DCBA21DCBADCBA三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形（一）三角形部分一、知识点汇总1. 三角形的定义定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。三角形 ABC 用符号表示为△ABC.三角形 ABC 的顶点 C 所对的边 AB 可用 c 表示,顶点 B 所对的边 AC 可用 b 表示,顶点 A 所对的边 BC 可用 a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形 ABC 的符号标记，单独的△没有意义．2、（1）三角形按边分类： （2）三角形按角分类：3、三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。注意： （1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；（2）围成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边．4、和三角形有关的线段：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段表示法：1、AD 是△ABC 的 BC 上的中线. 2、BD=DC=0.5BC.3、AD 是ABC 的中线；注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全 在三角形的内部；③ 三角形三条中线交于三角形内部一点；④ 中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角与交点之间 的线段。表示法：1、AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2、∠1=∠2=0.5∠BAC.3、AD 平分BAC，交 BC 于 D注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③ 三角形三条角平分线交于三角形内部一点；（3）三角形的高三角形的高：从三角形的一顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,表示法：1、AD 是△ABC 的 BC 上的高。 2、AD⊥BC 于 D。3、∠ADB=∠ADC=90°。 4、AD 是△ABC 的高。注意：①三角形的高是线段：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。② 锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外；③ 三角形三条高所在直线交于一点．（而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在 三角形的外部。）4、三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于 180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。 ͼ 1Eyx123-1-2-3-3-2 -1 321O图 1－ 3－ 2－ 1321O－ 1123xy11、解不等式组 把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．12、求同时满足不等式 6x－2≥3x－4 和 的整数 x 的值.13、若关于 x、y 的二元一次方程组 中，x 的值为负数，y 的值为正数，求 m 的取值范围.14、一人 10 点 10 分离家去赶 11 点整的火车，已知他家离车站 10 千米，他离家后先以 3 千米/小时的速度走了 5 分钟，然后乘公共汽车去车站，问公共汽车每小时至少走多少千米才能不误当次火车？练习题答案：1、D 2、C 3、A 4、D 5、D 6、－1≤x＜3 7、－ ≤x≤4 8、m＞2 9、－6 10、a≤1 11、2，1，0，－1 12、不等式组的解集是 ，所以整数 x 为 0 13、－2＜m＜0.514、解：设公共汽车每小时至少走 x 千米才能不误当次火车答：公共汽车每小时至少走 13 千米才能不误当次火车。（三）图形与坐标一、知识点汇总1、确定平面上物体位置的方法：坐标法、方位与距离法、经纬度法2、根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标3、在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化4、平面上物体的位置可以用有序实数对来确定。5、在平面内确定物体的位置一般需要几个数据?有哪些方法?(1)用有序数对来确定; (2)用方向和距离（方位）来确定;6、在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系。简称直角坐标系,坐标系所在的平面就叫做坐标平面7、掌握各象限上及 x 轴，y 轴上点的坐标的 特点： 第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）8、x 轴上的点纵坐标为 0，表示为（x，0）；y 轴上的点横坐标为 0，表示为（0，y）9、(1)关于 x 轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。(2)关于 y 轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数。(3)关于原点对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标互为 相反数。二、例题分析1. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的例 1:如图 1，在平面直角坐标系中，点E的坐标是　　　（ ） A．(1， 2) B．(2， 1) C．(－1， 2) D． (1，－2) 2. 图形在坐标平面内变换后点的坐标例 2: 如图 2,在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图 案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(－ 4，2)、 图 4第 6 题图第 10 题图(－2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标是 .例 3:已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C' 与△ABC 关于 y 轴对称，那么点 A 的对应点 A'的坐 标为（ ）．A．(－4，2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4，2)例题答案：1、分析:过点 E 向 x 轴画垂线,垂足在 x 轴上对应的实数是 1,因此点 E 的横坐标为 1;同理,过点 E 向y 轴画垂线,点 E 的纵坐标为 2,所以点 E 的坐标为(1,2),选 A．2、解析:在图 2 中,平移前左眼的坐标是(-4,2),平移后左眼的坐标是(3,4),它的横坐标增加了 7,纵坐标增加了 2.根据这个规律和平移的特征,平移后右眼的坐标是(5,4).3、解析:关于 y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标相反.在图 4 中,A 点的坐标是(-4,2),则 A 点关于 y轴对称的对应点A'的坐标为(4,2),故选 D.点评:在平面直角坐标系中，求图形经过几何变换后点的坐标,应先准确作图,然后求坐标.三、练习题1、在平面直角坐标系中，点 P（－3，2）所在象限为（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2、平面直角坐标系中，与点（2，－3）关于原点中心对称的点是（ ）(A)（－3，2） (B)（3，－2） (C)（－2，3） (D)（2，3） 3、若点 P（ ， ﹣2）在第四象限，则 的取值范围是（ ）A、﹣2＜ ＜0 B、0＜ ＜2 C、 ＞2 D、 ＜04、在平面直角坐标系中， ▱ABCD 的顶点 A、B、C 的坐标分别是(0，0)、(3，0)、(4．2)，则顶点D 的坐标为（ ）A. (7，2) B. (5, 4) C. (1，2) D. (2，1) 5、以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为原点，直线 AD 为 x 轴建立直角坐标系，已知 B、D 点的坐标分别为（1，3），（4，0），把平行四边形向上平移 2 个单位，那么 C 点平移后相应的点的坐标是（ ）A、（3，3） B、（5，3） C、（3，5） D、（5，5）6、如图，若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，则点 A 的对应点的坐标是（ ）A．(－4，3) B．(4，3) C．(－2，6) D．(－2，3)7. 已知点 A（a-1，a+1）在 x 轴上，则 a 等于______．8．点 与 都在第二、四象限两条坐标轴的夹角的平分线上,则 a= ,b= .9. 已知点 M（3，2）与点 N（x，y）在同一条垂直与 x 轴的直线上，且 N 点到 x 轴的距离为 5，那么点 N 的坐标是 。10. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABC 绕点 P 旋转 180°，得到△DEF,请写出 P 点的坐标 。三、解答题11、△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）作出△ABC关于 轴对称的△ ，并写出点 的坐标；（2）作出将△ABC 绕点O顺时针旋转 180°后的△ ．a a aa a a a 4ABCO123412341234123xy4ABCO123412341234123xy1A1B1C2A2B2C12、 如图，菱形 ABCD 的中心在直角坐标系的原点，一条边 AD 与x轴平行，已知点 A、D 的坐标分别是（－4，3）、（ ，3），求 B、C 的坐标．13、如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的对角线 AC 平行于 x 轴，边 OA 与 x 轴正半轴的夹角为30°，OC=2，求点 B 的坐标答案：一、选择题1、B 2、C 3、B 4、 C 5、D 6、A二、填空题 7、-1 8、-2；3 9、（3,5)或 （3,-5) 10、（-1,-1)三、解答题11、【答案】（1）作图如图示， 的坐标为（－2，－3）．（2）如图示．12、 B（-⇔，-3） C（4，-3） 13.解：过点 B 作 DE⊥OE 于 E，∵矩形 OABC 的对角线 AC 平行于 x 轴，边 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 30°，∴∠CAO=30°，∴AC=4，∴OB=AC=4，∴OE=2，∴BE=2 ，∴则点 B 的坐标是（2， ），yxOADCB (四)一次函数一、知识点汇总1、一次函数的定义一般地，形如 （ ， 是常数，且 ）的函数，叫做一次函数，其中 x 是自变量。当时，一次函数 ，又叫做正比例函数。⑴ 一次函数的解析式的形式是 ，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵ 当 ， 时， 仍是一次函数．⑶ 当 ， 时，它不是一次函数．⑷ 正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如 y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为 1 ③ b 取零当 k>0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k<0 时，ÿ直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随 x 增大 y 反而减小．(1) 解析式：y=kx（k 是常数，k≠0）(2) 必过点：（0，0）、（1，k）(3) 走向：k>0 时，图像经过一、三象限；k<0 时，ÿ图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y 随 x 的增大而增大；k<0，y 随 x 增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近 y 轴；|k|越小，越接近 x 轴3、一次函数及性质一般地，形如 y=kx＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的一次函数.当 b=0 时，y=kx＋b 即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零)： ① k 不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取任意实数一次函数 y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（-4，0）两点的一条直线，我们称它为直线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k10) （2）必过点：（0，b）和（-2，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限3直线经过第一、二、三象限 4直线经过第一、三、四象限−1直线经过第一、二、四象限 −2直线经过第二、三、四象限（4）增减性： k>0，y 随 x 的增大而增大；k<0，y 随 x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于 y 轴；|k|越小，图象越接近于 x 轴.（6）图像的平移： 当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b<0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位.一次函数，符号 图象性质随 的增大而增大 随 的增大而减小4、一次函数 y=kx＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b）， .即横坐标或纵坐标为 0 的点.5、正比 例函数与一次函数之间 的关系及性质一次函 数 y=kx＋b的图象是一 条直线，它可以看作是 由直线 y=kx平移|b|个 单位长度而得到（当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移）正比例函数 一次函数概 念一般地，形如 y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数一般地，形如 y=kx＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的一次函数.当 b=0 时，是 y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量范 围X 为全体实数图 象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（-−1，0）走 向k>0 时，直线经过一、三象限；k<0 时，直线经过二、四象限k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限k＞0，b＜0 直线经过第一、三、四象限k＜0，b＞0 直线经过第一、二、四象限k＜0，b＜0 直线经过第二、三、四象限增减性k>0，y 随 x 的增大而增大；（从左向右上升）k<0，y 随 x 的增大而减小。（从左向右下降）倾斜度|k|越大，越接近 y 轴；|k|越小，越接近 x 轴图 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平OxyyxOOxyyxOOxyyxO　b>0 b<0 b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小 像的平 移移−2个单位；b<0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移−3个单位.6、直线x（y）与A1（B1）的位置关系（1）两直线平行C1A2且B2 （2）两直线相交C2k1≠k2（3）两直线重合⇔k1=k2且b1=b2 （4）两直线垂直⇔k1k2=−17、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：　　（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；　　（2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；　　（3）解方程得出未知系数的值；　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.二、练习题： 1．当-1≤x≤2 时，函数 y=ax+6 满足 y<10，则常数 a 的取值范围是（ ） （A）-4<a<0 （B）0<a<2 （C）-4<a<2 且 a≠0 （D）-4<a<2 2．在直角坐标系中，已知 A（1，1），在 x 轴上确定点 P，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 3．在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设 k 为整数．当直线 y=x-3 与 y=kx+k 的交点为整点时，k 的值可以取（ ） （A）2 个 （B）4 个 （C）6 个 （D）8 个 4．若 k、b 是一元二次方程 x2+px-│q│=0 的两个实根（kb≠0），在一次函数 y=kx+b 中，y 随 x 的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（ ） （A）第 1、2、4 象限 （B）第 1、2、3 象限 （C）第 2、3、4 象限（D）第 1、3、4 象限5．过点 P（8，2）且与直线 y=x+1 平行的一次函数解析式为_________．6．y= x 与 y=-2x+3 的图像的交点在第_________象限．7．若一次函数 y=kx+b，当-3≤x≤1 时，对应的 y 值为 1≤y≤9，ÿ则一次函数的解析式为________．8．设直线 kx+（k+1）y-1=0（为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为 Sk（k=1，2，3，……，2008），那么 S1+S2+…+S2008=_______．9．小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离 y（千米）与所用的时间 x（小时）之间关系的函数图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时离家多远？ （3）ÿ求小明出发多长时间距家 12 千米？10．已知一次函数的图象，交 x 轴于 A（-6，0），交正比例函数的图象于点 B，且点 Bÿ在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB 的面积为 6 平方单位，ÿ求正比例函数和一次函数的解析式．11．某租赁公司共有 50 台联合收割机，其中甲型 20 台，乙型 30 台．现将这 50 台联合收割机派往A、B 两地收割小麦，其中 30ÿ台派往 A 地，20 台派往 B 地．两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：甲型收割机的租金乙型收割机的租金A地 1800 元/台 1600 元/台B地 1600 元/台 1200 元/台 （1）设派往 A 地 x 台乙型联合收割机，租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的租金为 y（元），请用 x 表示 y，并注明 x 的范围．（2）若使租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的租金总额不低于 79600 元，ÿ说明有多少种分派方案，并将各种方案写出．答案：1．D 2．D 3．B 4．A 提示：依题意，△=p2+4│q│>0， k·b<0，一次函数 y=kx+b 中，y 随 x 的增大而减小 一次函数的图像一定经过一、二、四象限，选 A．5．y=x-6．提示：设所求一次函数的解析式为 y=kx+b．∵直线 y=kx+b 与 y=x+1 平行，∴k=1，∴y=x+b．将 P（8，2）代入，得 2=8+b，b=-6，∴所求解析式为 y=x-6．6．解方程组 ∴两函数的交点坐标为（ ， ），在第一象限． 7．y=2x+7 或 y=-2x+3 8．9．（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需 3 小时；此时，他离家 30 千米． （2）设直线 CD 的解析式为 y=k1x+b1，由 C（2，15）、D（3，30），代入得：y=15x-15，（2≤x≤3）．当 x=2.5 时，y=22.5（千米） 答：出发两个半小时，小明离家 22.5 千米．（3）设过 E、F 两点的直线解析式为 y=k2x+b2，由 E（4，30），F（6，0），代入得 y=-15x+90，（4≤x≤6） 过 A、B 两点的直线解析式为 y=k3x，∵B（1，15），∴y=15x．（0≤x≤1），ÿ分别令 y=12，得 x= （小时），x= （小时）．答：小明出发小时 或 小时距家 12 千米．10．设正比例函数 y=kx，一次函数 y=ax+b， ∵点 B 在第三象限，横坐标为-2，设 B（-2，yB），其中 yB<0， ∵S△AOB=6，∴ AO·│yB│=6，∴yB=-2，把点 B（-2，-2）代入正比例函数 y=kx，ÿ得 k=1．把点 A（-6，0）、B（-2，-2）代入 y=ax+b，得 ∴y=x，y=- x-3 即所求．11．（1）y=200x+74000，10≤x≤30 （2）三种方案，依次为 x=28，29，30 的情况． 21BACMD5、三角形内角外角的关系：(1)三角形三个内角的和等于 180; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.6、三角形的外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.如:∠ACD、∠BCE 都是△ABC 的外角，且∠ACD=∠BCE， 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.7. 三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；（2）作 CM∥AB 由于 B、C、D 共线 ∴∠A=∠1，∠B=∠2. 即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B. 那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B。8、（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180°多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。多边形的外角和：多边形的内角和为 360°。多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。多边形对角线的条数：（1）从 n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。（2）n 边形共有n(n-3)2条对角线。（2）正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。9、．三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性。（3）多边形没有稳定性。二、题型解析 1. 三角形内角和定理的应用 例 1. 如图已知 中， 于 D，E 是 AD 上一点。 求证： 证明：由 AD⊥BC 于 D，可得∠CAD＝∠ABC 又 则 可证 即说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于 180°间接求得。例 2. 锐角三角形 ABC 中，∠C＝2∠B，则∠B 的范围是（ ） A. B. C. D.分析： 因为 为锐角三角形，所以又∠C＝2∠B， 又∵∠A 为锐角，为锐角 ,即 .故选 C。例 3.已知三角形的一个外角 等于 160°，另两个外角的比为 2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 分析：由于三角形的外角和等于 360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。解：∵三角形的一个外角等于 160° ∴另两个外角的和等于 200°设这两个外角的度数为 2x，3x ∴2x+3x=200 解得：x=40,2x=80,3x=120 与 80°相邻的内角为 100° ∴这个三角形为钝角三角形 应选 C 2. 三角形三边关系的应用 例 4. 已知：如图在 中， ，AM 是 BC 边的中线。求证：证明：延长 AM 到 D，使 MD＝AM，连接 BD 在 和 中， 在 中， ，而 说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得 ，然后通过倍长中线的方法，相当于将 绕点旋转 180°构成旋转型的全等三角形，把 AC、AB、2AM 转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有 。请同学们自己试着证明。3. 角平分线定理的应用 例 5. 如图，∠B＝∠C＝90°，M 是 BC 的中点，DM 平分∠ADC。 求证：AM 平分 DAB。 证明：过 M 作 MG⊥AD 于 G，∵DM 平分∠ADC，MC⊥DC，MG⊥AD ∴MC＝MG（在角的平分线上的点到角的两边距离相等） ∵MC＝MB，∴MG＝MB而 MG⊥AD，MB⊥AB∴M 在∠ADC 的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） ∴DM 平分∠ADC 说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件 MG＝MB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。 4. 全等三角形的应用例 6. 如图，已知：点 C 是∠FAE 的平分线 AC 上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F 为垂足。点 B 在 AE的延长线上，点 D 在 AF 上。若 AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。求 AC 的长。 分析：要求 AC 的长，需在直角三角形 ACE 中知 AE、CE 的长，而 AE、CE 均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出 AE、CE 的长，使问题得以解决。 解：∵AC 平分∠FAE，CF⊥AF，CE⊥AE ∴CF＝CE ∴BE＝DF 设 ，则 在 中， 在 中，答：AC 的长为 17。 分析：初看此题，看到 DE＝DF＋FE 后，就想把 DF 和 FE 的长逐个求出后再相加得 DE，但由于DF 与 FE 的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BD＋CE＝9”，就应想一想，DF＋FE 是否与 BD＋CE 相关？是否可以整体求出？若能想到这一点，就不难整体求出 DF＋FE也就是 DE 的长了。 解：∵BF 是∠B 的平分线 ∴∠DBF＝∠CBF 又 DE∥BC ∴∠DFB＝∠CBF ∴∠BDF＝∠DFB ∴DF＝BD 同理，FE＝CE ∴DF＋FE＝BD＋CE＝9 即 DE＝9 故选 A例 7. 已知：如图， 中，AB＝AC，∠ACB＝90°，D 是 AC 上一点，AE 垂直 BD 的延长线于E， 。 求证：BD 平分∠ABC 分析：要证∠ABD＝∠CBD，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。 简证：延长 AE 交 BC 的延长线于 F 易证 （ASA 或 AAS）于是又不难证得 ∴BD 平分∠BAC 说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。练习题： 1. 填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12cm 和 21cm，则这个等腰三角形底边的长为____________。 2. 在锐角 中，高 AD 和 BE 交于 H 点，且 BH＝AC，则∠ABC＝__________。 3. 如图所示，D 是 的∠ACB 的外角平分线与 BA 的延长线的交点。试比较∠BAC 与∠B 的大小关系。4、求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于 45°。 5. 如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，M 是 AC 中点，AE⊥BM。 求证：∠AMB＝∠CMD 【练习题答案】 1. 5cm 2. 45°3. 分析：如图所示，∠BAC 是 的外角，所以 因为∠1＝∠2，所以∠BAC＞∠2 又因为∠2 是 的外角，所以∠2＞∠B，问题得证。答：∠BAC＞∠B∵∠CD 平分∠ACE，∴∠1＝∠2 ∵∠BAC＞∠1，∴∠BAC＞∠2 ∵∠2＞∠B，∴∠BAC＞∠B4，证明：省略5. 证明一：过点 C 作 CF⊥AC 交 AD 的延长线于 F又∠BAC＝∠ACF＝90° AC＝AB 证明二：过点 A 作 AN 平分∠BAC 交 BM 于 N 又 AN 平分∠BAC 又 AB＝AC 又 AM＝CM 说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。 （二）一元一次不等式一、知识点汇总考点 1、一元一次不等式的定义及其解法1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式。2.解一元一次不等式的步骤：（1）去分母（根据不等式性质 2 或 3）（2）去括号（根据整式运算法则）（3）移项（根据不等式性质 1）（4）合并同类项（根据合并同类项法则）（5）系数化为 1（根据不等式性质 2 或 3）提示：1.不等式的解集一般是一个取值范围，但有时候需要求不等式的某些特殊解，如整数解，非负整数解，最大整数解等，解答这些问题的关键是明确解的特征2.解不等式中的移项与解方程中的移项相同，要注意改变所移项的符号，但不等号方向不变；3.系数化为 1 时，特别注意不等号方向是否需要改变；4.解不等式时，有些步骤可能用不到，根据不等式的形式灵活选择解题步骤。考点 2、一元一次不等式的应用步骤：审：审题，分析题中已知什么，求什么； 设：设出适当的未知数； 找：找出题中的不等关系，抓住题中的关键词，如“大于”“小于”“不大于”“至多”“至少”“不超过”等； 解：解出所列的不等式； 答：检验所得结果是否符合问题的实际意义，写出答案。提示：1.审题是解决问题的基础，根据不等式关系列出不等式是解题关键；2.在设未知数时，不可出现“至少”“至多”“不超过”等范围的字眼，因为未知数就是一个分界点，不是范围。二、习题分析例 1．下列不等式中，是一元一次不等式的是————（—————）— A 2 x−1>0； B −1<2； C 3 x−2 y≤−1； D y2+3>5 例 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）A.5+4＞8　　B.2x－1　　C.2x≤5　　 D. －3x≥0例 3.解不等式2−x ≤−−3 x−54，并把它的解集在数轴上表示出来。例 4.某城市平均每天产生垃圾 700 吨，由甲，乙两个垃圾处理厂处理，已知甲厂每小时处理垃圾55 吨，需费用 550 元，乙厂每小时可处理垃圾 45 吨，需费用 495 元。（1）甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需要几小时完成？（2）如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过 7370 元，则甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？例 5、求不等式42−x2−5 （ x +4 ）≥0的正整数解。例题答案：1、解： 一元一次不等式必须是含有一个未知数，未知数的次数是 1。B 是不等式，C 是二元的，D的未知数次数是 2.故选 A。2、解： ，A 选项没有未知数，B 选项不是不等式，C 选项正确，D 选项不等式的左边不是整式，是分式，未知数的次数不是 1。故选 C。3、解：去分母，得 4（2-x）¿-(3x-5) 去括号，得 8-4x¿-3x+5 移项，得-4x+3x¿5-8 合并同类项，得-x¿-3 不等式的解集在数轴上表示为：略4、解：（1）700¿（ 45+55 ）=7 答：两厂同时处理，每天需要 7 小时。 （2）设甲厂每天处理垃圾 x 吨，则乙厂每天处理垃圾（700-x）吨，根据题意，得 11x11x11x11xA B C Dx55×550+700−x45×495≤7370 解得：x≥330 , 330÷55=6 答：甲厂每天处理垃圾至少需要 6 小时。注：设未知数时要将“最多”“不少于”等这些不确定的词语去掉，求出的不等式的解集就是应用题的解，应用题的要根据实际情况取舍。5、解：去分母，得 84-x-10(x+4)¿0去括号，得84−x−10 x−40≥0 移项，得−x−10 x≥40−84 ，合并同类项，得−11 x≥−−44 系数化为 1，得x≤4，不大于 4 的正整数有 1，2，3，4，所以，不等式的正整数解为 1，2，3，4.【解析】求不等式的特殊解时，需先求出不等式的解集，再在解集中找出符合条件的特殊解。三、练习题：1、在数轴上从左至右的三个数为 a，1＋a，－a，则 a 的取值范围是（ ） A、a＜ B、a＜0 C、a＞0 D、a＜－2、不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）3、在平面直角坐标系内，P（2x－6,x－5）在第四象限，则 x 的取值范围为（ ） A、3＜x＜5 B、－3＜x＜5 C、－5＜x＜3 D、－5＜x＜－34、已知不等式：① ，② ，③ ，④ ，从这四个不等式中取两个，构成正整数解是 2 的不等式组是（ ）A、①与② B、②与③ C、③与④ D、①与④5、方程组 的解 x、y 满足 x＞y，则 m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6、不等式组 的解集是 ．7、不等式组 的解集是 .8、若不等式组{x <m+1x>2m−1无解，则 m 的取值范围是 ．9、若不等式组 的解集为－1＜x＜1，那么（a＋1）（b－1）的值等于________.10、若不等式组 无解，则 a 的取值范围是_______________.