E 总分第十八届华罗庚金杯少年邀请赛决赛试题 A（小学高年级组）（时间 2013 年 4 月 20 日 10：00～11：30）一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1．计算: 19×0.125+281×18-12.5=________. 解析：原式=（19+281-100）×0.125=200×0.125=252．农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2012 年 12 月 21 日是冬至, 那么 2013 年的元旦是________九的第________天. 解析：31-21+1+1=12,12÷9=1…3，2013 年的元旦是二九的第 3 天. 3．某些整数分别被35，57，79，911除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是23，25，27，29, 则满足条件且大于 1 的最小整数是________. 解析：设整数为 A, 分别被35，57，79，911除后, 所得的商分别为53A ，75A ，97A ，119A;53A=1+23+53( A−1)，75A=1+25+75( A −1)，97A=1+27+97( A−1)，119A =1+29+119( A −1 )显然，当 A-1是[3，5，7，9]的时候满足题意。所以 A-1=315，A=316。4．如右图, 在边长为 12 厘米的正方形ABCD中, 以AB为底边作腰长 为 10 厘米的等腰三角形PAB. 则三角形PAC的面积等于________平方厘米. 解析:过 P 点做 PE⊥AB,由于三角形PAB 为等腰三角形，所以 AE=EB=6cm。根据勾股定理：PE2=102-62=64=82，所以 PE=8cm。S△PAB=12×8÷2=48cm2，S△PCB=12×6÷2=36cm2，S△PAC=48+36-12×12÷2=12 cm2。5．有一筐苹果, 甲班分, 每人 3 个还剩 11 个; 乙班分, 每人 4 个还剩 10 个; 丙班分, 每人 5 个还剩 12 个. 那么这筐苹果至少有________个. 解析：11≡2（mod3）=2；10≡2（mod4）=2；12≡5（mod5）=2，所以苹果数除以 3,4,5 都余 2，[3，4，5]=60, 这筐苹果至少有 60+2=62 个.6．两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形, 其中, 小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的 棱长为 3, 则这个立体图形的表面积为________. 解析：如图所示，四个三角形面积都是 1×2÷2=1，所以小积木一个面的面积是 32-1×4=5。这个立体图形的表面积为大积木的表面积加上小积木四个面的面积。所以面积为 6×32+4×5=74。7．设n是小于 50 的自然数, 那么使得 4n+5 和 7n+6 有大于 1 的公约数的所有n的可能值之和为 . 解析：设 4n+5 和 7n+6 大于 1 的公约数为 A,则 A∣(4n+5),A∣(7n+6)。(4n+5)×7，(7n+6)×4 相减消去 n，则差能被 11 整除，(4n+5)×7-(7n+6)×4=11,11 是质数，所以 A 只能是 11。（4n+5）， ★☆（7n+6）都是 11 的倍数，为了分别找出所有的 n，2×（4n+5）-（7n+6）=n+4，11∣（n+4），所以n=7,18,29,40。所以答案为 7+18+29+40=94。8．由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体, 则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是________. 解析：将黑点数转化为 1,2,3,4,5,6，根据图可知，2 与 4,6,3,1 相邻，则 2 与 5 相对，4 与 6,1 相邻，则 4 与 3 相对，1 与 6 相对。最左边的正方体左右两个面上是 1 和 6，可以重叠 6；最右边的正方体重叠 6；最上面的正方体重叠 5；正中间左右两个面一起重叠 7，上面重叠 6。所以正方体重叠面上的黑点最多是 7+6+5+6+6=30，立体的表面上所有黑点的总数至少是 4×7×3—30=54。二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9．用四个数字 4 和一些加、减、乘、除号和括号, 写出四个分别等于 3, 4, 5 和 6 的算式. 解析：（4+4+4）÷4=3， 4+（4-4）÷4=4，（4×4+4）÷4=5，4+（4+4）÷4=610．小明与小华同在小六(1)班, 该班学生人数介于 20 和 30 之间, 且每个人的出生日期均不相同.小明说: “本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”, 小华说: “本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”. 问这个班有多少名学生? 解析：根据小明，小华的话可知：六(1)班人数-1 是 3 的倍数，也是 4 的倍数。[3，4]=12，所以这个班有 12×2+1=25 名学生11．小虎周末到公园划船, 九点从租船处出发, 计划不超过十一点回到租船处. 已知, 租船处在河的中游, 河道笔直, 河水流速 1.5 千米/小时; 船在静水中的速度是 3 千米/小时, 划船时, 每划船半小时, 小虎就要休息十分钟让船顺水漂流. 问: 小虎的船最远可以离租船处多少千米? 解析：V顺：V逆：V水=4.5：1.5：1.5=3：1：1； 注意逆水速度等于静水速度。小虎每划船半小时,就要休息十分钟让船顺水漂流，120÷（30+10）=3，小虎休息三次，则船顺水漂流 30 分钟，则逆水时间里面有 30 分钟要和他抵消，相当于船没有动。在剩下 120-30-30=60 分钟里要船能回到租船处，则逆水时间和顺水时间为 V顺：V逆=3:1，所以顺水时间为 60÷（3+1）=15 分钟。注意小虎的船最远可以离租船处，还需加上船顺水漂流 10 分钟的路程，所以答案为：4.5×15÷60+1.5×10÷60=1.375km12．由四个相同的小正方形拼成右图. 能否将连续的 24 个自然数分别放在图中所示的 24 个黑点处（每处放一个, 每个数只使用一次）, 使得图中所有正方形边上所放 的数之和都相等? 若能, 请给出一个例子; 若不能, 请说明理由. 解析： 设这 24 个连续自然数为 a，a+1，a+2，…，a+23。注意：图中有五个正方形，五个正方形上共有 16+4×8=48，仔细 分析，每个数重复用了 2 次。假设能使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等，且设这个和为 A。则有（a+a+1+a+2+…+a+23）×2=48a+552=5A48≡3（mod5），552≡2（mod5），要 48a+552 是 5 的倍数，则 48a 除以 5 余 3，即 a 要是 5 的倍数多 1，不妨设 a=5b+1，48a+552=48×5b+48+552=240b+600，所以 A=48b+120我们再来看大正方形上的 16 个数，即使是这 24 个数中最小的 16 个，它们的和是5b+1+5b+2+5b+3+…5b+16=80b+136> A=48b+120所以不能使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等。三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13．用八个右图所示的 2×1 的小长方形可以拼成一个 4×4 的正方形. 若 一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同, 则认为两个拼成的正方形相同. 问: 在所有可能拼成的正方形图形中, 上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的 图形有多少种? 解析：用 代替因为的正方 形图形中, 上下对称，而所给图形上下不对称（第二层，第三层只能横拼，不能竖拼），所以只 需考虑一、二层 2×4 的长方形。分两个空白正方形在三、四列（两个空白正方形 在一、二列旋转可得到两个空白正方形在三、四列的情况）和两个空白正方形在二、三列两种情况。所以答案为五种。14．不为零的自然数 n，既是 2010 个数字和相同的自然数之和, 也是 2012 个数字和相同的自然数之和, 还是 2013 个数字和相同的自然数之和, 那么n最小是多少? 解析：数论。根据题意有 n=2010A=2012B=2013C。能把数字和和数联系起来的数是能被 3 或 9 整除的数。明白一个结论，求一个数能否被 3 或 9 整除， 将这个数按数位截成若干个数或拆成若干个数，若若干个数的和能被 3 或 9 整除，则这个数能被 3 或 9 整除。例：求 12346789101112…2013 能否被 9整除，只需求 1+2+…+2013 的和能否被 9 整除。显然 2010,2013 都是 3 的倍数，则 n 是 3 的倍数，2012B 是 3 的倍数。根据非零自然数，B 最小为3，则 n 最小为 6036。检验：x+y=2010 3x+12y=6036,x=2008,y=2（数字和也可以为 2）c+d=2013 10c+d=6036 c=447,d=1566(数字和等于 2 和 3 没有可能)6036=2012×3=2008×3+12×2 =10×447+1566×1总数 n 最小值为 6036.★ ★ ☆ ☆☆ ☆ ★ ★★ ★ ☆ ☆☆ ★ ☆ ★★ ☆ ☆ ★☆ ★ ★ ☆★ ☆ ☆ ★☆ ★ ☆ ★★ ☆ ☆ ★★ ☆ ☆ ★