2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 D 卷）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）如图，边长为 12 米的正方形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，且AB＝BC＝CD＝3 米，现用长 4 米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在　 　处的木桩上．2．（10 分）在所有是 20 的倍数的自然数中，不超过 3000 并且是 14 的倍数的数之和是　 　．3．（10 分）从 1～8 这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的取法有　 　种．4．（10 分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为平方厘米．5．（10 分）如果 ﹣ ＜ 成立，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为　 　．6．（10 分）如图，三个圆交出七个部分．将整数 1～7 分别填到七个部分中，要求每个圆内的四个数字的和都相等．那么和的最大值是　 　．7．（10 分）学校组织 482 人去郊游，租用 42 座大巴和 20 座中巴两种汽车．如果要求每人一座且每座一人，则有　 　种租车方案．8．（10 分）长为 4 的线段AB上有一动点C，等腰三角形ACD和等腰三角形BEC在过AB的直线同侧，AD＝DC，CE＝EB，则线段DE的长度最小为　 　．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上．如图给出了n＝6 时所有的不同放置方法，那么n＝8 时有多少种不同放置方法？10．（10 分）有一个杯子装满了浓度为 15%的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为 10：5：3，首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢出 10%，取出小球，其次把中球沉入盐水杯中，又将它取出，接着将大球沉入盐水杯中后取出，最后在杯中倒入纯水至杯满为止，此时杯中盐水的浓度是多少？11．（10 分）清明节同学们乘车去烈士陵园扫墓，如果汽车行驶 1 个小时后将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前 10 分钟赶到；如果该车先按原速行驶 60 千米，再将速度提高三分之一，就可 以比预定时间提前 20 分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少千米？12．（10 分）如图，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝2BD，连接CF交DE于P点，求 的值．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）从连续自然数 1，2，3，…，2014 中取出n个数，使这n个数满足：任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的 7 倍．试求n的最大值，并说明理由．14．（15 分）在右边的算式中，字母a，b，c，d和“□”代表十个数字 0 到 9 中的一个，其中a，b，c，d四个字母代表□□□□不同的数字，求a，b，c，d代表的数字之和．2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 D 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）如图，边长为 12 米的正方形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，且AB＝BC＝CD＝3 米，现用长 4 米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在　 B 　 处的木桩上．【分析】分别把A、B、C、D这四个点为圆心的扇形面积算出来，再进行比较即可选择出正确答案．【解答】解：①SA＝ π×42+× π×（4﹣3）2＝8.25π（平方米）；②SB＝ π×42＝12π（平方米）；③SC＝ π×42+ ×π×（4﹣3）2＝8.25π（平方米）；④SD＝ π×42＝8π（平方米），π＜8.25π＜12π，所以为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在B处的木桩上．故答案为：B．2．（10 分）在所有是 20 的倍数的自然数中，不超过 3000 并且是 14 的倍数的数之和是　 32340 　 ．【分析】在所有 20 的倍数中不超过 2014 并且是 14 的倍数最小是 140，最大是 2940，共 21 个， 然后根据“高斯求和”的方法解答．【解答】解：20＝2×2×514＝2×720 和 14 的最小公倍数是：2×2×5×7＝1403000÷140≈21.4140×21＝2940所以在所有 20 的倍数中不超过 3000 并且是 14 的倍数最小是 140，最大是 2940，共 21 个，（140+2940）×21÷2＝3080×21÷2＝32340．答：在所有是 20 的倍数的自然数中，不超过 3000 并且是 14 的倍数的数之和是 32340．故答案为：32340．3．（10 分）从 1～8 这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的取法有　 20 　 种．【分析】首先取 3 个所有的方法有 ＝56 种连续的有两个连续另外一个不连续，如果这两个连续的数在两端，是 12 或 78，则各有 5 种不同的方法，如：124，125，126，127，128，如果这两个两个数在中间，是 23、34、45、56、67，则各有 4 种不同的方法，如：235，236，237，238；这样一共有 5×2+5×4 种方法；三个连续的有 123，234，345，456，567，678，6 种情况；用总种数减去有连续自然数的种数，就是符合要求的数．【解答】解： ＝ ＝56（种）有两个连续数的可能是：5×2+5×4＝30（种）有三个连续的数的可能有 6 种：56﹣30﹣6＝20（种）答：没有连续自然数取法为 20 种．故答案为：20．4．（10 分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为56 　 平方厘米．【分析】按题意，可以将图中剪影分割成若干部分，然后标出每部分的面积，利用剪切和拼接的性质求得每部分的面积，最后求和．【解答】解：根据分析，如图，将剪影分割， 通过分割和格点面积公式可得小马剪影的总面积＝0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5＝56（平方厘米）故答案是：56．5．（10 分）如果 ﹣ ＜ 成立，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为　 393 　 ．【分析】将不等式 ﹣ ＜ 的左右通分，分母变成 55×□，即 ，则5×○×□﹣385＜44×□，即 5×○×□﹣44×□＜385，□×（5×○﹣44）＜385，当 5×○和 44约接近时，□的值越大，所以○＝9 时，□的值最大；据此解答即可．【解答】解：将不等式 ﹣ ＜ 的左右通分，即， ，则，5×○×□﹣385＜44×□，即，5×○×□﹣44×□＜385，□×（5×○﹣44）＜385，当 5×○和 44 约接近时，□的值越大，所以○＝9 时，□的值最大，□×（5×9﹣44）＜385□＜385□最大是 384，所以，当○＝9，□＝384 时，两数之和最大，即，○+□＝9+384＝393．答：“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为 393．故答案为：393．6．（10 分）如图，三个圆交出七个部分．将整数 1～7 分别填到七个部分中，要求每个圆内的四个数字的和都相等．那么和的最大值是　 19 　 ．【分析】因为使得每个圆内的四个数字的和都相等，且和最大值时，7 最大，就把 7 写在最中间，还剩的 3 个较大数字 6、5、4，填在两圆公共的部分，最后剩下的 1、2、3；1 与 7、6、5 结合；2 与7、6、4 结合；3 与 7、5、4 结合，那么每个圆内的四个数字的和都是 19，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得， 所以和的最大值是 19．故答案为：19．7．（10 分）学校组织 482 人去郊游，租用 42 座大巴和 20 座中巴两种汽车．如果要求每人一座且每座一人，则有　 2 　 种租车方案．【分析】设 42 座大巴x辆，20 座中巴y辆，依题意有：42x+20y＝482，求方程的整数解，即得答案．【解答】设 42 座大巴x辆，20 座中巴y辆，依题意有：42x+20y＝482，两边除以 2 有：21x+10y＝24110y个位数字是 0，所以 21x的个位数字是 1，x只能取 1 或 11，x＝1 时，y＝22；x＝11 时，y＝1．所以有 2 种租车方案．达：有 2 钟租车方案．8．（10 分）长为 4 的线段AB上有一动点C，等腰三角形ACD和等腰三角形BEC在过AB的直线同侧，AD＝DC，CE＝EB，则线段DE的长度最小为　 2 　 ．【分析】根据题意画出图 1，此时要使DE的长最短，就要调整两个等腰三角形的高度，当两个等腰三角形一样高的时候DE之间的长度才最小，如图 2【解答】解：因为等腰三角形是轴对称图形，所以可以将图 2 沿两条高对折，不难得出DE的长度实际上是AB的一半4÷2＝2故此题填 2．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上．如图给出了n＝6 时所有的不同放置方法，那么n＝8 时有多少种不同放置方法？【分析】可以分层讨论各种可能的情况，然后求和汇总，由于n＝8 时，最多只能分 3 层放置，故不难求得总共的不同的放置方法．【解答】解：根据分析，分层数不同讨论：①层数为 2 时，7+1 有 6 种；6+2 有 4 种；5+3 有 2 种；②层数为 3 时，5+2+1 有 3 种；4+3+1 有 2 种；故总共只有：6+4+2+3+2＝17 种．故答案是：17． 10．（10 分）有一个杯子装满了浓度为 15%的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为 10：5：3，首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢出 10%，取出小球，其次把中球沉入盐水杯中，又将它取出，接着将大球沉入盐水杯中后取出，最后在杯中倒入纯水至杯满为止，此时杯中盐水的浓度是多少？【分析】溢出水量实际就是大球的体积，即整杯盐水的 10%× ＝ ，所以倒满水后浓度变为，据此解答即可．【解答】解：10%× ＝ ，＝ ＝10%，答：此时杯中盐水的浓度是 10%．11．（10 分）清明节同学们乘车去烈士陵园扫墓，如果汽车行驶 1 个小时后将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前 10 分钟赶到；如果该车先按原速行驶 60 千米，再将速度提高三分之一，就可以比预定时间提前 20 分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少千米？【分析】先求出行驶 1 个小时后的预定时间，所用的时间就是预定时间的 1÷（1+ ）＝ ，则预定时间是 10÷（1﹣ ）＝60 分钟，所以全程的预定时间就是 1 小时+60 分钟＝120 分钟；再求出所用时间，所用时间就是预定时间的 1÷（1+ ）＝ ，即提前 120×（1﹣ ）＝30 分钟，最后求出60 千米所对应的分率即 1﹣ ，解答即可．【解答】解：如果行驶 1 个小时后，将车速提高五分之一，则行驶 1 个小时后所用的时间就是预定时间是 1÷（1+ ）＝ ，则预定时间是 10÷（1﹣ ）＝60 分钟，所以全程的预定时间就是 1 小时+60 分钟＝120 分钟；如果该车先按原速行驶 60 千米，再将速度提高三分之一，则所用时间就是预定时间的 1÷（1+）＝ ，即提前 120×（1﹣ ）＝30 分钟，但实际却提前了 20 分钟，说明有 20÷30＝ 的路程提高了速度，60÷（1﹣ ）＝60÷＝180（千米），答：从学校到烈士陵园有 180 千米．12．（10 分）如图，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝2BD，连接CF交DE于P点，求 的值． 【分析】如图， 连接DF，根据已知推出△BFD≌△BAC，推出∠BDF＝∠BCA，求出DF∥CA， ＝ ，求出 ＝ ， ＝ ，根据平行线分线段成比例定理得出即可．【解答】解：连接DF，因为AF＝2BF，CD＝2BD，所以 ＝ ＝ ，因为∠B＝∠B，所以△BFD≌△BAC，所以∠BDF＝∠BCA，所以DF∥CA，＝ ，因为CE＝3AE，所以 ＝ ，所以 ＝ ，因为DF∥CA，所以 ＝ ＝ ．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13．（15 分）从连续自然数 1，2，3，…，2014 中取出n个数，使这n个数满足：任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的 7 倍．试求n的最大值，并说明理由．【分析】首先将这些数分组4 个数的有 5 组：{1，7，49，343}，{2，14，98，686}，{3，21，147，1029}{4，28，196，1372}{5，35，245，1715}3 个数的有{6，42，294}{8，56，392}{9，63，441}…{41，287，2009}注意第一个数跳过7、14、21、28、35 等数，共有 41﹣6+1﹣5＝31 组．2 个数的有{43，301}{44，308}…{286，2002}，注意跳过前面出现的数，即49、98、147、196、245、56、63、…280 等 34 个数，因此 2 个数的有 286﹣43+1﹣34＝210 组【解答】解：由分析可知：{1，7，49，343}，{2，14，98，686}，…{286，2002}共 246 组数里，在前五组中每组至多能取 2 个，至少有 10 个不能取，在有 3 个数的组里，共至少有 31 个不能取，在 2 个数组里至少有 210 个不能取，故最多能取 2014﹣10﹣31﹣210＝1763 个数，在这 1763 个数中，答：任取其中 2 个，不会有一个数是另一个数的 7 倍，n的最大值为 1763．14．（15 分）在右边的算式中，字母a，b，c，d和“□”代表十个数字 0 到 9 中的一个，其中a，b，c，d四个字母代表□□□□不同的数字，求a，b，c，d代表的数字之和．【分析】首先分析四位数减去三位数的结果是个位数，那么情况是可以枚举出来的，分情况排除即可．【解答】解：依题意可知：四位数﹣三位数＝2 只能有 2 种可能，1000﹣998＝2 或者 1001﹣999＝2．那么要求 5+c＝9，a+4＝9．所以a＝5，c＝4．所以b+d的结果可以为 10 也可为 11．那么a+b+c+d的结果为 19 或 20．综上所述答案为 19 或 20．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:47:08；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800