流体力学课程流体运动描述的教学方法流体力学是一门重要的专业基础课。在对该课程的学习过程中，很多学生反映该课程内容抽象、不好理解，其原因是多方面的。教材中有些概念的表述比较抽象也是原因之一。如何深入浅出、形象生动地将基本概念表达清楚，是流体力学教学的一个重要任务, 也一直是学者们关注的问题 。本文针对流体运动描述的 Lagrange 方法和 Euler 方法及其相互转换的教学进行探讨。流体运动的描述方式有 Lagrange 方法和 Euler 方法 。Lagrange 方法对流体质点进行描述，数学式表达为其中 i = 1，2，3 分别表示 x，y，z 方向，x0k= x01，x02，x03 为 t0时刻流体质点的标号，式 (1) 表示 t0 时刻标注的不同流体质点在随后的不同时刻在流场中的运动规律。而 Euler 方法描述的是流场空间位置的物理量的变化规律，以流场速度为例，数学表达式为 其中 i = 1，2，3 分别表示 x，y，z 方向，这里的 xi 表示空间位置坐标，式(2) 表示不同空间位置点流场速度在不同时刻的变化规律。以上概念大多数学生能够较好地理解，但涉及到两种方法变量之间进行转换的时候，多数本科生甚至一些硕士研究生会感到非常抽象，难于理解。一般教材很少提及两种方法变量之间的转换，表述也过于简单。为正确理解两种方法变量之间的转换，本文认为应从以下几点进行讲解。首先需要理解流体力学中连续介质的假设。连续介质假设是描述流体非常好的近似。连续介质模型认为，物质连续地、无间隙地分布于物质所占有的整个空间, 这个假设为建立流体中的点的概念奠定了基础。按连续介质假设，每一个流体质点都占据一个空间几何点，流场的每一个空间几何点上也必有一个流体质点，这样质点和空间点形成一一对应关系。因此，流体质点可以理解为数学意义上瞬间的点的概念，而不应和质点的变形与旋转等混淆在一起，使之变得更加晦涩难懂。Euler 方法是把流体运动视作流场随时间的变化，即流速空间分布的时间变化。而 Lagrange 方法是描述流场中每一个运动的流体质点的物理量随时间 的变化。根据连续性假设，这两种变量存在一一对应关系，是可以转换的。先看 Lagrange 变量转换为 Euler 变量。由式 (1)表示的各流体质点在运动中到达的位置坐标为 xi，求出各坐标的时间导数，显然就得到各流体质点的流速，即在某一时刻 t 来看，也就是在静态地观察流场时，式 (3) 表示的是流体质点的流速，同时各质点在流场中一一对应地占据了空间位置，这时的流体质点是 t0 时刻标注的不同流体质点经过一段时间运动到目前位置的，式 (1) 表示的正是流体质点在 t 时刻到达目前的空间位置坐标 xi。因此，把式 (1) 左边的 xi当作流体质点目前所占据的空间位置，就实现了由流体质点到空间点的转换，也即由 Lagrange 变量转换成为 Euler 变量。转换公式为式中的 x0k(xi, t) 即为 t0 时刻标注的流体质点经过 t 时刻到达的空间位置，由式 (1) 的反函数求出。从数学上来说，式 (1) 的雅可比行列式是一个有限大 的正数，也一定存在反函数。同样，也可把 Euler 变量转换为 Lagrange 变量。式 (2) 描述的是流场空间位置的物理量的变化规律，其中坐标 xi 表示的是空间位置点。同时该空间位置点一一对应着流体质点，该流体质点是 t0 时刻标注的流体质点经过 t 时刻运动到了目前位置。而式 (1)的 Lagrange 描述记录的正是流体质点经过 t 时刻到达的位置，把式 (2) 中的 xi 当作 t 时刻流体质点到达该空间点的位置坐标，就实现了由空间点到流体质点的观点的转换，也即由 Euler 变量转换成为了Lagrange 变量。转换公式为式 (5) 表示在 t0 时刻标注的流体质点运动到 t 时刻的速度，由此可求出 t0时刻的空间位置，即 Lagrange 描述。求解方法为积分公式 dxi/dt = vi=vi(xi(t))，由此得到包含三个方程的一阶常微分方程组的解，按 t = t0 时刻的条件 xi= x0i 来确定积分常数，就找到了 t0 时刻标注的流体质点的运动规律。通过以上较为形象的讲解，再举几个例子进行演练，就可使学生对两者之 间的转换认识清楚，使教学过程收到良好的效果。本文所述教学方法，可以形象地阐述流体力学连续介质运动的时空观，这是初学流体力学时学生需要准确掌握的重要基本概念。通过以上深入浅出的讲解，使抽象、难懂的基本概念变得更加具体化，更便于学生理解和掌握。这样，难懂难学的流体力学就变得生动易懂，从而积极调动学生学习流体力学的热情。