2015年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷(小高组决赛a卷)

发布时间:2025-03-23 09:03:50浏览次数:12
2015 年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷(小高组决赛 A 卷)一、填空题Ⅰ(每题 6 分,共 30 分)1.(6 分)算式(1﹣ + ﹣ + ﹣ )÷( + + )的计算结果是   .2.(6 分)一张边长为 10 厘米的正方形纸片,如图对折两次,再沿两遍的中点连线剪掉一个角之后,那么把余下部分展开为单层纸片的面积是   平方厘米.3.(6 分)A、B、C、D四个人住进编号为 1、2、3、4 的四个房间,每个房间给住一人;那么B不住 2号房间,并且B、C两人要求住在编号相邻房间的住法共有   种.4.(6 分)算式 2015 × ﹣ 的计算结果是   .5.(6 分)哈利波特制作加强型魔法药剂“生死水”(这是一种效力很强的安眠药,由水仙根粉末和艾草浸液配成,“生死水”的浓度是指水仙根粉末占整个药剂的百分比).他首先在普通型“生死水”中加入一定量的艾草浸液,使“生死水”的浓度变为 9%;如果再加入同等量的水仙根粉末,这时“生死水”的浓度变为 23%;那么普通型“生死水”的浓度为   %.二、填空题Ⅱ(每题 10 分,共 50 分)6.(10 分)一次考试有 3 道题,四个好朋友考完后核对答案,发现四人分别对了 3、2、1、0 道题.这时老师问:你们考的怎么样啊?他们每人说了 3 句话(如下). 甲:我对了两道题,而且比乙对的多,丙考的不如丁. 乙:我全对了,丙全错了,甲考的不如丁. 丙:我对了一道,丁对了两道,乙考的不如甲. 丁:我全对了,丙考的不如我,甲考的不如乙. 如果每人都是对了几道题就说几句真话.设甲、乙、丙、丁依次对了A、B、C、D道题,那么四位数 =   .7.(10 分)如图算式中,不同的汉字代表不同的数字.如果 =2015,且 是质数,那么=   .8.(10 分)如图的图案由 1 个圆和 2 个大小相同的正方形组成(2 个正方形的公共部分为正八边形).如果圆的半径为 60 厘米,那么阴影部分的面积是   平方厘米.(π 取 3.14)9.(10 分)如果一个自然数的各位数字能够分成两组,使得每组中的数字之和相等,则称这个数为“均衡数”.例如 25254 是“均衡数”,因为 5+2+2=4+5.如果相邻的两个自然数都是“均衡数”,则称这对“均衡数”为“孪生均衡数”.那么最小的一对“孪生均衡数”的和是   .10.(10 分)一艘轮船从A港出发顺流而下到同一条河上的B港,再逆流而上返回A港,共用 3.2 小时;如果第 1 小时、第 2 小时、第 3 小时轮船分别所行路程依次成等差数列,且水流速度为每小时 2 千 米;那么轮船往返A、B两港共行   千米.三、填空题Ⅲ(每题 10 分,共 48 分)11.(10 分)三位数 除以它的各位数字和的余数是 1,三位数 除以它的各位数字和的余数也是1.如果不同的字母代表不同的数字,且a>c,那么 =   .12.(10 分)在每个方格里填入数字 1~6 中的一个,使得每行和每列的数 字都不重复.右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和.那么五位数 =   .13.(10 分)某班共有 30 名学生去看电影,他们的学号依次为 1,2,…,30;他们手中的电影票恰好为某排的 1 号,2 号,…,30 号.现在按如下要求将电影票发给这些同学:对于任意两人甲、乙,若甲的学号能被乙的学号整除,则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除.那么电影票共有  种不同的发放方式.14.(10 分)图 2 的 8×8 表格中共含有 168 个如图 1 的“T”形.现对图 2 中的每个小 方格染成黑色或白色;如果一个“T”形中黑白小方格各 2 个,则称这个“T”形为“和谐”的;那么对图 2 的各种染色方案,“和谐”的“T”形至多有   个.2015 年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷(小高组决赛 A 卷)参考答案与试题解析一、填空题Ⅰ(每题 6 分,共 30 分)1.(6 分)算式(1﹣ + ﹣ + ﹣ )÷( + + )的计算结果是  1   .【解答】原式= (( ))故答案为:1.2.(6 分)一张边长为 10 厘米的正方形纸片,如图对折两次,再沿两遍的中点连线剪掉一个角之后,那么把余下部分展开为单层纸片的面积是  75   平方厘米.【解答】解:根据分析,折叠一次,面积变为一半,折叠两次后变成原来面积的四分之一, 沿中位线剪去一个角,显然剪去的这个角的面积为原来正方形的面积的 4× ×4= ,余下的部分为原来正方形的面积的 ,余下部分展开为单层纸片的面积= ×10×10=75(平方厘米).故答案是:75.3.(6 分)A、B、C、D四个人住进编号为 1、2、3、4 的四个房间,每个房间给住一人;那么B不住 2号房间,并且B、C两人要求住在编号相邻房间的住法共有  8   种.【解答】解:根据题意,B不住 2 号房间,则B可以住在 1、3、4 号房间,若B住在 1 号房间,则C可以住在 2 号房间,剩下 2 人安排在其他 2 个房间,此时,有A22=2 种情况,若B住在 3 号房间,则C可以住在 2、4 两个房间,有 2 种情况,剩下 2 人安排在其他 2 个房间,此时,有 2×A22=4 种情况,若B住在 4 号房间,则C可以住在 3 号房间,剩下 2 人安排在其他 2 个房间,此时,有A22=2 种情况,共有 2+4+2=8 种情况,故答案为 8.4.(6 分)算式 2015 × ﹣ 的计算结果是  503   .【解答】解:=====503+0=503故答案为:5035.(6 分)哈利波特制作加强型魔法药剂“生死水”(这是一种效力很强的安眠药,由水仙根粉末和艾草浸液配成,“生死水”的浓度是指水仙根粉末占整个药剂的百分比).他首先在普通型“生死水”中加入一定量的艾草浸液,使“生死水”的浓度变为 9%;如果再加入同等量的水仙根粉末,这时“生死水”的浓度变为 23%;那么普通型“生死水”的浓度为  11   %.【解答】解:设普通型“生死水”的浓度为x%,初始重量为 100,连续两次加入的水仙根粉末和艾草浸液重量都是a,则 ,化简为 ,解得x=11,综上所述,普通型“生死水”的浓度为 11%,故答案为 11.二、填空题Ⅱ(每题 10 分,共 50 分)6.(10 分)一次考试有 3 道题,四个好朋友考完后核对答案,发现四人分别对了 3、2、1、0 道题.这时老师问:你们考的怎么样啊?他们每人说了 3 句话(如下). 甲:我对了两道题,而且比乙对的多,丙考的不如丁. 乙:我全对了,丙全错了,甲考的不如丁. 丙:我对了一道,丁对了两道,乙考的不如甲. 丁:我全对了,丙考的不如我,甲考的不如乙. 如果每人都是对了几道题就说几句真话.设甲、乙、丙、丁依次对了A、B、C、D道题,那么四位数 =  1203   .【解答】解:根据分析,全队的人不会说自己对的题少于 3,所以只有乙、丁可能全对.若乙全对,则排名是乙、丁、甲、丙,与丙所说的:“丁对了两道”是假话矛盾;若丁全对,则丙的后两句是假话,不可能是第 2 名,又由丁的“甲考的不如乙”可以知道第 2 名是乙,所以丙全错,甲只有“丙考的不如丁”是真话,排名是丁、乙、甲、丙,经验证 4 人的话没有矛盾.所以甲、乙、丙、丁分别对 1、2、0、3 道题.故答案是:1203.7.(10 分)如图算式中,不同的汉字代表不同的数字.如果 =2015,且 是质数,那么=  8369   .【解答】解:依题意可知:首先对于 0﹣9 共 10 个数字,那么 2015 用去 4 个还有3,4,6,7,8,9.数字 3 和 9,4 和 8 是倍数关系不能同时出现质数中,那么 是 12 的倍数.同时也满足 3 的整除特性.质数有 37,43,47,67,73,79,83,89 共 8 个数字.当质数为 37 时,2015﹣37=1978 不是 3 的倍数.当质数为 43 时,2015﹣43=1972 不是 3 的倍数.当质数为 47 时,2015﹣47=1968 是 12 的倍数.不能用剩余的写成 3,6,8,9 的乘法算式.当质数为 67 时,2015﹣67=1948 不是 3 的倍数.当质数为 73 时,2015﹣73=1942 不是 3 的倍数.当质数为 79 时,2015﹣79=1936 不是 3 的倍数.当质数为 83 时,2015﹣83=1932 是 12 的倍数.在剩余的数字 4,6,7,9 中 69×7×4=1902;当质数为 89 时,2015﹣89=1926 不是 12 的倍数.2015=83+69×7×4;故答案为:83698.(10 分)如图的图案由 1 个圆和 2 个大小相同的正方形组成(2 个正方形的公共部分为正八边形).如果圆的半径为 60 厘米,那么阴影部分的面积是  3096   平方厘米.(π 取 3.14)【解答】解:如下图:连接AB、AD,因为AD是园的直径,所以∠ABD=90°; 设,AB=a,BD=b,即:小直角三角形的ABC的小斜边长为a(其余 7 个小直角三角形也是a),2 个大正方形的边长为b;由勾股定理:a2+b2=AD 2=(2R)2=120 2=14400(平方厘米);小直角三角形的ABC的面积= ×AC×BC=a2,即 4 个直角三角形的面积等于a2,而b2表示大正方形的面积;则:4 个直角三角形的面积+大正方形的面积=14400(平方厘米);从图中可以看出:图形总面积=正八边形面积+8 个小正方形面积;而大正方形面积=正八边形面积+4 个小正方形面积;即:图形总面积=正八边形面积+8 个小正方形面积=正八边形面积+4 个小正方形面积+4 个小正方形面积=大正方形面积+4 个小正方形面积=a2+b2=14400(平方厘米);阴影部分面积=图形总面积﹣园的面积=14400﹣πγ2=14400﹣3.14×60 2=3096(平方厘米).故填:3096.9.(10 分)如果一个自然数的各位数字能够分成两组,使得每组中的数字之和相等,则称这个数为“均衡数”.例如 25254 是“均衡数”,因为 5+2+2=4+5.如果相邻的两个自然数都是“均衡数”,则称这对“均衡数”为“孪生均衡数”.那么最小的一对“孪生均衡数”的和是  1099   .【解答】解:(1)两位数中的“均衡数”有 11、22、33、44、55、66、77、88、99,没有符合要求的.(2)两位数与三位数中 99、100 也不符合要求.(3)三位数中,两个相邻数数字和都是偶数,说明必有进位,且三位数必然只进 1 次位(数字和加 1 再减 9),即这两个数是AB9 和A(B+1)0,所以有:A+B=9 和A=B+1解得:A=5,B=4所以这两个数是 549 和 550.549+550=1099故:最小的一对“孪生均衡数”的和是 1099.10.(10 分)一艘轮船从A港出发顺流而下到同一条河上的B港,再逆流而上返回A港,共用 3.2 小时;如果第 1 小时、第 2 小时、第 3 小时轮船分别所行路程依次成等差数列,且水流速度为每小时 2 千米;那么轮船往返A、B两港共行  102   千米.【解答】解:第一小时全顺水,同理第三小时全逆水,第二小时必为半小时顺水半小时逆水,顺水行驶的时间:1+0.5=1.5(小时)逆水行驶的时间:3.2﹣1.5=1.7(小时)所以V顺:V逆=1.7:1.5=17:15,V顺﹣V逆=2×2=4(千米)4÷(17﹣15)×17=2×17=34(千米/时)34×1.5×2=51×2=102(千米) 答:轮船往返A、B两港共行 102 千米.故答案为:102.三、填空题Ⅲ(每题 10 分,共 48 分)11.(10 分)三位数 除以它的各位数字和的余数是 1,三位数 除以它的各位数字和的余数也是1.如果不同的字母代表不同的数字,且a>c,那么 =  452   .【解答】解:根据分析, 与 的数字和都是:a+b+c,三位数 和 除以各位数字和的余数都是 1,按余数原理,a+b+c, 与 之差即可被a+b+c整除,设 ,根据位值原则,有:; ,则: =n(a+b+c)⇒99×(a﹣c)=n(a+b+c)⇒9×11×(a﹣c)=n(a+b+c);∴n和(a+b+c)至少有一个是 11 的倍数和 9 的倍数,又∵a、b、c均为整数,且 9≥a>c≥1,0≤b≤9,∴3=2+1+0≤a+b+c≤9+8+7=24,a+b+c的可能取值为:9,11,18,22,①a+b+c=9 时,根据被 9 整除的特征, 和 被 9 除余数为 0,与题意矛盾;②a+b+c=11 时,此三位数 为:281、362、371、452、461、524、542、614、623、632、641、731、713、812、821、704、902、605,经排查,只有 452 符合条件;③a+b+c=22 时,此三位数 为:985、976、967、958、796、895,符合题意的为 0 个;④a+b+c=18 时,此三位数 为:954、972、945、963、981、936、927、918、891、873、864、846、837、792、783、765、695、685、693、594,排查后,符合题中条件的个数为 0 个.综上, =452,故答案是:452.12.(10 分)在每个方格里填入数字 1~6 中的一个,使得每行和每列的数 字都不重复.右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和.那么五位数 =  41244   .【解答】解:根据尾数和能够构成结果的尾数:结果中尾数是 5 那么这 3 个数字尾数一定是4,5,6 组合.唯一法、排除法:只能填写一个数字首位分析法:第六行的结果是 669 那么百位数字一定是 6.如图: 故答案为:4124413.(10 分)某班共有 30 名学生去看电影,他们的学号依次为 1,2,…,30;他们手中的电影票恰好为某排的 1 号,2 号,…,30 号.现在按如下要求将电影票发给这些同学:对于任意两人甲、乙,若甲的学号能被乙的学号整除,则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除.那么电影票共有 48   种不同的发放方式.【解答】解:1 号学生有 29 人是其倍数,故 1 号学生只能拿 1 号电影票;2 号学生有 14 人是其倍数,故 2 号学生只能拿 2 号电影票;3 号学生有 9 人是其倍数,故 3 号学生只能拿 3 号电影票;4 号学生有 6 人是其倍数,故 4 号学生只能拿 4 号电影票;5 号学生有 5 人是其倍数,故 5 号学生只能拿 5 号电影票;6 号学生有 4 人是其倍数,故 6 号学生只能拿 6 号电影票;7 号学生有 3 人是其倍数,故 7 号学生只能拿 7 号电影票;8 号学生必须是 2 号学生(2)的倍数,也必须是 4 号学生(4)的倍数,同时有 2 人是其倍数,故 8 号学生只能拿 8 号电影票;9 号学生必须是 3 号学生(3)的倍数,还不能是 6,同时有 2 人是其倍数,故 9 号学生只能拿 9号电影票;10 号学生必须是 2 号学生(2)的倍数,也必须是 5 号学生(5)的倍数,同时有 2 人是其倍数,故 10 号学生只能拿 10 号电影票;12 号学生必须是 3 号学生(3)的倍数,也必须是 4 号学生(4)的倍数,同时有 1 人是其倍数,故 12 号学生只能拿 12 号电影票,同时 24 号学生只能拿 24 号电影票;14 号学生必须是 2 号学生(2)的倍数,也必须是 7 号学生(7)的倍数,同时有 1 人是其倍数,故 14 号学生只能拿 14 号电影票,同时 28 号学生只能拿 28 号电影票;15 号学生必须是 3 号学生(3)的倍数,也必须是 5 号学生(5)的倍数,同时有 1 人是其倍数,故 15 号学生只能拿 15 号电影票,同时 30 号学生只能拿 30 号电影票;之后的数,[2,9]=18,18 必拿 18,同时是 9 的倍数的 27 只能拿 27;[4,5]=20,20 必拿20;[3,7]=21,21 必拿 21;[3,8]=24,24 必拿 24,同时是 8 的倍数的 16 只能拿 16;[4,7]=28,28 必拿 28;[5,6]=30,30 必拿 30,同时是 5 的倍数的 25 只能拿 25.目前还没有确定的数是 11、22、13、26、17、19、23、29 号,11、22 互为一组成倍数;13、26互为一组成倍数,有两种拿法:11 号拿 11,22 号拿 22,13 号拿 13,26 号拿 26 或 11 号拿 13,22 号拿 26,13 号拿 11,26 号拿 22,17、19、23、29 是大质数,没有限制,可随意拿,有 =24 种拿法,故共有 2×24=48 种拿法.14.(10 分)图 2 的 8×8 表格中共含有 168 个如图 1 的“T”形.现对图 2 中的每个小 方格染成黑色或白色;如果一个“T”形中黑白小方格各 2 个,则称这个“T”形为“和谐”的;那么对图 2 的各种染色方案,“和谐”的“T”形至多有  132   个. 【解答】解:(1)把 8×8 的方格阵进行染色,如图 2.其中含有图形 3 的个数是:从左到右的第一、八行均无;第二、四、六行均为 2;第三、五、七行均是 1;共计(2+1)×3=9.从右到左、从上到下、从下到上均为 9,所以总数是 9×4=36.(2)每个图形 3 都有图形 1 的个数是 4,若图形 1 是 2 黑 2 白“和谐”的,那每个图形 3 都有图形 1“和谐”的个数至多是 3.所以,图形 2 中必然至少有 36 个图形 1 不是“和谐”的.故:图形 2 中至多有“和谐”的图形 1 个数为:168﹣36=132(个).声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2019/5/5 18:12:06;用户:小学奥数;邮箱:pfpxxx02@xyh.com;学号:20913800
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