2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 A 卷）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．（10 分）算式 × 的结果中含有（　　）个数字 0．A．2017 B．2016 C．2015 D．20142．（10 分）已知A，B两地相距 300 米．甲、乙两人同时分别从A，B两地出发，相向而行，在距A地140 米处相遇； 如果乙每秒多行 1 米，则两人相遇处距B地 180 米．那么乙原来的速度是每秒（　）米．A．2 B．2 C．3 D．33．（10 分）在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数，则这个七位数最大是（　　）A．9981733 B．9884737 C．9978137 D．98717734．（10 分）将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行，使得 8 的两边各数之和相等，那么共有（　　）种不同的排法．A．1152 B．864 C．576 D．2885．（10 分）在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB＝6，CD＝14，∠AEC是直角，CE＝CB，则AE2等于（　　）A．84 B．80 C．75 D．646．（10 分）从自然数 1，2，3，…，2015，2016 中，任意取n个不同的数，要求总能在这n个不同的数中找到 5 个数，它们的数字和相等．那么n的最小值等于（　　）A．109 B．110 C．111 D．112二、填空题填空题（每小题 10 分，共 40 分）7．（10 分）两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有　 　对．8．（10 分）如图，O，P，M是线段AB上的三个点，AO＝AB，BP＝AB，M是AB的中点，且OM＝2，那么 PM 长为　 　．9．（10 分）设P是一个平方数．如果q﹣2 和q+2 都是质数，就称q为P型平方数．例如：9 就是一个P型平方数．那么小于 1000 的最大P型平方数是　 　．10．（10 分）有一个等腰梯形的纸片，上底长度为 2015，下底长度为 2016，用该纸片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，则最多可以剪出　 　个同样的等腰梯形．2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组 A 卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 10 分，共 60 分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．（10 分）算式 × 的结果中含有（　　）个数字 0．A．2017 B．2016 C．2015 D．2014【分析】把 变形为 ﹣1，然后根据乘法的分配律拆分，再进一步解答即可．【解答】解： ×＝（ ﹣1）× ＝ × ﹣＝ ﹣个位 0 减 9 不够减，需要连续退位，个位数得 1，所以数字 0 的个数是：2016﹣1＝2015（个）故选：C．2．（10 分）已知A，B两地相距 300 米．甲、乙两人同时分别从A，B两地出发，相向而行，在距A地140 米处相遇； 如果乙每秒多行 1 米，则两人相遇处距B地 180 米．那么乙原来的速度是每秒（　）米．A．2 B．2 C．3 D．3【分析】本题是典型的利用正反比例解行程问题．首先根据不变量判断正反比．两次相遇过程中两人的时间相同路程比等于速度比．两次过程中甲的速度没变．通分比较乙的．即可解决问题．【解答】解：第一次相遇过程中甲乙两人的路程之比为 140：（300﹣140）＝7：8，时间相同路程比就是速度比．第二次相遇过程中的路程比是（300﹣180）：180＝2：3，速度比也是 2：3．在两次相遇问题中甲的速度是保持不变的，通分得，第一次速度比：7：8＝14：16．第二次速度比 2：3＝14：21．速度从 16 份增加到 21 份速度增加每秒 1 米，即 1÷（21﹣16）＝ ．乙原来的速度是 16× ＝3.2 米/秒．故选：D．3．（10 分）在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数，则这个七位数最大是（　　）A．9981733 B．9884737 C．9978137 D．9871773【分析】首先根据最大的 3 位数是 11 或是 13 的倍数开始．然后每次向后边推一位数字找出最大的倍数即可．【解答】解：在 7 位数中，首先分析前三位数字，最大的 11 的倍数是 990，最大 13 的倍数是988，因为 0 不能做首位．所以 7 位数中不能含有数字 0，11 倍数的第二大数字是 979 小于 988．所以前三位数字是 988．第 4 位根据如果是 11 的倍数数字就是 880．如果是 13 的倍数就是 884．最大是 884．第 5 位根据如果是 11 的倍数数字就是 847，如果是 13 的倍数就是 845．最大是 847．第 6 位根据如果是 11 的倍数数字就是 473，如果是 13 的倍数在 470﹣479 没有 13 的倍数．所以是 473第 7 位根据如果是 11 的倍数是 737，如果是 13 的倍数没有符合的数字．所以这个 7 位数是 9884737．故选：B．4．（10 分）将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行，使得 8 的两边各数之和相等，那么共有（　　）种不同的排法．A．1152 B．864 C．576 D．288【分析】首先求出 1，2，3，4，5，6，7 的和是 28，判断出 8 的两边各数之和都是 14；然后分 4种情况：（1）8 的一边是 1，6，7，另一边是 2，3，4，5 时；（2）8 的一边是 2，5，7，另一边是1，3，4，6 时；（3）8 的一边是 3，4，7，另一边是 1，2，5，6 时；（4）8 的一边是1，2，4，7，另一边是 3，5，6 时；求出每种情况下各有多少种不同的排法，即可求出共有多少种不同的排法．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7＝288 的两边各数之和是：28÷2＝14（1）8 的一边是 1，6，7，另一边是 2，3，4，5 时，不同的排法一共有： （3×2×1）×（4×3×2×1）×2＝6×24×2＝288（种）（2）8 的一边是 2，5，7，另一边是 1，3，4，6 时，不同的排法一共有 288 种．（3）8 的一边是 3，4，7，另一边是 1，2，5，6 时，不同的排法一共有 288 种．（4）8 的一边是 1，2，4，7，另一边是 3，5，6 时，不同的排法一共有 288 种．因为 288×4＝1152（种），所以共有 1152 种不同的排法．答：共有 1152 种不同的排法．故选：A．5．（10 分）在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB＝6，CD＝14，∠AEC是直角，CE＝CB，则AE2等于（　　）A．84 B．80 C．75 D．64【分析】如图，连接AC，过点A作AF⊥CD于点F，过点B作BG⊥CD于点G，构建直角△AFC和直角△BGC，结合勾股定理求得AE2的值．【解答】解：如图，连接AC，过点A作AF⊥CD于点F，过点B作BG⊥CD于点G，则AF＝BG，AB＝FG＝6，DF＝CG＝4．在直角△AFC中，AC2＝AF2+FC2＝AF2+102＝AF2+100，在直角△BGC中，BC2＝BG2+GC2＝AF2+42＝AF2+16，又∵CE＝CB，∠AEC＝90°，∴AE2＝AC2﹣EC2＝AF2+100﹣（AF2+16）＝84，即AE2＝84．故选：A．6．（10 分）从自然数 1，2，3，…，2015，2016 中，任意取n个不同的数，要求总能在这n个不同的数中找到 5 个数，它们的数字和相等．那么n的最小值等于（　　）A．109 B．110 C．111 D．112【分析】首先确定题中要求的是每一个数字中的数字和 120 的数字和就是 3，那么找到最大的就是 1999 的是 28，最小的是 1 的情况共有几个数字满足情况．都至多选出 4 个．再选一个就是满足条件的．【解答】解：依题意可知：1﹣2019 中最大的数字和是 1999 数字和为 28．数字和最小的为 1 共有 1，10，100，1000 共四个．数字和为 27 的有 999，1899，1998，1989 共四个．数字和为 2﹣26 的都超过 5 个数．那么只要 2﹣26 的数字和中挑出 4 个数字，在把数字和为 1，27，28 的都算上，再来一个就是 5个数字了满足情况了．27×4+1+1＝110． 故选：B．二、填空题填空题（每小题 10 分，共 40 分）7．（10 分）两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有　 12 　 对．【分析】假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2016，x+y与x﹣y奇偶性相同，乘积 2016 是偶数，所以必是偶数，据此分解质因数 2016＝25×32×7，然后解答即可．【解答】解：假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，有题意可得：x2﹣y2＝2016，因式分解：（x+y）（x﹣y）＝2016，x+y与x﹣y奇偶性相同，乘积 2016 是偶数，所以必是偶数，2016＝25×32×7，2016 因数的个数：（1+5）×（2+1）×（1+1）＝36（个），共有因数 36÷2＝18 对因数，其中奇因数有：（2+1）×2＝6 对，所以偶数有：18﹣6＝12 对，即，满足上述条件的所有正方形共有 12 对．故答案为：12．8．（10 分）如图，O，P，M是线段AB上的三个点，AO＝AB，BP＝AB，M是AB的中点，且OM＝2，那么 PM 长为　 　．【分析】如果想求出PM那么必须找到和OM的关系，在这些线段中都和AB进行的比较，可以转换为OM，PM和AB的关系即可求解．【解答】解：依题意可知：PM＝AM﹣AP＝AB﹣（AB﹣BP）＝AB﹣AB＝AB．OM＝MB﹣OB＝AB﹣（AB﹣AO）＝AB﹣AB＝AB＝2∴AB＝PM＝故答案为：9．（10 分）设P是一个平方数．如果q﹣2 和q+2 都是质数，就称q为P型平方数．例如：9 就是一个P型平方数．那么小于 1000 的最大P型平方数是　 225 　 ．【分析】小于 1000 的最大P型平方数，33 的平方数是 1089，这个数需要小于 33 的平方的平方数．q﹣2 和q+2 的差是 4．只要找到数字相差 4 的不超过 33 的质数组合即可．【解答】解：小于 33 的质数有 31，29，23，19，17，13，11，7，5，3，2 等数字差是 4 的两个质数有 19 和 23 最大．21﹣2＝19，21+2＝23.21×21＝441．故答案为：441．10．（10 分）有一个等腰梯形的纸片，上底长度为 2015，下底长度为 2016，用该纸片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，则最多可以剪出　 4029 　 个同样的等腰梯形．【分析】由于等腰梯形的纸片，上底长度为 2015，下底长度为 2016，它们上下底的长度相差1，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐 角，则剪出的梯形的下底长度约大于 2016﹣2015＝1，依此即可求解．【解答】解：（2015﹣1）×2+1＝2014×2+1＝4028+1＝4029（个）答：最多可以剪出 4029 个同样的等腰梯形．故答案为：4029．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:02:12；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800