《理论力学》复习题(二)一、在图示平面机构中，长度为 r 的细长直杆 OA 以匀角速度ω绕轴 O 作顺时针转动，通过细直角弯杆 ABC 带动半径为 r 的圆盘在半径为 R = 3r 的固定不动的凹轮上作纯滚动，已知 AB = 4r，BC = 3r，试求图示位置，圆盘的角速度和角加速度。解：(1) 运动分析：杆 OA 作定轴转动；直角弯杆 ABC 作平面运动；圆盘 C 在凹面上作纯滚动。(2) 速度分析：如图(a)所示杆 OA：vA=rω（↓）；圆盘 C：速度瞬心为点 P，vC=rωC（→）直角弯杆 ABC：速度瞬心为点 B，ωABC=vAPA=rω4 r=14ω（逆时针）vC=PC⋅ωABC=3 r⋅14ω=34rω（→）则 ωC=vCr=34rωr=34ω（顺时针）题一图(a)OACBRrDP题一图OACBRrD1 (4) 求解：联立式(1)和(2)求解得到αOA=528gr（顺时针）αD=2342gr（顺时针）10 (3) 加速度分析：如图(b)所示杆 OA：aA=aAn=rω2（←）圆盘 C：aCn=vC2R−r=(34rω)23 r−r=932rω2（↑），aCt=rαC?（→）直角弯杆 ABC：aCn+aCt=aA+aCAn+aCAt大小 932rω2 rαC? rω2 AC⋅ωABC2 AC⋅αABC?方向 ↑ → ← C→ A ¿CA沿AC方向投影得到 −aCn⋅35+aCt⋅45=−aA⋅45−aCAn ⇒−(932rω2)⋅35+rαC⋅45=−rω2⋅45−5 r⋅(14ω)2 ⇒αC=−151128ω2（负号表示其真实转向与图示相反，即真实转向为逆时针）题一图(b)OACBRD2 二、图示平面机构，杆 BD 沿水平滑道运动，带动半径为 r 的圆盘绕水平轴 O 作定轴转动，已知图示位置，杆 BD 的速度为 v0，加速度为 a0，方向都为水平向左，试求该位置圆盘的角速度和角加速度。解：(1) 运动分析：动点：杆 BD 上的点 B；动系：与圆盘 A 固连。(2) 速度分析：如图(a)所示va=ve+vr大小 v0 OB⋅ω=√3 rω ?方向 ← ¿OB ¿ AB题二图rBADO60°题二图 (a)rBADO60°3 由几何关系得到 ve=va=v0 ⇒ √3 rω=v0 ⇒ ω=√3 v03 r（逆时针）vr=2 vacos30∘=√3 va=√3 v0（¿ AB）(3) 加速度分析：如图(b)所示aa=aen+aet+arn+art+aC大小 a0 OB⋅ω2¿√3rω2 OB⋅α=√3 rα? vr2r ? 2 ωvr方向 ← // OB ¿OB // AB ¿ AB // AB沿AB方向投影得到 −aacos60∘=−aensin 60∘−aetcos60∘−arn+aC ⇒−a0⋅12=−√3 rω2⋅√32−√3 rα⋅12−vr2r+2ωvr ⇒α=√3 a03 r−√3v02r2（正值转向为逆时针）题二图 (b)rBADO60°4 三、 图示平面结构由直杆 AB、BC 和 CD 在接触处相互铰接而成，已知图中 a，q，F=√3 qa，M=2 qa2，若不计各构件自重和各接触处摩擦，试求支座 A、C、D 对系统的约束力。 解：三角形分布载荷的合力为 Fq=12⋅q⋅3 a=32qa，其合力作用点距离点 B 的距离为2a（合力作用点距离点 A 的距离为 a）。(1) 杆 AB：受力分析如图(a)所示∑MB=0：FAy⋅3 a−Fq⋅2 a=0 ⇒ FAy=23Fq=23⋅32qa=qa（↑）(2) 杆 CD：受力分析如图(b)所示∑MC=0：FDy⋅2 a−M =0 ⇒FDy=M2 a=2 qa22 a=qa（↓）(3) 整体：受力分析如图(c)所示题三图ABMCDa a aq题三图 (a)ABa a aq题三图(b)MCDa a5 ∑Fy= 0：FAy−Fq−FDy+FC=0 ⇒FC=Fq+FDy−FAy=32qa+qa−qa=32qa（↑）(4) 杆 AB 和杆 BC：受力分析如图(d)所示∑MC=0：F⋅√32a+Fq⋅a−FAy⋅2 a−FAx⋅√3 a= 0 ⇒FAx=1√3(√32F +Fq−2 FAy)=1√3(√32⋅√3 qa+32qa−2⋅qa )=√33qa（→）(5) 整体：受力分析如图(c)所示∑Fx=0：FAx−F +FDx=0 ⇒ FDx=F−FAx=√3 qa−√33qa=2√33qa（→）四、如图所示，均质杆 AB 和 BC 的质量都为 m，长度都为 l；均质圆盘的中心为 C，其质量也为 m，半径为 r；它们处于同一铅垂面内，且以光滑圆柱铰链相互连接。圆盘可题三图 (c)ABMCDa a aq题三图 (d)ABCa a aq6 沿水平地面作纯滚动，点 A 、C 处于同一水平线上，且连接一根原长为 2l，刚度系数为 k = mg / l 的弹簧。当 时，系统无初速释放，试求杆 AB 在 时的角速度。7 五、图示系统处于同一铅垂平面内，均质杆 OA 的质量为 m，长度为 l = 2r；均质圆盘D 的质量为 m，半径为 r；若不计铰链 O、A 处摩擦，系统于图示位置无初速释放，试求释放瞬时两刚体的角加速度。解：(1) 运动学分析：如图(a)所示杆 OA：aC=rαOA ， aA=2 rαOA题五图30◦OArBD题五图(b)AOBD30°C题五图(a)AOBDr30°C8 圆盘 D：aD=aA+aDAt 其中aDAt=rαD(2) 受力分析和惯性力系分析：如图(b) 所示FIC=maC=mr αOAMIC=JC杆αOA=112m(2r )2αOA=13mr2αOAFID(1)=maA=2 mr αOAFID(2)=maDAt=mr αDMID=JD盘αD=12mr2αD(3) 达朗贝尔原理：① 整体：如图(b) 所示∑MO=0：MIC−mg⋅12r +FIC⋅r−mg⋅2r +FID(1 )⋅52r +FID(2)⋅2 r +MID=0 ⇒13mr2αOA−mg⋅12r+mr αOA⋅r−mg⋅2r +2mr αOA⋅52r+mr αD⋅2r+12mr2αD=0⇒193rαOA+52rαD=52g (1)② 圆盘 D：如图(c) 所示∑MA= 0：MID+FID( 2)⋅r−mg⋅r +FID(1 )⋅12r=0 ⇒12mr2αD+mr αD⋅r−mg⋅r +2 mr αOA⋅12r=0 ⇒32rαD+rαOA=g (2)题五图(c)ABD9