2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）用□和○表示两个自然数，若□×○＝42，则（□×4）×（○÷3）　 　．2．（10 分）计算：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝　 　．3．（10 分）将学生分成 35 组，每组 3 人．其中只有 1 个男生的有 10 组，不少于 2 个男生的有 19 组，有 3 个男生的组数是有 3 个女生的组数的 2 倍．则男生有　 　人．4．（10 分）从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有　 　种．5．（10 分）如图，三个圆交出七个部分，将整数 0～6 分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是　 　．6．（10 分）若干自然数的乘积为 324，则这些自然数的和最小为　 　．7．（10 分）在嫦娥三号着月过程中，从距离月面 2.4 千米到距离月面 100 米这一段称为接近段．图 1和图 2 分别是它到距月面 2.4 千米和月面 100 米处时，录像画面截图．则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是　 　秒（录像时间的表示方法：30：28/2：10：48 表示整个录像时间长为 2 小时 10分钟 48 秒，当前恰好播放到第 30 分钟 28 秒处）．8．（10 分）将 1～6 这六个自然数分成甲、乙两组，则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是　 ．二、简答题（每小题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）．这样继续操作下去，完成第 5 次操作后得到若干个小三角形纸板．甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在 1 至 10 个小三角形纸板上涂色，谁最后涂完谁赢．在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢．10．（10 分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为　 　平方厘米． 11．（10 分）从一块正方形土地上，划出一块宽为 10 米的长方形土地（如图），剩下的长方形土地面积是 1575 平方米．那么，划出的长方形土地的面积是多少？12．（10 分）三位数中，有些数本身是该数的数字和的 19 倍，如 190＝19×（1+9+0），请写出所有这样的三位数．2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）用□和○表示两个自然数，若□×○＝42，则（□×4）×（○÷3）　 56 　 ．【分析】第一个因数扩大 4 倍，所以积也扩大 4 倍，是 42×4，然后第二个因数又缩小了 3 倍，所以积也缩小 3 倍，是 42×4÷3，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，42×4÷3＝168÷3＝56；故答案为：56．2．（10 分）计算：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝　 132 　 ．【分析】先把每一项分组，再根据乘法的分配律解答．【解答】解：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝（10×9×8﹣9×8×7）﹣（8×7×6﹣7×6×5）+（6×5×4﹣5×4×3）﹣（4×3×2﹣3×2×1）＝9×8×（10﹣7）﹣7×6×（8﹣5）+5×4×（6﹣3）﹣3×2×（4﹣1）＝9×8×3﹣7×6×3+5×4×3﹣3×2×3＝（9×8﹣7×6+5×4﹣3×2）×3＝（72﹣42+20﹣6）×3＝44×3＝132；故答案为：132．3．（10 分）将学生分成 35 组，每组 3 人．其中只有 1 个男生的有 10 组，不少于 2 个男生的有 19 组，有 3 个男生的组数是有 3 个女生的组数的 2 倍．则男生有　 60 　 人．【分析】总共有四种情况，① 3 名女生，② 2 名女生 1 名男生，③ 1 名女生 2 名男生，④ 3 名男生．根据只有 1 个男生的有 10 组，可得②的情况有 10 组，不少于 2 个男生的 19 组，③和④的情况，共有 19 组，可得①的情况有 35﹣19﹣10＝6（组），又因为有 3 个男生的组数是有 3 个女生的组数的 2 倍． 所以④的情况有 6×2＝12（组）． ③的情况有 19﹣12＝7（组），再把每组中男生的人数相加即可求解． 【解答】解：总共有四种情况，① 3 名女生，② 2 名女生 1 名男生，③ 1 名女生 2 名男生，④ 3名男生．根据只有 1 个男生的有 10 组，可得②的情况有 10 组，有男生 10×1＝10（人）不少于 2 个男生的 19 组，③和④的情况，共有 19 组，可得①的情况有 35﹣19﹣10＝6（组），这 6 组没有男生；又因为有 3 个男生的组数是有 3 个女生的组数的 2 倍；所以④的情况有 6×2＝12（组），有男生 12×3＝36（人）③的情况有 19﹣12＝7（组），7×2＝14（人）男生共有 10+36+14＝60（人）答：男生有 60 人．故答案为：60．4．（10 分）从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有　 36 　 种．【分析】没有连续自然数的取法分四种情况列举：（1）三个奇数，（2）三个偶数，（3）两个奇数一个偶数，（4）两个偶数一个奇数；从 1～8 这八个自然数中取三个数共有 ＝56 种，然后用 56 减去没有连续自然数的取法解答即可．【解答】解：没有连续自然数的取法：（1）三个奇数：135、137、157、357，共 4 个；（2）三个偶数：246、248、268、468，共 4 个；（3）两个奇数一个偶数：136、138、158、147、358、257，共 6 个；（4）两个偶数一个奇数：247、258、146、148、168、368，共 6 个；综合上述没有连续自然数的取法共：4+4+6+6＝20（种）从 1～8 这八个自然数中取三个数的取法： ＝ ＝56（种）所以有连续自然数的取法有 56﹣20＝36（种）；答：从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有 36 种．故答案为：36．5．（10 分）如图，三个圆交出七个部分，将整数 0～6 分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是　 15 　 ．【分析】因为使得每个圆内的四个数字的和都相等，且和最大值时，6 最大，就把 6 写在最中间，还剩的 3 个较大数字 5、4、3，填在两圆公共的部分，最后剩下的 0、1、2；0 与 6、4、5 结合；1 与6、5、3 结合；2 与 6、3、4 结合，那么每个圆内的四个数字的和都是 15，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，所以，6+5+4+0＝6+4+3+2＝6+5+3+1＝15；所以，和的最大值是 15．故答案为：15．6．（10 分）若干自然数的乘积为 324，则这些自然数的和最小为　 16 　 ．【分析】因为将一个数分解出若干个 2 与 3 的乘积，而不含 1，此时这些自然数的和最小，所以324＝2×2×3×3×3×3，所以这些自然数的和最小为：2+2+3+3+3+3＝16，据此解答． 【解答】解：因为 324＝2×2×3×3×3×3，所以这些自然数的和最小为：2+2+3+3+3+3＝16，故答案为：16．7．（10 分）在嫦娥三号着月过程中，从距离月面 2.4 千米到距离月面 100 米这一段称为接近段．图 1和图 2 分别是它到距月面 2.4 千米和月面 100 米处时，录像画面截图．则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是　 114 　 秒（录像时间的表示方法：30：28/2：10：48 表示整个录像时间长为 2 小时 10分钟 48 秒，当前恰好播放到第 30 分钟 28 秒处）．【分析】根据题目给出的数据，接近段是从录像的第 45 分 39 秒到 47 分 33 秒，用 47 分 33 秒减去 45 分 39 秒，即可求出接近段这部分时间是多少．【解答】解：47 分 33 秒﹣45 分 39 秒＝1 分 54 秒＝114 秒答：嫦娥三号在接近段内行驶的时间是 114 秒．故答案为：114．8．（10 分）将 1～6 这六个自然数分成甲、乙两组，则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是　 110 ．【分析】要使甲组数的和与乙组数的和的乘积最大，则这两个和应尽可能大，且两个和的差要尽可能小；由此先分组解答即可．【解答】解：6 个数的和为：1+2+3+4+5+6＝21，21 分解成两个最接近的整数的和是：21＝11+10，即，把 1～6 这六个自然数分成（1+2+3+4）、（5+6）两组，所以，乘积最大为：（1+2+3+4）×（5+6）＝11×10＝110；答：甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是 110．股单位：110．二、简答题（每小题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）．这样继续操作下去，完成第 5 次操作后得到若干个小三角形纸板．甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在 1 至 10 个小三角形纸板上涂色，谁最后涂完谁赢．在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢．【分析】根据已知第一次操作后得到 4 个小正三角形，第二次操作后得到 4×4＝16 个小正三角形；第三次操作后得到 4×4×4＝64 个小正三角形；…继而第 5 次操作后得到 4×4×4×4×4＝1024个小三角形．首先理解题意，谁先涂谁并且获胜，甲要先涂，利用甲所涂小三角形的个数均为 10 减去乙所涂三角形个数解答此题即：甲先涂 1 个，以后当乙涂n个时，甲涂 11﹣n个，据此即可解答问题． 【解答】解：4×4×4×4×4＝1024（个）1024÷（10+1）＝93…1甲先涂，由于余 1，所以甲先涂 1 个张，乙再涂n（1≤n≤10）张，接着甲涂走（11﹣n）个；以后每次在乙涂后，甲所涂的个数均为 11 减去乙所涂数之差；最后都得给甲剩下 1～10 个，这样，甲就能最后涂剩下的所有小三角形．10．（10 分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为　 56 　 平方厘米．【分析】按题意，可以将图中剪影分割成若干部分，然后标出每部分的面积，利用剪切和拼接的性质求得每部分的面积，最后求和．【解答】解：根据分析，如图，将剪影分割，通过分割和格点面积公式可得小马剪影的总面积＝0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5＝56（平方厘米）故答案是：56．11．（10 分）从一块正方形土地上，划出一块宽为 10 米的长方形土地（如图），剩下的长方形土地面积是 1575 平方米．那么，划出的长方形土地的面积是多少？【分析】根据题干，剩下的长方形的长与宽的差是 10 米，因为 1575＝3×3×5×5×7＝45×35，所以原正方形的边长为 45 米，所以划出的长方形的长与宽分别是 45 米、10 米，据此计算即可解答问题．【解答】解：根据题干分析可得：1575＝3×3×5×5×7＝45×35， 45﹣35＝10，所以原正方形的边长为 45 米，则划出的面积是：45×10＝450（平方米），答：划出的长方形土地的面积是 450 平方米．12．（10 分）三位数中，有些数本身是该数的数字和的 19 倍，如 190＝19×（1+9+0），请写出所有这样的三位数．【分析】首先，这个数是 19 的倍数，这个数是三位数，三位数各位数字的和不会超过 27，那么这个数不会超过 19×27＝513，500 多，数字和不会超过 4+9+9＝22，即这个数不超过 22×19＝418，找出 418 以内所有 19 的倍数，看是否符合题意即可解答．【解答】解：这个数是 19 的倍数，三位数各位数字的和不会超过 27，那么这个数不会超过19×27＝513，500 多，数字和不会超过 4+9+9＝22，即这个数不超过 22×19＝418，19×6＝114 （√）1+1+4＝619×7＝133 （√）1+3+3＝719×8＝152 （√）1+5+2＝819×9＝171 （√）1+7+1＝919×10＝190 （√）1+9+0＝1019×11＝209 （√）2+0+9＝1119×12＝228 （√）2+2+8＝1219×13＝247 （√）2+4+7＝1319×14＝266 （√）…19×15＝285 （√）…19×16＝304 3+0+4＝7≠1619×17＝323 …19×18＝342 …19×19＝361 …19×20＝380 …19×21＝399 （√）3+9+9＝2119×22＝418 4+1+8＝13≠22所以所有的结果是：114、133、152、171、190、209、228、247、266、285、399 共 11 个数，答：这样的三位数有 114、133、152、171、190、209、228、247、266、285、399．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:49:57；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800