西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷课程名称【编号】：中学几何研究【0775】 A 卷考试类别：大作业 满分：100 分 一、解答题（任选 3 题，每小题 20 分，共 60 分） 1．在内角均小于 的△ABC 内有一点 ，满足 。 求证： 是到三顶点距离之和最小的点。 2. 设 、 、 分别是 的边 、 、 的中点， ， 分别是的外心和内心。求证： . 3. 为 内一点，且 ， 、 分别在 和 上，当 的周长最小时，求 .- 1 - 4. 如图， 是 的中线， 是 的中点，求 的值。二、尺规作图题（任选 2 题，每小题 10 分，共 20 分。其中第 1,2 题只写作法，第 3 题只写分析和讨论）1. 已知 及外一点 ，过 作 的切线。2．已知线段，求作一线段等于已知线段的 。解：（1）记线段的两个端点分别为 A、B,从点 A 引一条射线 AP（与线段 a 成锐角比较好画）（2）在射线 AP 上用圆规取 AC=CD=DE=EF=FG（也就是画五段相等的）,（3）连结 GB,（4）过点 C 作 EQ 平行于 GB 交 AB 于点 Q,则 AQ=1/5 AB.3．已知 的三中线 的长度，求作该三角形。分析：设 已作出， 为重心，图中无奠基的三角形。延长 到 , 使 ，则三边已知，各为中线长的 。作法：作 ，使 ， ， ，作 的中点 ，并延长到 使 。延长 至 使 ，则 即所求者。证明：由作法， 是 的中点，因而 是 的中线。由于 ， 是 的重心，并 且 　 ， 以 、 表 、 的 中 点 ， 由 于 是 重 心 ， 则， ，所以 合于条件。讨论：本题有无解，取决于 是否存在，存在的条件是：， ， .故所给三中线能构成三角形时，有一解，否则无解。三、叙述并证明梅涅劳斯定理。（20 分）答：梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》。任何一条直线截三角形的各边或其延长线，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明. 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。定理内容：- 2 - 当直线交△ABC 三边所在直线 BC，AC，AB 于点 D，E，F 时证明如下：过点 C 作 CP DF∥ 交 AB 于 P，则两式相乘得- 3 -