几种典型的离散型随机变量及其分布

发布时间:2024-02-04 20:02:17浏览次数:7
几种典型离散型的随机变量及其分布在第一章中,我们只能孤立的研究试验的某一个或逐一地研究某几个随机事件,引入随机变量后,可通过随机变量将样本空间的各事件联系起来,全面地研究随机试验的全部结果。概括地说是:(1)考察随机变量 X 有哪些可能取值;(2)随机变量以多大的概率在任意指定的范围内取值,这就是随机变量的概率分布问题。随机变量可按照其取值情况分为离散型与非离散型两种基本类型。如果随机变量 X 的一切可能取值可以一一列举出来,则称 X 为离散型随机变量。也即能去有限或可列个值的随机变量,如果随机变量 X 的一切可能取值不能一一列举出来,则称 X 为非离散型随机变量。注意连续型随机变量只是非离散型随机变量中的特殊情况,也就是说不能说非离散型随机变量就是连续型随机变量。 几个典型的离散型随机变量一、0-1 分布(两点分布) 如果随机变量 X 的分布列为: ,用表格表示为:X 0 1q p则称随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布(0—1 分布)例如,从含有 10 件正品和 2 件次品的 12 件同类产品中,任意抽取一件,用 X 表示取出的次品数。显然 X 是取 0 和 1 两个值的随机变量,它的分布列为:X 0 1 因此,X服从参数为 的两点分布。二、离散型均匀分布如果随机变量X的所有可能取值为n个,而且取每个值的概率都相同,也即都为 ,则称随机变量X服从离散型均匀分布。它的分布列为用表格表示如下:X …………例 如 , 在 掷 骰 子 的 试 验 中 , 用 X 表 示 掷 骰 子 出 现 的 点 数 。 显 然 X 是 取1、2、3、4、5、6 等 6 个值的随机变量,它的分布列为:X 1 2 3 4 5 6因此,X 服从离散型均匀分布。三、二项分布如果随机变量 X 的分布列为: 则称随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布,且记为 X用表格表示为:X 0 1 2 … k … n… … 注意:(1)服从二项分布的随机变量的取值为:0,1,2,……,n 等 n+1 个值;(2)分布列满足离散型随机变量的分布列的两大性质 ① 显然有 ② (以上证明中用到高中学过的二项式公式: )一般,凡是 n 重贝努里试验,描述在 n 次试验中事件 A 出现的次数的随机变量都是服从二项分布。解释 “n 重贝努里试验”,也即事件 A 在一次试验中发生的概率为 p,则这样的试验做 n 次,讨论事件 A 在这 n 次试验中恰好发生 k 次的概率,令 X 表示“事件 A 在 n 次试验中发生的次数”,则 X 服从二项分布。注意:二项分布是概率统计中做重要的离散型分布,将来很多问题都将转化为二项分布来解决,因此大家必须对它熟练掌握。四、泊松(Poisson)分布如果随机变量 X 的分布列为:则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布,记为:X用表格表示 X 的分布列为:X 0 1 2 3 … k …… …注意:(1)服从泊松分布的随机变量的取值为全体非负整数(无限多个数),也即可以取得:0,1,2,3,…… (2)分布列满足离散型随机变量的分布列的两大性质: ① 显然有 ② (以上证明中用到微积分的重要公式: )五、超几何分布如果随机变量 X 的分布列为:则称随机变量 X 服从参数为 N、M、n 的超几何分布。注 意 : 由 于 在 以 后 的 计 算 中 会 遇 到 : 因 此 , 规 定 : 当其实这个规定也是符合实际意义的。超几何分布的模型一般是:有 N 件同类的产品,其中有 M 件次品,从中任意取出 n 件,若用 X 表示所取出的 n件产品中所含的次品的件数,则 X 是一离散型随机变量,服从参数为 N、M、n 的超几何分布。因此,从以上的列举,我们可以看到,研究一个离散型随机变量,就是要列举出它的所有可能取值,以及求出每个可能取值的概率。
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