2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组c卷)
发布时间:2025-03-22 09:03:59浏览次数:382014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组 C 卷)一、填空题(每小题 10 分,共 80 分)1.(10 分)计算: + = .2.(10 分)在右边的算式中,每个汉字代表 0 至 9 这十个数字中的一个,相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字.则“数学竞赛”所代表的四位数是 .3.(10 分)如图,在直角三角形ABC中,点F在AB上且 AF=2FB,四边形EBCD是平行四边形,那么FD:EF为 .4.(10 分)如图是由若干块长 12 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的积木搭成的立体的正视图,上面标出了若干个点.一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面.如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒 2 厘米,向下爬行的速度为每秒 3 厘米.水平爬行速为每秒 4 厘米.则蚂蚁至少爬行了 秒.5.(10 分)设 a,b,c,d,e 均是自然数,并且 a<b<c<d<e,a+2b+3c+4d+5e=300,则 a+b 的最大值为 .6.(10 分)现有甲、乙、丙三个容量相同的水池.一台A型水泵单独向甲水池注水,一台B型水泵单独向乙水池注水,一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水.已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多 4 个小时,注满甲水池比注满乙水池所需时间多 5 个小时,则注满丙水池的三分之二需要 个小时.7.(10 分)用八块棱长为 1cm的小正方块堆成一立体,其俯视图如右图所示,问共有 种不同的堆法(经旋转能重合的算一种堆法).8.(10 分)如图,在三角形ABC中,AF=2BF,CE=3AE,CD=4BD.连接CF交DE于P点,求 的值.二、解答下列各题(每题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程)9.(10 分)有三个农场在一条公路边,分别在如图所示的A,B和C处.A处农场年产小麦 50 吨,B处农场年产小麦 10 吨,C处农场年产小麦 60 吨.要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦.假设运费从A到C方向是每吨每千米 1.5 元,C到A方向是每吨每千米 1 元.问仓库应该建在何处才能使运
费最低?10.(10 分)把 , ,…, , 中的每个分数都化成最简分数,最后得到的以 2014 为分母的所有分数的和是多少?11.(10 分)上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的(a),(b)和(c).现有 5 块一颗星,2 块两颗星和 1 块三颗星的积木,如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条,那么一共有多少种不同的摆放方式?(如图(d)是其中一种摆放方式).12.(10 分)某自然数减去 39 是一个完全平方数,减去 144 也是一个完全平方数,求此自然数.三、解答下列各题(每小题 15 分,共 30 分,要求写出详细过程)13.(15 分)如图,圆周上均匀地标出十个点.将 1~10 这十个自然数分别放到这十个点上.用过圆心的一条直线绕圆心旋转,当线上没有标出的点时,就把 1~10 分成两组.对每种摆放方式,随着直线的转动有五种分组方式.对于每种分组都有一个两组数和的乘积,记五个积中最小的值为K.问所有的摆放中,K最大为多少?14.(15 分)将每个最简分数 (其中m,n 互质的非零自然数)染成红色或蓝色,染色规则如下:(1)将 1 染成红色; (2)相差为 1 的两个数颜色不同,(3)不为 1 的数与其倒数颜色不同.问: 和 分别染成什么颜色?2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组 C 卷)参考答案与试题解析一、填空题(每小题 10 分,共 80 分)1.(10 分)计算: + = 1 .【分析】把繁分数的分子分母中的算式分别化简,然后根据分数的基本性质解答即可.【解答】解: += += +=1;故答案为:1.2.(10 分)在右边的算式中,每个汉字代表 0 至 9 这十个数字中的一个,相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字.则“数学竞赛”所代表的四位数是 1962 .
【分析】(1)如果百位不退位,四位数减四位数,差的千位、百位为 0,所以“数学”=20,再看后两位,竞赛+竞赛=24,所以“竞赛”=24÷2=12,据此即可写出“数学竞赛”所代表的四位数;如何判断是否符合题意.(2)如果百位退位,则易得“数学”=19,再看后两位,则竞赛+竞赛=2024﹣1900=124,所以“竞赛”=124÷2=62,据此即可写出“数学竞赛”所代表的四位数.【解答】解:(1)如果百位不退位,因为四位数减四位数,差的千位、百位为 0,所以“数学”=20;再看后两位,竞赛+竞赛=24,所以“竞赛”=24÷2=12;所以,“数学竞赛”所代表的四位数是:2012,因为有重复的数字“2”,所以不符合题意,要舍去.(2)如果百位退位,则“数学”=19,再看后两位,则竞赛+竞赛=2024﹣1900=124,所以“竞赛”=124÷2=62,所以,“数学竞赛”所代表的四位数是:1962.答:“数学竞赛”所代表的四位数 1962.故答案为:1962.3.(10 分)如图,在直角三角形ABC中,点F在AB上且 AF=2FB,四边形EBCD是平行四边形,那么FD:EF为 2 : 1 .【分析】因为AF=2FB,所以AF:FB=2:1,因为四边形EBCD是平行四边形,所以BE∥AC,所以△ADF∽△BEF,所以FD:EF=AF:FB=2:1,据此解答即可.【解答】解:因为AF=2FB,所以AF:FB=2:1,因为四边形EBCD是平行四边形,所以BE∥AC,则∠ADF=∠BEF,∠EFB=∠DFA,所以△ADF∽△BEF,所以FD:EF=AF:FB=2:1,故答案为:2:1.4.(10 分)如图是由若干块长 12 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的积木搭成的立体的正视图,上面标出了若干个点.一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面.如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒 2 厘米,向下爬行的速度为每秒 3 厘米.水平爬行速为每秒 4 厘米.则蚂蚁至少爬行了 36 秒.【分析】由图可知:先让蚂蚁向上爬一个长,然后再水平爬 5 个宽,再向下爬一个长,再水平爬2 个长,向上爬 1 个长,再水平爬 5 个宽,最后再乡下爬 1 个长即可.
【解答】解:所爬路线如图:(5×4×2+2×12)÷4=64÷4=16(秒)12×2÷2=12(秒)12×2÷3=8(秒)16+12+8=36(秒)答:蚂蚁至少爬行了 36 秒.故答案为:36.5.(10 分)设 a,b,c,d,e 均是自然数,并且 a<b<c<d<e,a+2b+3c+4d+5e=300,则 a+b 的最大值为 35 .【分析】a,b,c,d,e 均是连续的自然数也符合题意,假设分别是:1、2、3、4、5,则,a+2b+3c+4d+5e=55,每个数增加 1,则a+2b+3c+4d+5e的和增加 15;然后看(300﹣55)看有几个15;再结合余数即可确定a、b的值.【解答】解:如果 a,b,c,d,e 均是连续的自然数也符合题意,假设分别是:1、2、3、4、5,则,a+2b+3c+4d+5e=1+2×2+3×3+4×4+5×5=55如果它们都再加上 1,则总和将会增加:1+2+3+4+5=15(300﹣55)÷15=16…5余数是 5,只能加在e上,所以,a=1+16=17,b=2+16=18,所以,a+b 的最大值为:17+18=35.答:a+b 的最大值为 35.故答案为:35.6.(10 分)现有甲、乙、丙三个容量相同的水池.一台A型水泵单独向甲水池注水,一台B型水泵单独向乙水池注水,一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水.已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多 4 个小时,注满甲水池比注满乙水池所需时间多 5 个小时,则注满丙水池的三分之二需要 4 个小时.【分析】首先根据题意,设注满乙水池所需时间为x小时,则注满甲水池所需时间为x+5 小时,注满丙水池所需时间为x﹣4 小时,再根据工作效率=工作量÷工作时间,分别用 1 除以x+5、x,求出一台A型水泵和一台B型水泵每小时各注水几分之几;然后根据:一台A型水泵的工作效率+一台B型水泵的工作效率=1÷注满丙水池所需时间,列出方程,求出x的值,再用x减去 4,求出注满丙水池所需时间是多少,再用它乘以 ,求出注满丙水池的三分之二需要多少小时即可.【解答】解:设注满乙水池所需时间为x小时,则注满甲水池所需时间为x+5 小时,注满丙水池所需时间为x﹣4 小时, + =( + )x(x﹣4)(x+5)= •x(x﹣4)(x+5) x(x﹣4)+(x﹣4)(x+5)=x(x+5) 2x2﹣3x﹣20=x2+5x
x2﹣8x﹣20=0解得x=10 或x=﹣2(舍去)(10﹣4)×=6×=4(小时)答:注满丙水池的三分之二需要 4 个小时.故答案为:4.7.(10 分)用八块棱长为 1cm的小正方块堆成一立体,其俯视图如右图所示,问共有 10 种不同的堆法(经旋转能重合的算一种堆法).【分析】俯视图相同,均为四个方格的正方形,共有 8 个小正方形,最下面一层必为四个小方格,可以分层讨论,得出总的不同堆法,求得总数.【解答】解:根据分析,若分为两层堆放,为 4+4 堆放,有 1 种堆法;分为 3 层堆放,1+3+4 时,有 4 种堆法,2+2+4 时,有 2 种堆法;分为 4 层堆放,4+2+1+1 堆放,有 2 种堆法;分为 5 层堆放,4+1+1+1+1 堆放,有 1 种堆法,综上,共有 10 种堆法.故答案是:108.(10 分)如图,在三角形ABC中,AF=2BF,CE=3AE,CD=4BD.连接CF交DE于P点,求 的值 .【分析】连接EF,DF,则根据风筝模型,有:S△EFC:S△FDC=EP:PD,只要求出S△EFC和S△FDC的比即可求出EP:PD,从已知的线段之间的比例关系,可以算出面积之比,可以求得△EFC和△FDC分别与△ABC的面积比,从而最后求得EP:PD的值.【解答】解:根据分析,如图,连接EF,DF,则根据风筝模型,有:S△EFC:S△FDC=EP:PD又∵AF=2BF∴S△AFC:S△BFC=AF:BF=2:1⇒ , ;同理:CE=3AE⇒S△EFC:S△AEF=EC:AE=3:1⇒ = ;CD=4BD⇒S△CDF:S△BDF=CD:BD=4:1⇒ =故:EP:PD=S△EFC:S△FDC=.
故答案是: .二、解答下列各题(每题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程)9.(10 分)有三个农场在一条公路边,分别在如图所示的A,B和C处.A处农场年产小麦 50 吨,B处农场年产小麦 10 吨,C处农场年产小麦 60 吨.要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦.假设运费从A到C方向是每吨每千米 1.5 元,C到A方向是每吨每千米 1 元.问仓库应该建在何处才能使运费最低?【分析】分两种情况讨论,即:(1)假设在AB之间建立仓库;(2)假设在BC之间建立仓库;分别列出方程解答即可.【解答】解:(1)假设在AB之间建立仓库,设到A的距离为x千米.那么总费用为:50x×1.5+10×(500﹣x)×1+60×(1700﹣x)×1整理得到:5x+107000为了使这个总费用最小,由于 107000 一定了,所以要让 5x尽量小,所以x=0,即设在A点总费用最低.(2)假设在BC之间建立仓库,设距离B点y千米处. 那么总费用为:50(500+y)×1.5+1.5×10y+60(1200﹣y)×1整理得到:109500+30y,同理,y=0,最小费用为 109500,此时设在B点. 107000<109000.综上所以设在A点运费最低,最低费用为 107000 元.答:仓库应该建在A处才能使运费最低.10.(10 分)把 , ,…, , 中的每个分数都化成最简分数,最后得到的以 2014 为分母的所有分数的和是多少?【分析】因为 2014=2×1007=2×19×53,分别求出2、19、53、2×19、2×53、19×53、2×19×53 的倍数有多少个,进而求出分母不是 2014 的个数,进而得解.【解答】解:2014=2×1007=2×19×53,2 的倍数:1007 个,19 的倍数:106 个,53 的倍数:38 个,2×19 的倍数:53 个,2×53 的倍数:19 个,19×53 的倍数:2 个,2×19×53 的倍数:1 个,分母不是 2014 的共有:1007+106+38﹣53﹣19﹣2+1=1078(个),不包括 ,那么共:1078﹣1=1077(个).每 2 个和为 1,分母是 2014 的最简分数共:2013﹣1077=936(个)和为:936÷2=468.11.(10 分)上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的(a),(b)和(c).现有 5 块一颗星,2 块两颗星和 1 块三颗星的积木,如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条,那么一共有多少种不同的摆放方式?(如图(d)是其中一种摆放方式).
【分析】通过分析可知:分下列几种情况① 5=1+2+2,此类为 3 个选一个,② 5=1+1+1+1+1,此类只有 1 种;③ 5=2+3,此类为 2 个选一个,④ 5=3+1+1,此类为 3 个选一个;⑤ 5=2+1+1+1,此类为,4 个选一个;把这几种情况相加,据此解答即可.【解答】解:① 5=1+2+2,此类为 3 个选一个,有C31=3 种;② 5=1+1+1+1+1,此类只有 1 种;③ 5=2+3,此类为 2 个选一个,有C21=2 种④ 5=3+1+1,此类为 3 个选一个,有C31=3 种;⑤ 5=2+1+1+1,此类为 4 个选一个,有C41=4 种;一共:3+1+2+3+4=13 种答:一共有 13 种不同的摆放方式.12.(10 分)某自然数减去 39 是一个完全平方数,减去 144 也是一个完全平方数,求此自然数.【分析】设这个自然数减去 39 得到a2,减去 144 得到b2,由题意可得a2+39=b2+144,化简可得:a2﹣b2=105,(a+b)(a﹣b)=105,把 105 分解质因数,105=3×5×7,然后把因数 3、5、7 组合,可得:(a+b)、(a﹣b)有四种对应取值,然后进一步解方程组即可.【解答】解:设这个自然数减去 39 得到a2,减去 144 得到b2,由题意可得:a2+39=b2+144,即,a2﹣b2=105,(a+b)(a﹣b)=105,105=3×5×7,所以,(a+b)、(a﹣b)有四种对应取值:, , , ,相对应求得四组符合题意的解是:, , , ,所以这个自然数可以是:112+39=160,132+39=208,192+39=400,532+39=2848,答:此自然数可以是 160、208、400、2848.三、解答下列各题(每小题 15 分,共 30 分,要求写出详细过程)13.(15 分)如图,圆周上均匀地标出十个点.将 1~10 这十个自然数分别放到这十个点上.用过圆心的一条直线绕圆心旋转,当线上没有标出的点时,就把 1~10 分成两组.对每种摆放方式,随着直线的转动有五种分组方式.对于每种分组都有一个两组数和的乘积,记五个积中最小的值为K.问所有的摆放中,K最大为多少?【分析】这 10 个数无论怎样摆放,它们的和是不变的,1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55,分成两组,分成的两组数的和越接近,所要求的积就越大.【解答】解:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
55=27+28所以只要将 10 个数分成和是 27 和 28 的两部分,此时的积是 27×28=756答:所有的摆放中,K最大是 756.14.(15 分)将每个最简分数 (其中m,n 互质的非零自然数)染成红色或蓝色,染色规则如下:(1)将 1 染成红色; (2)相差为 1 的两个数颜色不同,(3)不为 1 的数与其倒数颜色不同.问: 和 分别染成什么颜色?【分析】首先分析 1 是红色,那么 2 是蓝色,可得奇数是红色,偶数是蓝色,再根据不为 1 的数与其倒数颜色不同倒过来即可.【解答】解:依题意可知:数字 2 和 1 的颜色不同,那么数字 2 是蓝色.根据染色规律可知奇数是红色,偶数是蓝色.7 涂的是红色,又知 与 7 的颜色不同,所以 是蓝色的.2014 是偶数, 就涂的是红色. 就是红色的.综上所述. 是红色的, 是蓝色的.声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2019/5/7 10:46:29;用户:小学奥数;邮箱:pfpxxx02@xyh.com;学号:20913800