2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 C 卷）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算： + ＝　 　．2．（10 分）在右边的算式中，每个汉字代表 0 至 9 这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字．则“数学竞赛”所代表的四位数是　 　．3．（10 分）如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且 AF＝2FB，四边形EBCD是平行四边形，那么FD：EF为　 　．4．（10 分）如图是由若干块长 12 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒 2 厘米，向下爬行的速度为每秒 3 厘米．水平爬行速为每秒 4 厘米．则蚂蚁至少爬行了　 秒．5．（10 分）设 a，b，c，d，e 均是自然数，并且 a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e＝300，则 a+b 的最大值为　 　．6．（10 分）现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多 4 个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多 5 个小时，则注满丙水池的三分之二需要　 个小时．7．（10 分）用八块棱长为 1cm的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有　 　种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）．8．（10 分）如图，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝4BD．连接CF交DE于P点，求 的值．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）有三个农场在一条公路边，分别在如图所示的A，B和C处．A处农场年产小麦 50 吨，B处农场年产小麦 10 吨，C处农场年产小麦 60 吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦．假设运费从A到C方向是每吨每千米 1.5 元，C到A方向是每吨每千米 1 元．问仓库应该建在何处才能使运 费最低？10．（10 分）把 ， ，…， ， 中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以 2014 为分母的所有分数的和是多少？11．（10 分）上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的（a），（b）和（c）．现有 5 块一颗星，2 块两颗星和 1 块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（如图（d）是其中一种摆放方式）．12．（10 分）某自然数减去 39 是一个完全平方数，减去 144 也是一个完全平方数，求此自然数．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）如图，圆周上均匀地标出十个点．将 1～10 这十个自然数分别放到这十个点上．用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把 1～10 分成两组．对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式．对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K．问所有的摆放中，K最大为多少？14．（15 分）将每个最简分数 （其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：（1）将 1 染成红色； （2）相差为 1 的两个数颜色不同，（3）不为 1 的数与其倒数颜色不同．问： 和 分别染成什么颜色？2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 C 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算： + ＝　 1 　 ．【分析】把繁分数的分子分母中的算式分别化简，然后根据分数的基本性质解答即可．【解答】解： +＝ +＝ +＝1；故答案为：1．2．（10 分）在右边的算式中，每个汉字代表 0 至 9 这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字．则“数学竞赛”所代表的四位数是　 1962 　 ． 【分析】（1）如果百位不退位，四位数减四位数，差的千位、百位为 0，所以“数学”＝20，再看后两位，竞赛+竞赛＝24，所以“竞赛”＝24÷2＝12，据此即可写出“数学竞赛”所代表的四位数；如何判断是否符合题意．（2）如果百位退位，则易得“数学”＝19，再看后两位，则竞赛+竞赛＝2024﹣1900＝124，所以“竞赛”＝124÷2＝62，据此即可写出“数学竞赛”所代表的四位数．【解答】解：（1）如果百位不退位，因为四位数减四位数，差的千位、百位为 0，所以“数学”＝20；再看后两位，竞赛+竞赛＝24，所以“竞赛”＝24÷2＝12；所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：2012，因为有重复的数字“2”，所以不符合题意，要舍去．（2）如果百位退位，则“数学”＝19，再看后两位，则竞赛+竞赛＝2024﹣1900＝124，所以“竞赛”＝124÷2＝62，所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：1962．答：“数学竞赛”所代表的四位数 1962．故答案为：1962．3．（10 分）如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且 AF＝2FB，四边形EBCD是平行四边形，那么FD：EF为　 2 ： 1 　 ．【分析】因为AF＝2FB，所以AF：FB＝2：1，因为四边形EBCD是平行四边形，所以BE∥AC，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF＝AF：FB＝2：1，据此解答即可．【解答】解：因为AF＝2FB，所以AF：FB＝2：1，因为四边形EBCD是平行四边形，所以BE∥AC，则∠ADF＝∠BEF，∠EFB＝∠DFA，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF＝AF：FB＝2：1，故答案为：2：1．4．（10 分）如图是由若干块长 12 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒 2 厘米，向下爬行的速度为每秒 3 厘米．水平爬行速为每秒 4 厘米．则蚂蚁至少爬行了　36 　 秒．【分析】由图可知：先让蚂蚁向上爬一个长，然后再水平爬 5 个宽，再向下爬一个长，再水平爬2 个长，向上爬 1 个长，再水平爬 5 个宽，最后再乡下爬 1 个长即可． 【解答】解：所爬路线如图：（5×4×2+2×12）÷4＝64÷4＝16（秒）12×2÷2＝12（秒）12×2÷3＝8（秒）16+12+8＝36（秒）答：蚂蚁至少爬行了 36 秒．故答案为：36．5．（10 分）设 a，b，c，d，e 均是自然数，并且 a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e＝300，则 a+b 的最大值为　 35 　 ．【分析】a，b，c，d，e 均是连续的自然数也符合题意，假设分别是：1、2、3、4、5，则，a+2b+3c+4d+5e＝55，每个数增加 1，则a+2b+3c+4d+5e的和增加 15；然后看（300﹣55）看有几个15；再结合余数即可确定a、b的值．【解答】解：如果 a，b，c，d，e 均是连续的自然数也符合题意，假设分别是：1、2、3、4、5，则，a+2b+3c+4d+5e＝1+2×2+3×3+4×4+5×5＝55如果它们都再加上 1，则总和将会增加：1+2+3+4+5＝15（300﹣55）÷15＝16…5余数是 5，只能加在e上，所以，a＝1+16＝17，b＝2+16＝18，所以，a+b 的最大值为：17+18＝35．答：a+b 的最大值为 35．故答案为：35．6．（10 分）现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多 4 个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多 5 个小时，则注满丙水池的三分之二需要　 4 个小时．【分析】首先根据题意，设注满乙水池所需时间为x小时，则注满甲水池所需时间为x+5 小时，注满丙水池所需时间为x﹣4 小时，再根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别用 1 除以x+5、x，求出一台A型水泵和一台B型水泵每小时各注水几分之几；然后根据：一台A型水泵的工作效率+一台B型水泵的工作效率＝1÷注满丙水池所需时间，列出方程，求出x的值，再用x减去 4，求出注满丙水池所需时间是多少，再用它乘以 ，求出注满丙水池的三分之二需要多少小时即可．【解答】解：设注满乙水池所需时间为x小时，则注满甲水池所需时间为x+5 小时，注满丙水池所需时间为x﹣4 小时， + ＝（ + ）x（x﹣4）（x+5）＝ •x（x﹣4）（x+5） x（x﹣4）+（x﹣4）（x+5）＝x（x+5） 2x2﹣3x﹣20＝x2+5x x2﹣8x﹣20＝0解得x＝10 或x＝﹣2（舍去）（10﹣4）×＝6×＝4（小时）答：注满丙水池的三分之二需要 4 个小时．故答案为：4．7．（10 分）用八块棱长为 1cm的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有　 10 　 种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）．【分析】俯视图相同，均为四个方格的正方形，共有 8 个小正方形，最下面一层必为四个小方格，可以分层讨论，得出总的不同堆法，求得总数．【解答】解：根据分析，若分为两层堆放，为 4+4 堆放，有 1 种堆法；分为 3 层堆放，1+3+4 时，有 4 种堆法，2+2+4 时，有 2 种堆法；分为 4 层堆放，4+2+1+1 堆放，有 2 种堆法；分为 5 层堆放，4+1+1+1+1 堆放，有 1 种堆法，综上，共有 10 种堆法．故答案是：108．（10 分）如图，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝4BD．连接CF交DE于P点，求 的值　．【分析】连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC：S△FDC＝EP：PD，只要求出S△EFC和S△FDC的比即可求出EP：PD，从已知的线段之间的比例关系，可以算出面积之比，可以求得△EFC和△FDC分别与△ABC的面积比，从而最后求得EP：PD的值．【解答】解：根据分析，如图，连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC：S△FDC＝EP：PD又∵AF＝2BF∴S△AFC：S△BFC＝AF：BF＝2：1⇒ ， ；同理：CE＝3AE⇒S△EFC：S△AEF＝EC：AE＝3：1⇒ ＝ ；CD＝4BD⇒S△CDF：S△BDF＝CD：BD＝4：1⇒ ＝故：EP：PD＝S△EFC：S△FDC＝． 故答案是： ．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）有三个农场在一条公路边，分别在如图所示的A，B和C处．A处农场年产小麦 50 吨，B处农场年产小麦 10 吨，C处农场年产小麦 60 吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦．假设运费从A到C方向是每吨每千米 1.5 元，C到A方向是每吨每千米 1 元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？【分析】分两种情况讨论，即：（1）假设在AB之间建立仓库；（2）假设在BC之间建立仓库；分别列出方程解答即可．【解答】解：（1）假设在AB之间建立仓库，设到A的距离为x千米．那么总费用为：50x×1.5+10×（500﹣x）×1+60×（1700﹣x）×1整理得到：5x+107000为了使这个总费用最小，由于 107000 一定了，所以要让 5x尽量小，所以x＝0，即设在A点总费用最低．（2）假设在BC之间建立仓库，设距离B点y千米处． 那么总费用为：50（500+y）×1.5+1.5×10y+60（1200﹣y）×1整理得到：109500+30y，同理，y＝0，最小费用为 109500，此时设在B点． 107000＜109000．综上所以设在A点运费最低，最低费用为 107000 元．答：仓库应该建在A处才能使运费最低．10．（10 分）把 ， ，…， ， 中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以 2014 为分母的所有分数的和是多少？【分析】因为 2014＝2×1007＝2×19×53，分别求出2、19、53、2×19、2×53、19×53、2×19×53 的倍数有多少个，进而求出分母不是 2014 的个数，进而得解．【解答】解：2014＝2×1007＝2×19×53，2 的倍数：1007 个，19 的倍数：106 个，53 的倍数：38 个，2×19 的倍数：53 个，2×53 的倍数：19 个，19×53 的倍数：2 个，2×19×53 的倍数：1 个，分母不是 2014 的共有：1007+106+38﹣53﹣19﹣2+1＝1078（个），不包括 ，那么共：1078﹣1＝1077（个）．每 2 个和为 1，分母是 2014 的最简分数共：2013﹣1077＝936（个）和为：936÷2＝468．11．（10 分）上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的（a），（b）和（c）．现有 5 块一颗星，2 块两颗星和 1 块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（如图（d）是其中一种摆放方式）． 【分析】通过分析可知：分下列几种情况① 5＝1+2+2，此类为 3 个选一个，② 5＝1+1+1+1+1，此类只有 1 种；③ 5＝2+3，此类为 2 个选一个，④ 5＝3+1+1，此类为 3 个选一个；⑤ 5＝2+1+1+1，此类为，4 个选一个；把这几种情况相加，据此解答即可．【解答】解：① 5＝1+2+2，此类为 3 个选一个，有C31＝3 种；② 5＝1+1+1+1+1，此类只有 1 种；③ 5＝2+3，此类为 2 个选一个，有C21＝2 种④ 5＝3+1+1，此类为 3 个选一个，有C31＝3 种；⑤ 5＝2+1+1+1，此类为 4 个选一个，有C41＝4 种；一共：3+1+2+3+4＝13 种答：一共有 13 种不同的摆放方式．12．（10 分）某自然数减去 39 是一个完全平方数，减去 144 也是一个完全平方数，求此自然数．【分析】设这个自然数减去 39 得到a2，减去 144 得到b2，由题意可得a2+39＝b2+144，化简可得：a2﹣b2＝105，（a+b）（a﹣b）＝105，把 105 分解质因数，105＝3×5×7，然后把因数 3、5、7 组合，可得：（a+b）、（a﹣b）有四种对应取值，然后进一步解方程组即可．【解答】解：设这个自然数减去 39 得到a2，减去 144 得到b2，由题意可得：a2+39＝b2+144，即，a2﹣b2＝105，（a+b）（a﹣b）＝105，105＝3×5×7，所以，（a+b）、（a﹣b）有四种对应取值：， ， ， ，相对应求得四组符合题意的解是：， ， ， ，所以这个自然数可以是：112+39＝160，132+39＝208，192+39＝400，532+39＝2848，答：此自然数可以是 160、208、400、2848．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）如图，圆周上均匀地标出十个点．将 1～10 这十个自然数分别放到这十个点上．用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把 1～10 分成两组．对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式．对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K．问所有的摆放中，K最大为多少？【分析】这 10 个数无论怎样摆放，它们的和是不变的，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55，分成两组，分成的两组数的和越接近，所要求的积就越大．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55 55＝27+28所以只要将 10 个数分成和是 27 和 28 的两部分，此时的积是 27×28＝756答：所有的摆放中，K最大是 756．14．（15 分）将每个最简分数 （其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：（1）将 1 染成红色； （2）相差为 1 的两个数颜色不同，（3）不为 1 的数与其倒数颜色不同．问： 和 分别染成什么颜色？【分析】首先分析 1 是红色，那么 2 是蓝色，可得奇数是红色，偶数是蓝色，再根据不为 1 的数与其倒数颜色不同倒过来即可．【解答】解：依题意可知：数字 2 和 1 的颜色不同，那么数字 2 是蓝色．根据染色规律可知奇数是红色，偶数是蓝色．7 涂的是红色，又知 与 7 的颜色不同，所以 是蓝色的．2014 是偶数， 就涂的是红色． 就是红色的．综上所述． 是红色的， 是蓝色的．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:46:29；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800