　　对一般古典概型,容易验证:只要 ,则在 发生的条件下, 发生的概率,　　总是成立的.　　在几何概率场合,如果向平面上单位正方形 内等可能任投一点,则当 发生的条件下,这时发生的概率为　　由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有 成立.　　其实,还可以验证,这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义.　　二、条件概率　　若 是一个概率空间, ,若 ,则对于任意的 ,称　　为已知事件 发生的条件下,事件 发生的条件概率.　　[例 3]一盒子中装有 4 只产品,其中有 3 只是一等品,1 只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件 为“第二次取到的是一等品”,事件 为“第一次取到的是一等品”,试求条件概率　　解:易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3 号为一等品,4 号为二等品.以 表示第一次、第二次分别取到第 号、第 号产品.试验 E (取产品两次,记录其号码)的样本空间为　　 ={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3)}　　 ={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)}　　 ={(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2)} 　　由条件概率公式得,　　[例 4]一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,问这时另一个小孩也是女孩的概率?(假定一个小孩是女孩还是男孩是等可能的)　　解:据题意样本空间为　　 ={(男,女),(男,男),(女,女),(女,男)}　　 ={已知有一个是女孩}={(男,女),(女,女),(女,男)}　　 ={另一个小孩也是女孩}={(女,女)}　　于是,所求概率为　　三、条件概率的性质　　(1)非负性:对任意的　　(2)规范性:　　(3)可列可加性:若 为一列两两不相交的事件,有　　证明:(1)因为 所以　　(2)由于 ,所以 　　(3)由于 两两不相交,所以 也必然两两不相交,所以　　　　四、乘法公式　　由条件概率的定义知:设 ,则 .于是,　　　　　这就是概率的乘法公式.　　如果 ,同样有　　设 且 则　　证明因为 ,依条件概率的定义,上式的右边　　五、乘法公式的应用例子　　[例 5] 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为 1/2,若第一次落下时未打破,第二次落下时打破的概率为 7/10,若前两次时未打破,第三次落下时打破的概率为 9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率.　　解:以 表示事件“透镜第 次落下时打破”,以 表示事件“透镜三次落下而未打破”.因为 ,故有 　　[例 6] 设袋中装有 只红球, 只白球.每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入只与所取出的那个球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.　　解:以 表示事件“第 次取到红球”, 分别表示事件第三、四次取到白球.所求概率为　　[例 7] (卜里耶模型)罐中有 只黑球, 只红球,随机地取一只之后,把原球放回,并加进与抽出的球同色之球 只,再摸第二次,这样下去共摸 次.问前 次出现黑球,后面 次出现红球概率是多少?　　解:以 表示事件“第 k 次取到黑球”, 表示事件“第次取到红球”,则 　　由一般乘法公式,　　1.在例 7 中,最后答案与黑球和红球出现的次数有关,而与出现的顺序无关.　　2.卜里耶模型被卜里耶用来描述传染病的数学模型.　　当 时,它是有放回的摸球模型.　　当 时,它是不放回的摸球模型.　　思考题:在卜里耶模型中,取 次,问正好出现 次红球概率是多少?　　[例 8]一批产品共 100 件,对其进行抽样调查,整批产品看作不合格的规定是:在被检查的 5 件产品中至少有一件是废品.如果在该批产品中有 5%是废品,试问该批产品被拒绝接收的概率是多少?　　解:设 表示被检查的第 件产品是正品. 表示该批产品被接收.则且 　　因此,该批产品被拒绝接收的概率是 0.23。　　作业:　　P55 EX 29,30,31　　六、全概率公式　　设 是两个事件,那么 可以表示为　　显然, ,如果 则　　[例 1] 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球,2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球,现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱,然后从 2 号箱随机取出一球,问从 2 号箱取出的红球的概率是多少?　　解:令 :最后从 2 号箱中取出的是红球;　　 :从 1 号箱中取出的是红球.　　则　　由上面的公式, 　　上例采用的方法是概率论中颇为常用的方法,为了求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事件之并,然后利用条件概率和乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后利用概率可加性,得到最终结果,这一方法的一般化就是所谓的全概率公式.　　设 为试验 的样本空间, 为 的事件, 为 的一组事件.若　　(1)　　(2)　　则称 为样本空间 的一个分割.　　若 为样本空间 的一个分割,那么,对每一次试验,事件 必有一个且仅有一个发生.　　[例 2]设试验 为“掷一颗骰子观察其点数”.它的样本空间 . 的一组事件是样本空间 的一个分割.而事件组 不是样本空间 的一个分割,因为　　[例 3]甲、乙、丙三人向同一飞机射击.设样本空间 ={无人命中飞机,一人命中飞机,二人命中飞机,全命中}. 的一组事件 ={三人以下命中飞机}, ={全命中飞机}是样本空间 的一个分割.设试验 E 的样本空间, 为 的事件, 为 的一个分割,且 ,则　　上式被称为全概率公式.　　证明: ,所以 　　由假设 ,且 所以　　由条件概率公式,得　　代入上式,即得　　[例 4]甲、乙、丙三人向同一飞机射击.设甲、乙、丙射中的概率分别为 0.4,0.5,0.7.又设若只有一人射中,飞机坠落的概率为 0.2,若有二人射中,飞机坠落的概率为 0.6,若有三人射中,飞机必坠落.求飞机坠落的概率.　　解:记 ={飞机坠落}, ={ 个人射中飞机},　　 =(甲射中,乙丙未射中)+(乙射中,甲丙未射中)+(丙射中,甲乙未射中)　　再由题设,　　利用全概率公式,　　　　[例 5]播种用的小麦种子混有 2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子,用一等、二等、三等、四等种子长出的麦穗含有 50 颗麦粒以上的概率为 0.5,0.15,0.1,0.05,求这批所结出的麦穗含有50 颗麦粒以上的概率.