2012 年第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小高组二试）一、填空题（每题 20 分，共 60 分）1．（20 分）小红和小明两人都带了钱想买《趣味数学》这本书，到书店一看，小红带的钱缺 2 元 2 角，小明带的钱缺 1 元 8 角．而两人带的钱合起来刚好买一本．则《趣味数学》每本定价　 　元．2．（20 分）如图所示，小正方形EFGH在大正方形ABCD的内部，阴影部分的总面积为 124 平方厘米，E、H在边AD上，O为线段CF的中点．则四边形BOGF的面积为　 　平方厘米．3．（20 分）一些边长是 1 的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图 1，从正面看这个立体，如图 2，在这个立体的体积最大时，将这些小正方体码放成一个底面积为 4 的长方体，则这个长方体的高是　 　．二、解答题（每题 20 分，共 60 分）4．（20 分）已知两个正整数之和为 432，这两个正整数的最小公倍数与最大公约数之和为 7776．则这两个正整数的乘积是多少？5．（20 分）设不同的字母代表不同的非零数码，相同的字母代表相同的数码，若 × ＝ ，且＜ ，求A、B、C、D．6．（20 分）奥运会男子足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛．每场比赛胜队得 3 分，败队得 0 分，平局时两队各得 1 分．小组赛全部赛完以后，每组取积分最高的两个队出线进入下轮比赛（对积分相同的队，按更细规则排序）．那么在所有能够出线的情况中，一个出线队的得分最少是多少？请说明理由．2012 年第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试卷（小高组二试）参考答案与试题解析一、填空题（每题 20 分，共 60 分）1．（20 分）小红和小明两人都带了钱想买《趣味数学》这本书，到书店一看，小红带的钱缺 2 元 2 角，小明带的钱缺 1 元 8 角．而两人带的钱合起来刚好买一本．则《趣味数学》每本定价　 4 　 元．【分析】根据“她俩把钱凑在一起，正好能买一本书．”说明：两个人所缺的钱都能从对方得到，所以这本书的价钱是两人的钱数和，一个人缺的钱数，就是另一个人有的钱数，据此解答．【解答】解：2 元 2 角+1 元 8 角＝4 元；答：《趣味数学》每本定价 4 元．故答案为：4．2．（20 分）如图所示，小正方形EFGH在大正方形ABCD的内部，阴影部分的总面积为 124 平方厘米，E、H在边AD上，O为线段CF的中点．则四边形BOGF的面积为　 31 　 平方厘米． 【分析】如下图：连接GC，设：正方形ABCD、EHGF的边长分别为a、b，经验证：梯形FGCB的面积＝阴影部分面积的一半；经验证：四边形BOGF的面积为梯形面积一半，即可求解．【解答】如上图：连接GC，设：正方形ABCD、EHGF的边长分别为a、b，则梯形FGCB的面积＝（b+a）（b﹣a）÷2＝（b2﹣a2）÷2；阴影部分面积＝（b2﹣a2），即梯形FGCB的面积＝阴影部分面积的一半；O为线段CF的中点．因为若△BOF、△COF分别以CO、FO为底，它们是等底同高的三角形，所以其面积相等；同理△GOF、△GO面积相等．即：四边形BOGF的面积为梯形面积一半，四边形BOGF的面积＝梯形面积一半＝阴影部分面积的四分之一＝124÷4＝31（平方厘米）．故：应该填 31．3．（20 分）一些边长是 1 的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图 1，从正面看这个立体，如图 2，在这个立体的体积最大时，将这些小正方体码放成一个底面积为 4 的长方体，则这个长方体的高是　 3 　 ．【分析】首先分析出最多时候的木块个数，以一个图形为基础图形，已知往上面放最多即可．【解答】解：依题意可知：首先对位置进行编号．根据图 2 可知位置 2 或 7 的有 2 个方块，位置 4 或 6 上有 2 个方块．最多就是都放上去，那么共第二次放在 2，4，6，7 位置共 4 块共 12 块． 底面是 4，那么块数也是 4，共放 12÷4＝3 层．故答案为：3二、解答题（每题 20 分，共 60 分）4．（20 分）已知两个正整数之和为 432，这两个正整数的最小公倍数与最大公约数之和为 7776．则这两个正整数的乘积是多少？【分析】此题涉及约数和倍数和，不是积．所以要把他们分别表示出来．列出等式关系．设A＝aN，B＝bN即aN+bN＝432，N+abN＝7776，两个式子中都含有N可以约掉再计算出a与b的关系．根据题中都是正整数的要求来判断具体数值．【解答】解：设这两个正整数分别是A，B．他们的约数为N．A＝aN，B＝bN．（a，b互质）最小公倍数为abN．aN+bN＝N（a+b）＝432，分解质因数 432＝24×33N+abN＝N（ab+1）＝7776，分解质因数 7776＝25×35，解得ab+1＝18（a+b），变形得：b＝ ＝ ＝18+ ，∵a，b都是整数，∴ 是整数，a﹣18 就是 323 的约数．323＝17×19，当a﹣18＝17 时，b＝18+19＝37，a＝35，当a﹣18＝19 时，b＝18+18＝35，b＝37，∴ab＝35×37＝1295，N（1295+1）＝7776，N＝6，AB＝abN2＝1295×36＝46620，综上所述答案是：46620．5．（20 分）设不同的字母代表不同的非零数码，相同的字母代表相同的数码，若 × ＝ ，且＜ ，求A、B、C、D．【分析】分析题中的隐含数字就是 是 111 的倍数．分解 111＝37×3．再判断相同字母B，就找到突破口．注意A＜C．【解答】解：根据分解质因数 ＝D×111＝D×3×37，∴AB或CB有一个一定是 37，推得B＝7，根据尾数判断 7×7 尾数是 9，∴D＝9， ，＜ ， ， ，A＝2，B＝7，C＝3，D＝9，故答案为：2，7，3，9．6．（20 分）奥运会男子足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛．每场比赛胜队得 3 分，败队得 0 分，平局时两队各得 1 分．小组赛全部赛完以后，每组取积分最高的两个队出线进入下轮比赛（对积分相同的队，按更细规则排序）．那么在所有能够出线的情况中，一个出线队的得分最少是多少？请说明理由．【分析】将这四个队伍按积分从多到少，依次是ABCD，那么出线的就是A和B两个队伍，因此这题就变成B得分最少是多少．【解答】解： 如果三支队伍的六场比赛都是平局，那六支队伍的积分都是 3 分，那就再按更细的规则排序．如果三支队伍的六场比赛中，只有A胜了D，其他都平局，那么A得 5 分，B和C各得 3 分，D得2 分．所以一个出线队的得分最少是 3 分．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:43:54；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800