第十三讲 完全平方数[同步巩固演练]1、已知四个数，35□2，3□57，3□36，□329，其中哪几个数可以写成完全平方数。2、能不能找到自然数 n，使 n 是完全平方数，且 n+1999 也是完全平方数。3、能不能找到一个自然数 n，使 n2+2n+4 能被 5 整除？4、若 1×2×3×…×n+3 是一个自然数的平方，试确定 n 的值。5、（全国奥赛题，2000）一个两位数等于其个位数字的平方与十位数字之和，这个两位数是多少？[能力拓展平台]1、（全国奥赛题，1989）把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是多少？2、一个大于 0 的整数 A 加上一个大于 1 的整数 B 后是一个完全平方数，A 加上 B 的平方后仍是一个完全平方数，当满足条件的 B 最小时，A 是多少？3、如果 x3=1999，y2=1999，其中 x、y＞0，介于 x 与 y 之间共有多少个整数。4、（我爱数学夏令营数学竞赛试题，1999）五个连续偶数之和为完全平方数，中间三个偶数之和为完全立方数。那么这样一组数中的最大数的最小值是多少？5、（我爱数学夏令营数学竞赛试题，2002）一个四位数具有这样的性质；用它的后两位数（如果它的十位数是零，就只用个位数字）去除这个四位数得到一个完全平方数（即一个自然数的平方），且这个完全平方数正好是四位数的前两位数加 1 后的平方，试写出所有具有上述性质的四位数。[全讲综合训练]1、（全国奥赛题，1997）下式中的“香港”“中国”均代表一个两位自然数，那么，香港= ，中国= ，（香港）2+1997=（中国）2+19492、第九届华杯赛试题）三个连续正整数，中的一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有小于 2008 的“美妙数”的最大公约数是多少？3、一个自然数减去 45 及加上 44 都仍是完全平方数，求此数。4、试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。5、求满足下列条件的所有自然数。（1）它是四位数。（2）被 22 除余数为 5。（3）它是完全平方数。6、矩形四边的长度都是小于 10 的整数（单位：厘米）这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数字是一个完全平方数，求这个矩形的面积。