2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 B 卷）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）算式 ÷（ ） 的值为　 　．2．（10 分）设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4＝3，3▽4＝4，那么对于不同的数x，5▽[4▽（x△4）]的取值共有　 　个．3．（10 分）里山镇到省城的高速路全长 189 千米，途经县城，里山镇到县城 54 千米．早上 8：30，一辆客车从里山镇开往县城，9：15 到达，停留 15 分钟后开往省城，11：00 到达．另有一辆客车于同天早上 8：50 从省城径直开往里山镇，每小时行驶 60 千米．那么两车相遇的时间为　 　．4．（10 分）有高度相同的一段方木和一段圆木，体积之比是 1：1．如果将工成尽可能大的圆柱，将圆木加工成尽可能大的长方体，则得圆柱体积和长方体的体积的比值为　 　．5．（10 分）用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}＝x﹣[x]，则算式{ }+{ }+{ }+…+{ }的值为　 　．6．（10 分）某个水池存有其容量的十八分之一的水．两条注水管同时向水池注水，当水池的水量达到九分之二时，第一条注水管开始单独向水池注水，用时 81 分钟，所注入的水量等于第二条注水管已注入水池内的水量．然后第二条注水管单独向水池注水 49 分钟，此时，两条注水管注入水池的总水量相同．之后，两条注水管都继续向水池注水．那么两条注水管还需要一起注水　 　分钟，方能将水池注满．7．（10 分）有 16 位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘．每盘胜者积 1 分，败者积 0 分．如果和棋，每人各积 0.5 分．比赛全部结束后，积分不少于 10 分者晋级．那么本次比赛后最多有　 位选手晋级．8．（10 分）平面内有 5 个点，其中任意 3 个点均不在同一条直线上，以这些点为端点连接线段，则除这 5 个点外，这些线段至少还有　 　个交点．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）能否用 540 个图所示的 1×2 的小长方形拼成一个 6×180 的大长方形，使得 6×180 的长方形的每一行、每一列都有奇数个星？请说明理由．10．（10 分）已知 100 个互不相同的质数 p1，p2，…，p100，记 N＝p12+p12+…+p1002，问：N被 3 除的余数是多少？11．（10 分）王大妈拿了一袋硬币去银行兑换纸币，袋中有一分、二分、五分和一角四种硬币，二分的枚数是一分的 ，五分硬币的枚数是二分的 ，一角硬币的枚数是五分的 少 7 枚．王大妈兑换到的纸币恰好是大于 50 小于 100 的整元数．问这四种硬币各有多少枚？12．（10 分）右图是一个三角形网格，由 16 个小的等边三角形构成．网格中由 3 个相邻的小三角形构成的图形称为“3﹣梯形”．如果在每个小三角形内填上数字 1﹣9 中的一个，那么能否给出一种填法，使得任意两个“3﹣梯形”中的 3 个数之和均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由． 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）请写出所有满足下面三个条件的正整数a和b；（1）a≤b； （2）a+b 是个三位数，且三个数字从小到大排列等差； （3）a×b 是一个五位数，且五个数字相同．14．（15 分）记一百个自然数 x，x+1，x+2，…，x+99 的和为a，如果a的数字和等于 50，则x最小为多少？2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 B 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）算式 ÷（ ） 的值为　 　．【分析】先算小括号里面的加法，再算除法，最后算减法．【解答】解：÷（ ） ，＝ ÷ ，＝ ，＝ ．故答案为： ．2．（10 分）设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4＝3，3▽4＝4，那么对于不同的数x，5▽[4▽（x△4）]的取值共有　 1 　 个．【分析】分x＞4 和x≤4 两种情况进行讨论，据此解答．【解答】解：分情况讨论：①x≤4 时，x△4＝x，4▽x＝4，5▽4＝5；②x＞4 时，x△4＝4，4▽4＝4，5▽4＝5．所以 5▽[4▽（x△4）]的取值共有 1 种．故答案为：1．3．（10 分）里山镇到省城的高速路全长 189 千米，途经县城，里山镇到县城 54 千米．早上 8：30，一辆客车从里山镇开往县城，9：15 到达，停留 15 分钟后开往省城，11：00 到达．另有一辆客车于同天早上 8：50 从省城径直开往里山镇，每小时行驶 60 千米．那么两车相遇的时间为　 10 ： 08 　 ．【分析】此题应先求出甲车在县城开往省城的速度和所用时间，速度是（189﹣54）÷1.5＝90（千米/小时），所用的时间（189﹣54﹣60×40÷60）÷（90+60），再求出两车相遇的时间，解决问题．【解答】解：甲车在县城开往省城的速度是：（189﹣54）÷1.5，＝135÷1.5，＝90（千米/小时）；甲车在县城开往省城所用的时间：（189﹣54﹣60×40÷60）÷（90+60），＝95÷150，＝ （小时），＝38（分钟）；两车相遇的时间：15+15＝30（分钟）， 9 点 30 分+38 分＝10 时 8 分．答：两车在 10：08 相遇．故答案为：10：08．4．（10 分）有高度相同的一段方木和一段圆木，体积之比是 1：1．如果将工成尽可能大的圆柱，将圆木加工成尽可能大的长方体，则得圆柱体积和长方体的体积的比值为　 　．【分析】方木与圆木的体积和高度都相等，说明底面积也相等，要求加工成的圆柱体积和长方体的体积的比，就是比较底面积的比，所以只要求出底面积即可，然后按正方形的内接圆和外接圆考虑即可．【解答】解：（1）设圆的半径为r，圆的面积与正方形的面积比是：（πγ2）：（2γ×2γ）＝ ，（2）设圆的半径为r，正方形的面积与圆的面积比是：（2γ×γ）：（π×γ2）＝ ，因为，方木与圆木的体积和高度都相等，说明底面积也相等，即图（1）的大正方形面积等于图（二）的大圆的面积，所以，现在的圆柱体积和长方体的体积的比值是：： ＝ ；答：圆柱体积和长方体的体积的比值为 ．故答案为：5．（10 分）用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}＝x﹣[x]，则算式{ }+{ }+{ }+…+{ }的值为　 805.4 　 ． 【分析】根据用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}＝x﹣[x]，可把原式的每一项写成{x}＝x﹣[x]，然后进行计算．据此解答．【解答】解：{ }+{ }+{ }+…+{ }，＝ ﹣[ ]+ ﹣[ ]+ ﹣[ ]+…+ ﹣[ ]，＝ ﹣402+ ﹣402+ ﹣403+…+ ﹣804，＝ ﹣402+ ﹣402+ ﹣403+…+ ，＝402+ ﹣402+ ﹣402+403﹣403+…+804+ ﹣804，＝ + +0+ + + +0+… ，＝ + +（2012﹣2）÷5×（0+ + + + ），＝ +2010÷5×2，＝0.6+0.8+804，＝805.4．故答案为：805.4．6．（10 分）某个水池存有其容量的十八分之一的水．两条注水管同时向水池注水，当水池的水量达到九分之二时，第一条注水管开始单独向水池注水，用时 81 分钟，所注入的水量等于第二条注水管已注入水池内的水量．然后第二条注水管单独向水池注水 49 分钟，此时，两条注水管注入水池的总水量相同．之后，两条注水管都继续向水池注水．那么两条注水管还需要一起注水　 231 　 分钟，方能将水池注满．【分析】我们设到 时，用时为X分钟；甲管 81 分钟的水量＝乙管X分钟的水量（甲后 81 分钟与乙管前面注入的等量）甲管X分钟＝乙管 49 分钟的水量（总量相同，乙管把甲管前面部分补足即可）后面单独注水阶段，只不过把水量交换了一下，所以也注了 1/6；列方程求出共同注水的时间是63，两管 63 分钟完成了 ﹣ ＝ ，然后再看看剩下的工作量里面有几个 ，就有几个 63 分钟．【解答】解：设到 时，用时为X分钟；81：X＝X：49 X×X＝81×49， X×X＝9×9×7×7， X×X＝（9×7）×（9×7）， X＝9×7， X＝63；也就是说，两管 63 分钟完成了 ﹣ ＝ ，还需要注水的量：1﹣（ + 2），＝1﹣ ，＝ ；需要的时间是：63×[ ] ＝63× ，＝231（分钟）答：两条注水管还需要一起注水 231 分钟． 故答案为：231．7．（10 分）有 16 位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘．每盘胜者积 1 分，败者积 0 分．如果和棋，每人各积 0.5 分．比赛全部结束后，积分不少于 10 分者晋级．那么本次比赛后最多有　 11 　 位选手晋级．【分析】16 名参赛选手所有的比赛一共有（1+15）×15÷2＝120 场，而且不论胜败，每场比赛总分为 1 分，所以比赛总分为 120 分，最理想的结果是 120÷10＝12 人晋级，即有 12 人，每人 10 分，其余 4 人每人 0 分，但这种情况不可能出现（那怕排名最后的 2 人相互之间的比赛也会有得分）那么考虑 11 人的情况，前 11 人称为高手，后 5 人称为平手，高手之间的比赛全平，每人得 0.5×10＝5分，高手对平手，高手全胜，每个高手再得 5 分，这样每个高手得 10 分，正好全部晋级．【解答】解：16 名参赛选手所有的比赛一共有（1+15）×15÷2＝120 场，而且不论胜败，每场比赛总分为 1 分，所以比赛总分为 120 分，最理想的结果是 120÷10＝12 人晋级，即有 12 人，每人 10 分，其余 4 人每人 0 分，但这种情况不可能出现（那怕排名最后的 2 人相互之间的比赛也会有得分），那么考虑 11 人的情况，前 11 人称为高手，后 5 人称为平手，高手之间的比赛全平，每人得 0.5×10＝5 分，高手对平手，高手全胜，每个高手再得 5 分，这样每个高手得 10 分，正好全部晋级．综上所述：最多 11 人晋级；故答案为：11．8．（10 分）平面内有 5 个点，其中任意 3 个点均不在同一条直线上，以这些点为端点连接线段，则除这 5 个点外，这些线段至少还有　 1 　 个交点．【分析】因为两点确定一条线段，又因为每三个点都不在同一条直线上，所以任意三点都能组成一个三角形，假设把其中的三点连成一个三角形，要使这些线段的交点最少，则剩下的两个点都在三角形的内部，据此画图即可解答．【解答】解：根据题干分析画图如下：答：至少还有 1 个交点．故答案为：1．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）能否用 540 个图所示的 1×2 的小长方形拼成一个 6×180 的大长方形，使得 6×180 的长方形的每一行、每一列都有奇数个星？请说明理由．【分析】540 个这样的小长方形就有 540 个小星星；540 是偶数，因为奇数+奇数＝偶数；也就是说偶数可以分成偶数个奇数的和；由此求解．【解答】解：540 个这样的小长方形就有 540 个小星星；540 可以分成 6 个奇数的和；也可以分成 180 个奇数的和，所以每一行或者每一列都可以是奇数个星； 如：前五行各有 89 个，第六行有 95 个；每列都是 3 个．所以 540 个 1×2 能使得 6×180 的长方形的每一行、每一列都有奇数个星．10．（10 分）已知 100 个互不相同的质数 p1，p2，…，p100，记 N＝p12+p12+…+p1002，问：N被 3 除的余数是多少？【分析】除 3 外，因为质数被 3 除的余数为 1 或 2，质数的平方除以 3，余数只能是 1，（2 的平方除以 3 余 1），然后分是否含有质数 3 讨论．【解答】解：（1）这些质数中不含质数 3，所以该数平方后被 3 除的余数就是 1，所以N被 3 除的余数就是 100 被 3 除的余数，是 1；（2）如果有 3，那么剩下 99 个余 0． 3 的平方除以 3 余数是 0 那么N除以 3 的余数 0．答：N被 3 除的余数是 0 或 1．11．（10 分）王大妈拿了一袋硬币去银行兑换纸币，袋中有一分、二分、五分和一角四种硬币，二分的枚数是一分的 ，五分硬币的枚数是二分的 ，一角硬币的枚数是五分的 少 7 枚．王大妈兑换到的纸币恰好是大于 50 小于 100 的整元数．问这四种硬币各有多少枚？【分析】假设一角硬币的再增加 7 枚即 70 分，这时一角硬币的枚数是五分的 ，此时把一分硬币的枚数看作单位“1”，一角硬币的枚数是一分的 × × ＝ ，所以一分的枚数必须是 125 的倍数，那么至少二分的枚数是：125× ＝75 枚，五分硬币的枚数是：75× ＝45 枚，一角硬币的枚数是：45× ＝27 枚，总钱数是：1×125+2×75+5×45+10×27＝770（分）＜5000 分，不合要求；又因为我们增加 7 枚即 70 分，那么王大妈兑换到的纸币总钱数应在 5070～10070 之间；末尾两位数还必须有“70”这两个数字，所以总钱数是：770×11＝8470（分），可得，一分的枚数是：125×11＝1375（枚），二分的枚数是：75×11＝825（枚），五分硬币的枚数是：45×11＝495（枚），一角硬币的枚数是：27×11﹣7＝290（枚）；据此解答．【解答】解：假设一角硬币的再增加 7 枚即 70 分，这时一角硬币的枚数是五分的 ，一角硬币的枚数是一分的 × × ＝ ，所以一分的枚数必须是 125 的倍数，那么至少二分的枚数是：125× ＝75 枚，五分硬币的枚数是：75× ＝45 枚，一角硬币的枚数是：45× ＝27 枚，总钱数是：1×125+2×75+5×45+10×27＝770（分）＜5000 分，不合要求；又因为我们增加 7 枚即 70 分，那么王大妈兑换到的纸币总钱数应在 5070～10070 之间；末尾两位数还必须有“70”这两个数字，所以总钱数是：770×11＝8470（分），可得，一分的枚数是：125×11＝1375（枚），二分的枚数是：75×11＝825（枚），五分硬币的枚数是：45×11＝495（枚），一角硬币的枚数是：27×11﹣7＝290（枚）；答：一分的枚数是 1375 枚，二分的枚数是 825 枚，五分硬币的枚数是 495 枚，一角硬币的枚数是 290 枚．12．（10 分）右图是一个三角形网格，由 16 个小的等边三角形构成．网格中由 3 个相邻的小三角形构成的图形称为“3﹣梯形”．如果在每个小三角形内填上数字 1﹣9 中的一个，那么能否给出一种填法，使得任意两个“3﹣梯形”中的 3 个数之和均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由． 【分析】如图：图中和标有数字序号的 6 个三角形，每个都和它相邻的两个三角形组成三个“3﹣梯形”，这种“3﹣梯形”有 18 个；另外由图中标有数学序号的某两个三角形及它们周围的某个三角形也能组成“3﹣梯形”，这种“3﹣梯形”有 9 个，故一共有 27 个“3﹣梯形”；而每个“3﹣梯形”中的数字之和，最小是三个三角形内都填数字 1，和为 3，最大是三个三角形内都填数字 9，和是 27，一共有 25 个不同结果；因为，27 个“3﹣梯形”中的结果只有 25 个，至少存在两个“3﹣梯形”和是相同的；据此解答即可．【解答】解：由分析可知，共有“3﹣梯形”：18+9＝27（个），而每个“3﹣梯形”中的数字之和，最小是三个三角形内都填数字 1，和为 3；最大是三个三角形内都填数字 9，和是 27；由 3～27，一共有 25 个不同结果；因为，27 个“3﹣梯形”中的结果只有 25 个，至少存在两个“3﹣梯形”和是相同的，所以没有一种填法使得任意两个“3﹣梯形”中的 3 个数之和均不相同．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）请写出所有满足下面三个条件的正整数a和b；（1）a≤b； （2）a+b 是个三位数，且三个数字从小到大排列等差； （3）a×b 是一个五位数，且五个数字相同．【分析】先把最小五个数字相同的五位数 11111 进行分解，然后根据a、b满足的条件进行讨论它们的取值．【解答】解：11111＝41×271①a＝271，b最小为 41×7＝287，最大为 41×9＝369经验证，不满足②b＝271，a可能为 41，82，123，164，205，246经验证，a＝41，164，③b＝542，a可能为 41，82，123…451经验证，a＝82，④b＝813，a可能为 41，82，123，164经验证，a＝123综上，满足要求的正整数a，b有：（41，271），（164，271），（82，542），（123，813）14．（15 分）记一百个自然数 x，x+1，x+2，…，x+99 的和为a，如果a的数字和等于 50，则x最小为多少？【分析】先根据等差数列求和公式得到一百个自然数的和，再分 100x+4950 两数相加没有进位；100x+4950 两数相加t次进位进行讨论即可求解．【解答】解：总和a＝100x+9900÷2＝100x+4950，如果 100x+4950 两数相加没有进位，则数字和＝x的数字和+4+9+5＝50，x的数字和＝32，x至少是 5 位数：99950；如果 100x+4950 两数相加t次进位，则数字和＝x的数字和+4+9+5﹣9t＝50，x的数字和﹣9t＝32，进位一次则x的数字和＝41，最小 199949；进位 2 次则x数字和＝50，最小 699899；更多进位，x位数也必超过 5．所以x最小是 99950． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:54:34；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800