如何理解独立同分布的中心极限定理定理（中心极限定理）：假定大量的等容量随机样本都是从同一无限总体采样的，算出每个样本的和，并把不同样本的和放在一起以形成一个新的分布，于是这个新的分布就是渐近正态的（其中要假定产生这些和的随机样本每个容量是足够大）。在传统概率论教科书上，一般会这么陈述这个定理。定理 1（独立同分布的中心极限定理）：设随机变量 X1，…Xn，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差，则随机变量之和 ΣXi 的标准化变量服从标准正态分布。 [演示性例子]想象一个很大的箱子，装满了小纸条，可供我们无穷无尽地抽取，每张纸条上写有一个数字。为简单起见，假定只有 0、1、2 三个数字，且每个数字出现在每张纸条上的可能性都是 1/3。记住，这个箱子里的纸条如此之多，以致我们可以抽取任一数目的任一种纸条，而不必担心会改变箱中剩下的各种纸条之间的比例。箱子有一个小口，通过它，每次可以释放出一张纸条。箱子还有一个洗牌装置，这种装置会把纸条洗得这样得均匀，以至当我们决定抽取一张时，每张纸条有同样的被释放出来的机会。因此，我们的观察室独立的，而且我们的样本是随机的。现在我们就来抽取等容量的随机样本，假设每个样本都包含 200 张纸条。我们一张一张地抽取 200 张纸条。比如头一张纸条上的数字是 2，第二张纸条的数字是 0，第三张纸条是 2，如此等等。假设构成这个第一份样本的 200 张纸条上的数字总和是 210，这个和成为所产生的新的分布的第一项。第二个样本的 200 张纸条上的数字之和比如是 194.对大量的样本，每个样本都包含200 张纸条，重复这个过程。定理 1 告诉我们，这种样本和数越来越多时，样本和的分布近似于正态分布。 [如何实际运用定理] 关于定理，对被抽取样本的那个总体没有要求任何限制。不管被抽取样本的那个总体，其分布的形状如何，样本和的分布都是正态的。定理说明，为什么正态分布出现在如此多的不同的问题之中。我们用于纸条取样的那种方法，看来是实际中特别喜欢使用的一种方法。在每次情况中出现的、构成一个正态分布的那些数，都可以看作独立观察资料的等容量样本的和。 [例子 1]考察射击时围绕靶子构成正态分布的子弹。每一颗子弹击中的位置实际上是许多随机影响的和，比如姿势、风向、光线、心理等等。这些因素和诸如此类因素的影响，同时在一位特定射手的身上起作用；且对于不同的射手，它们是不同的。一个射手的得分，表明他的子弹最终射到何处去了，这个得分是那些随机影响的样本之和。具体地，比如每一个射手的分布式 70 项主要影响之和，因而每一发子弹的得分，都可以看作是 70 项的一个样本和（与 70 张纸条上的那些数字的和相对应）。这样一来，不同射手的得分，就可以看作是不同的等容量样本的和。根据定理，子弹得分的分布式正态的。 [例子 2]考察每个人的智力水平，也可以当作出自不同根源的小影响的和来看待，包括营养、机会、性格、遗传等等等等。这么看来，大量的人的智力水平的分布式正态的。定理 2（平均数的中心极限定理）：假定，大量的等容量随机样本是从同一无限总体中采集的，算出每一个样本的平均数，并把不同样本的平均数放到一起形成一个新的分布，于是这个新的分布就是渐近分布的（假定产生这些平均数的随机样本容量是足够大的）。样本平均数的集合可以通过样本和集合直接得到，因此平均数的分布就是和的分布的一个小比例的变形。样本平均数的分布用两个有用的性质：（1）假定无穷多个等容量随机样本是从同一无限总体中抽取的，而且把这些样本的平均数放到一起，以构成一个新的分布，那么这个新分布（样本平均数构成的）的均值与原总体的均值相同。 （2）假定无穷多个等容量随机样本是从同一无限总体中抽取的，以 n 表示每一个样 本的容量，这些样本的平均数的分布有一个标准差，它等于原总体的标准差除以 n 的平方根。 定理 2 及其两个性质就是我们熟悉的 mean(X)~N(μ,σ**2/n)。