2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）决赛试卷（小中组）一、填空题1．（10 分）计算：（888+777）÷（666+555+444）＝　 　．2．（10 分）在下面加法竖式中，八个不同的字母分别代表 2～9 这八个数字，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么 ＝　 　．3．（10 分）如图，在两张大小相同的大长方形纸片上，分别在角和边上各剪下一个大小相同的小正方形．若图②阴影部分的周长比图①阴影部分的周长多 17 厘米，那么剪下的小正方形周长为　 　厘米．4．（10 分）如图是兰兰家到学校的街道示意图．兰兰沿街道从家到学校共有　 　种不同的最短路线．5．（10 分）胡老师手中原有红卡与蓝卡各 100 张．胡老师可以用 2 张红卡换 1 张蓝卡与 1 张紫卡；也可用 3 张蓝卡换 1 张红卡与 1 张紫卡．那么经过若干次交换后，胡老师最多可持有　 　张紫卡．6．（10 分）如图，形ABCDEF．如果正六边形ABCDEF的面积为 80 平方厘米，那么用来组成正六边形ABCDEF的所有菱形的面积总和是　 　平方厘米．7．（10 分）将 1～25 分别填入如图所示的 5×5 表格中．在每一行中选出最大数，在每一列中选出最小数，这样我们一共选择了 10 次．这 10 次选出的数中至少有　 　个不相同的数．8．（10 分）如图所示，用 64 个棱长为 1 的小立方体组成一个棱长为 4 的大立方体，再从上到下取走 4个小立方体（图中阴影部分）．将剩余立体图形的内外表面都染成红色，那么恰有两个面染色的小立方体共有　 　个． 二、简答题9．（15 分）12 位小朋友共同购买一套书，购书的费用由大家平均承担．由于购买时，其中 2 位小朋友没有带钱，所以其余的 10 位小朋友每人多付了 10 元那么购买这套书共需多少元？10．（15 分）小袋鼠甲和乙在如图的区域中跳动，甲按ABCDEFGHIABC…的顺序循环跳动，乙按照ABDEGHABD…的顺序跳动，如果开始时两只袋鼠都从A出发，并且这算是第一次他们同跳到了一起，问经过 2017 跳跃，他们一共跳到了一起多少次？11．（15 分）某次数学竞赛中，必答题答对 1 题得 3 分、答错 1 题倒扣 2 分；选答题答对 1 题得 5 分、答错 1 题得 0 分．小明回答了所有的题且答对了其中 15 道，共得 49 分．那么该数学竞赛中共有几道必答题？12．（15 分）如图是某社区的街道示意图，一辆洒水车从A点出发不重复地经过所有街道又回到A点．那么洒水车有多少种不同的路线？2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）决赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、填空题1．（10 分）计算：（888+777）÷（666+555+444）＝　 1 　 ．【分析】先提取公因数 111，然后再根据乘法的结合律简算即可．【解答】解：（888+777）÷（666+555+444）＝111×（8+7）÷[111×（6+5+4）]＝111×15÷111÷15＝（111÷111）×（15÷15）＝1故答案为：1．2．（10 分）在下面加法竖式中，八个不同的字母分别代表 2～9 这八个数字，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么 ＝　 2526 　 ．【分析】首先找到题中的特殊情况，结果中的首位字母只能是数字 2，再看个位数字满足O+X＝10，同时十位满足W+I＝9，枚举即可排除． 【解答】解：依题意可知：首先分析数字是从 2﹣9 的，那么 3 个不同数字相加最大进位是 2，所以N＝2；再根据个位数字为E，那么O+X＝10．向前进位 1，然后得出W+I＝9；分析数字和为 9 的数字有 3+6 或者是 4+5．数字和为 10 的有 3+7 或者 4+6．那么得出结论根据 4 和 6 的数字重复，得数数字 10 的一定是 3+7．当O＝3 时．I的数字是 4 或者是 5，T+S结果需要为 20 或 21，没有满足条件的数字．当O＝7，I的数字是 4 或 5．T+S结果需要为 16 或者 17．那么 9+8 满足条件．剩下的数字E＝6．故答案为：2526．3．（10 分）如图，在两张大小相同的大长方形纸片上，分别在角和边上各剪下一个大小相同的小正方形．若图②阴影部分的周长比图①阴影部分的周长多 17 厘米，那么剪下的小正方形周长为　 34 　 厘米．【分析】观察图发现，图①阴影部分的周长就是大长方形的周长，图②阴影部分的周长是大长方形的周长再加上 2 条小正方形的边长，即图②阴影部分的周长比图①阴影部分的周长多了 2 条小正方形的边长，先用 17 厘米除以 2，求出小正方形的边长，再根据正方形的周长＝边长×4 求解．【解答】解：17÷2×4＝34（厘米）答：剪下的小正方形周长为 34 厘米．故答案为：34．4．（10 分）如图是兰兰家到学校的街道示意图．兰兰沿街道从家到学校共有　 18 　 种不同的最短路线．【分析】按题意，由标数法可把走法标出来，要求最短路线，则兰兰必须会总中间的那条斜线，故只需算出走斜线前的走法和走斜线后到达学校的走法路线即可．【解答】解：根据分析，有标数法（每个格点上的数是左边和下面相邻的两个数之和）得，由A至C有 3 种不同路线，由D到B有 6 种不同路线，故兰兰从家到学校共有 3×6＝18 种最短路线， 故答案是：18．5．（10 分）胡老师手中原有红卡与蓝卡各 100 张．胡老师可以用 2 张红卡换 1 张蓝卡与 1 张紫卡；也可用 3 张蓝卡换 1 张红卡与 1 张紫卡．那么经过若干次交换后，胡老师最多可持有　 138 　 张紫卡．【分析】按题意，可以利用交换前后总分值不变，因为到最后不可能全换成紫卡，而 5 分不能表示为若干个 3 与 4 的和，10＝3+3+4，故最多可获得紫卡：（700﹣10）÷5＝138（张）．【解答】解：根据分析，假定蓝卡每张 3 分，红卡每张 4 分，紫卡每张 5 分，则每次交换后总分值不变．总分值为：3×100+4×100＝700（分），因为到最后不可能全换成紫卡，而 5 分不能表示为若干个 3 与 4 的和，10＝3+3+4故最多可获得紫卡：（700﹣10）÷5＝138（张），可操作如下：（100，100，0）→（0，150，50）→（50，0，100）→（0，25，125）→（8，1，133）→（0，5，137）→（1，2，138）故答案是：138．6．（10 分）如图，形ABCDEF．如果正六边形ABCDEF的面积为 80 平方厘米，那么用来组成正六边形ABCDEF的所有菱形的面积总和是　 45 　 平方厘米．【分析】按题意，可以将图形等积变形，再图中用虚线标出所有的小棱形，再数一下有多少个小棱形，即可求得棱形的面积．【解答】解：根据分析，如图，将正六边形ABCDEF分割成若干个面积相等的小棱形，共有 48 个小棱形，每个小棱形的面积为：80÷48＝ 平方厘米，则画实线的棱形面积为： ＝45 平方厘米．即：那么用来组成正六边形ABCDEF的所有菱形的面积总和是 45 平方厘米．故答案是：45．7．（10 分）将 1～25 分别填入如图所示的 5×5 表格中．在每一行中选出最大数，在每一列中选出最小数，这样我们一共选择了 10 次．这 10 次选出的数中至少有　 9 　 个不相同的数． 【分析】首先根据题意，判断出一定存在一个数，它既是所在行的最大数，又是所在列的最小数；然后应用假设法，判断出：不存在两个既是所在行的最大数，又是所在列的最小数的数，推得这 10 次选出的数中至少有 9 个不相同的数即可．【解答】解：（1）一定存在一个数，它既是所在行的最大数，又是所在列的最小数，例如：图 1 中的数字 10 既是第 5 行的最大数，又是第 1 列的最小数，．（2）若存在两个这样的数，则这两个数必不在同一行也不在同一列，如图 2 中的A与B，由题意，可得：B＞C＞A＞D＞B，这是不可能的，所以不存在两个既是所在行的最大数，又是所在列的最小数的数，所以这 10 次选出的数中至少有：10﹣1＝9 个不相同的数，．故答案为：9．8．（10 分）如图所示，用 64 个棱长为 1 的小立方体组成一个棱长为 4 的大立方体，再从上到下取走 4个小立方体（图中阴影部分）．将剩余立体图形的内外表面都染成红色，那么恰有两个面染色的小立方体共有　 28 　 个．【分析】首先分析棱上的小块，面上的除了空心通道以外其他是没有的，空心通道的数字计算出来相加即可．【解答】解：依题意可知：在大正方体的棱上的，上下各有 6 个，侧面棱上 8 个，棱上共 20 个．空心通道产生的上下各有 2 个，通道内有 4 个共 8 个． 共 20+8＝28（个）．故答案为：28．二、简答题9．（15 分）12 位小朋友共同购买一套书，购书的费用由大家平均承担．由于购买时，其中 2 位小朋友没有带钱，所以其余的 10 位小朋友每人多付了 10 元那么购买这套书共需多少元？【分析】首先根据数量差找到 10 位小朋友多花了多少钱，然后平均分给 2 位小朋友，即可求解．【解答】解：依题意可知；10 位小朋友多付的是 2 位小朋友的钱数即，10×10＝100 元，每位小朋友应该付款为 100÷2＝50 元．共 12 小朋友应该付款为：12×50＝600 元．答：购买这套书共需要 600 元．10．（15 分）小袋鼠甲和乙在如图的区域中跳动，甲按ABCDEFGHIABC…的顺序循环跳动，乙按照ABDEGHABD…的顺序跳动，如果开始时两只袋鼠都从A出发，并且这算是第一次他们同跳到了一起，问经过 2017 跳跃，他们一共跳到了一起多少次？【分析】首先找到 2 次跳跃的周期 6 和 9 的最小公倍数为 18，在这一个周期中有 2 次相遇，找到组数和余数即可求解．【解答】解：依题意可知：枚举法列表可知：甲A B C D E F G H I A B C D E F G H I A…乙A B D E G H A B D E G H A B D E G H A…周期数为 18．每一个周期有两次相遇．2017÷18＝112…1．所以经过 2017 次跳跃两只袋鼠共有 1+2×112+1＝226（次）；答：经过 2017 跳跃，他们一共跳到了一起有 226 次．11．（15 分）某次数学竞赛中，必答题答对 1 题得 3 分、答错 1 题倒扣 2 分；选答题答对 1 题得 5 分、答错 1 题得 0 分．小明回答了所有的题且答对了其中 15 道，共得 49 分．那么该数学竞赛中共有几道必答题？【分析】首先假设全是选答题，根据数量差进行求解．【解答】解：依题意可知：假设该数学竞赛全为选答题，则小明答对 15 题得分 5×15＝75 分；而将一道选答题换成一道必答题无论对错小明都减少 2 分．所以 3 分的必答题有（75﹣49）÷2＝13（题）．答：该数学竞赛中共有 13 道必答题．12．（15 分）如图是某社区的街道示意图，一辆洒水车从A点出发不重复地经过所有街道又回到A点．那么洒水车有多少种不同的路线？ 【分析】按题意，从A点出发既可以向左也可以向右，2 种，然后再分类计算路线即可得出所有路线的总和．【解答】解：根据分析，洒水车从A点出发可以选择向左或向右，2 种，①若向左，走到B点时，有 3 种选择，走到C点后有 2 种选择回到B点，最后剩下 1 种选择回到C，最后返回A；②若向右，走到C点时，有 3 种选择，走到B点后有 2 种选择回到C点，最后剩下 1 种选择回到B，最后返回A；综上，共有：2×（3+3）＝12 种路线．故答案是：12．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:03:12；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800