0202《微积分（下）》2018 年 6 月期末考试指导一、考试说明考试形式：闭卷考试题型包括：选择题填空题(有或者无)计算题考试时间：90 分钟。二、课程章节要点第一章、广义积分和定积分的应用（一）广义积分1．知识范围（1）广义积分的概念（2）无穷积分的收敛性与判别法（3）瑕积分的收敛性与判别法2．考核要求（1）理解无穷积分和瑕积分的概念及几何意义（2）掌握非负函数无穷积分收敛性和比较判别法，了解阿贝尔和狄里克莱判别法（3）知道瑕积分收敛性和比较判别法，了解阿贝尔和狄里克莱判别法（二）定积分的应用1．知识范围（1）掌握定积分在几何计算平面图形的面积（2）掌握定积分在几何计算旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积（3）掌握定积分在物理上计算压力、功、重心等简单应用2．考核要求（1）掌握定积分在几何计算平面图形的面积（2）掌握旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积的计算（3）掌握定积分在物理上计算压力、功、重心等简单应用第二章、级数（一）数项级数1．知识范围（1）数项级数的概念级数的收敛与发散 级数的基本知识 级数收敛的必要条件（2）正项级数敛散性判别法比较判别法 比值判别法（3）一般项级数交错级数 绝对收敛 条件收敛 莱布尼兹判别法 积分判别法 阿贝尔判别法 狄里克莱判别法2．考核要求（1）掌握数项级数的概念级数的收敛与发散 级数的基本知识 级数收敛的必要条件《微积分（下） 》试卷 第 1 页，共 9 页 （2）熟练掌握正项级数敛散性的比较判别法和比值判别法（3）掌握一般项级数、交错级数、绝对收敛、 条件收敛的概念（4）掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法、了解任意项级数收敛的阿贝尔判别法和狄里克莱判别法（二）函数列与函数项级数1．知识范围（1）函数列及其一致收敛性（2）函数项级数及其一致收敛性（3）函数项级数的一致收敛性判别法（4）一致收敛函数列与函数项级数的性质2．考核要求（1）掌握函数列及其一致收敛性概念（2）掌握函数项级数及其一致收敛性概念（3）掌握一致收敛性 M-判别法，了解阿贝尔判别法和狄里克莱判别法（4）掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质（三）幂级数1．知识范围（1）幂级数的概念幂级数的收敛区间和收敛半径 幂级数的展开（2）幂级数的性质，幂级数的运算（3）幂级数的展开2．考核要求（1）理解幂级数的概念 熟练掌握幂级数的收敛区间和收敛半径 （2）掌握幂级数的性质 会幂级数的运算（3）掌握简单初等函数的幂级数的展开第三章、多元函数（一）多元函数的极限与连续1．知识范围（1）多元函数与平面点集（2）完备性定理 （3）二元函数的定义域二元函数的几何意义（4）二元函数极限累次极限（5）二元函数的连续性概念有界闭区域上连续函数的性质2．考核要求（1）理解多元函数与平面点集（2）知道 上的完备性定理（3）掌握二元函数的定义域理解二元函数的几何意义（4）掌握二元函数极限的概念掌握累次极限的概念（5）理解二元函数的连续性概念理解有界闭区域上连续函数的性质（二）多元函数微分学《微积分（下） 》试卷 第 2 页，共 9 页 1．知识范围（1）多元函数可微性与全微分的概念多元函数偏导数的概念 可微性的几何意义与应用 （2）复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分（3）方向导数与梯度（4）高阶偏导数中值定理和泰勒公式 极值问题2．考核要求（1）理解多元函数可微性与全微分的概念理解多元函数偏导数的概念 了解可微性的几何意义与应用（2）掌握复合函数微分法熟练掌握复合函数的求导法则 掌握复合函数的全微分的求法（3）掌握方向导数与梯度及计算（4）掌握高阶偏导数的求法知道多元函数的微分中值定理和泰勒公式（5）理解多元函数极值问题掌握二元函数自由极值求法第四章、隐函数1．知识范围（1）隐函数概念 隐函数存在性条件的分析 （2）隐函数定理隐函数的求导 （3）隐函数组概念隐函数组定理 反函数组与坐标变换（4）平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线（5）条件极值2．考核要求（1）了解隐函数概念 了解隐函数存在性条件的分析 （2）了解隐函数定理掌握隐函数的求导运算 （3）了解隐函数组概念了解隐函数组定理 了解反函数组与坐标变换（4）掌握平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线的概念及计算（5）掌握多元函数条件极值的拉格朗日乘数法第五章、重积分1．知识范围（1）二重积分的概念 二重积分的可积条件 直角坐标系下的二重积分计算格林公式 曲线积分与路线无关性 二重积分的变量变换（2）三重积分的概念三重积分的可积条件 直角坐标系下三重积分计算 三重积分的变量变换（3）重积分的应用曲面的面积 重积分在物理学上的应用2．考核要求（1）理解二重积分的概念 理解二重积分的可积条件 熟练掌握直角坐标系下的二重积分计算熟练掌握极坐标系下的二重积分计算理解格林公式 理解曲线积分与路线无关性的条件 会二重积分的变量变换（2）理解三重积分的概念理解三重积分的可积条件 掌握直角坐标系下三重积分计算 会三重积分的变量变换 会柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算（3）掌握重积分在几何上的应用掌握曲面的面积的计算 掌握重积分在物理学上的简单应用《微积分（下） 》试卷 第 3 页，共 9 页 第六章、微分方程初步1．知识范围（1）微分方程的概念，阶数判断（2）一阶微分方程的解法（3）可降阶的高阶微分方程的解法（4）二阶常系数线性微分方程的解法（5）二阶常系数线性微分方程的解法及其应用2．考核要求（1）理解微分方程的概念，熟练掌握阶数判断的方法（2）理解一阶微分方程的解法，会进行计算（3）掌握可降阶的高阶微分方程及其解法（4）了解二阶常系数线性微分方程，它的解法，和在实际问题中的应用三 练习题一、单选题1.级数 收敛的充要条件是（ ）A、 B、C、 存在， D、2. 下列级数中，绝对收敛的是（ ）A、 B、 C、 D 、3. 下列级数中，发散级数是（ ）《微积分（下） 》试卷 第 4 页，共 9 页 A、 B、 C、 D、4. 幂级数 的和函数是（ ）A、 B、 C、 D、 5. 若级数 收敛，则下列结论成立的是（ ）A、 必收敛 B、 未必收敛 C、 D、 发散6. 幂级数 的收敛区间是（ ）A、 B、 C、 D、7. 幂级数 的收敛半径是（ ）A、 1 B、2 C、 D、8. 二元函数 的定义域为（ ）A、 B、 C、 D、9. 存在，则函数 在点 （ ）A、一定不可微 B、一定可微 C、连续 D、有定义《微积分（下） 》试卷 第 5 页，共 9 页 10. 若 ，则 =（ ）A、 B、 C、 D 、11. 设 ，则 =（ ）A、 B、 C、 D、12. 已知 ，则 在 处的偏导数 、 存在是 在点 处可微的（ ）A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件13. 设积分区域 D 为圆环 ，则 =（ ）A、 B、 C、 D、14. 设 ，则 =（ ）A、 B、 C、 D、15. 方程 的通解是（ ）A、 B、 C、 D 、《微积分（下） 》试卷 第 6 页，共 9 页 二、填空题1. 幂级数 的收敛半径为_________________________.2. 幂级数 的和函数为_______________________________.3. 设 ，则 =_________________________.4. 设 ，交换积分次序，则 I =____________________________________.5. 微分方程 的通解为________________________________.三、计算题1. 判断交错级数 的敛散性. 若收敛，请指出是条件收敛，还是绝对收敛，注明理由.2. 判断级数 的敛散性.3. 将函数 展成 x 的幂级数.4. 已知 ，求 .5.求微分方程 的通解.《微积分（下） 》试卷 第 7 页，共 9 页 6.计算二重积分 ，其中 D 是由圆周 围成的闭区域.7.计算积分 的值.（提示：先改变积分次序）五、习题答案一、单选题CCADB CCCDA BBCCC二、填空题1. . 2. 3. 4. 5. 三、计算题1. ，而 收敛，故 绝对收敛.《微积分（下） 》试卷 第 8 页，共 9 页 2. 级数 ，当 时， . 而 收敛（达朗倍尔判别法），所以 收敛.3. 4. 5. 常数变易法，得通解6.7. 说明：本考试指导只适用于 201803 学期期末考试使用，包括正考和重修内容。指导中的章节知识点涵盖考试所有内容，给出的习题为考试类型题，习题中未给出答案的部分请参考课程讲义或笔记，如果在复习中有疑难问题请到课程答疑区提问。最后祝大家顺利通过考试！《微积分（下） 》试卷 第 9 页，共 9 页