2015 年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（小高组决赛 A 卷）一、填空题Ⅰ（每题 6 分，共 30 分）1．（6 分）算式（1﹣ + ﹣ + ﹣ ）÷（ + + ）的计算结果是　 　．2．（6 分）一张边长为 10 厘米的正方形纸片，如图对折两次，再沿两遍的中点连线剪掉一个角之后，那么把余下部分展开为单层纸片的面积是　 　平方厘米．3．（6 分）A、B、C、D四个人住进编号为 1、2、3、4 的四个房间，每个房间给住一人；那么B不住 2号房间，并且B、C两人要求住在编号相邻房间的住法共有　 　种．4．（6 分）算式 2015 × ﹣ 的计算结果是　 　．5．（6 分）哈利波特制作加强型魔法药剂“生死水”（这是一种效力很强的安眠药，由水仙根粉末和艾草浸液配成，“生死水”的浓度是指水仙根粉末占整个药剂的百分比）．他首先在普通型“生死水”中加入一定量的艾草浸液，使“生死水”的浓度变为 9%；如果再加入同等量的水仙根粉末，这时“生死水”的浓度变为 23%；那么普通型“生死水”的浓度为　 　%．二、填空题Ⅱ（每题 10 分，共 50 分）6．（10 分）一次考试有 3 道题，四个好朋友考完后核对答案，发现四人分别对了 3、2、1、0 道题．这时老师问：你们考的怎么样啊？他们每人说了 3 句话（如下）． 甲：我对了两道题，而且比乙对的多，丙考的不如丁． 乙：我全对了，丙全错了，甲考的不如丁． 丙：我对了一道，丁对了两道，乙考的不如甲． 丁：我全对了，丙考的不如我，甲考的不如乙． 如果每人都是对了几道题就说几句真话．设甲、乙、丙、丁依次对了A、B、C、D道题，那么四位数 ＝　 　．7．（10 分）如图算式中，不同的汉字代表不同的数字．如果 ＝2015，且 是质数，那么＝　 　．8．（10 分）如图的图案由 1 个圆和 2 个大小相同的正方形组成（2 个正方形的公共部分为正八边形）．如果圆的半径为 60 厘米，那么阴影部分的面积是　 　平方厘米．（π 取 3.14）9．（10 分）如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使得每组中的数字之和相等，则称这个数为“均衡数”．例如 25254 是“均衡数”，因为 5+2+2＝4+5．如果相邻的两个自然数都是“均衡数”，则称这对“均衡数”为“孪生均衡数”．那么最小的一对“孪生均衡数”的和是　 　．10．（10 分）一艘轮船从A港出发顺流而下到同一条河上的B港，再逆流而上返回A港，共用 3.2 小时；如果第 1 小时、第 2 小时、第 3 小时轮船分别所行路程依次成等差数列，且水流速度为每小时 2 千 米；那么轮船往返A、B两港共行　 　千米．三、填空题Ⅲ（每题 10 分，共 48 分）11．（10 分）三位数 除以它的各位数字和的余数是 1，三位数 除以它的各位数字和的余数也是1．如果不同的字母代表不同的数字，且a＞c，那么 ＝　 　．12．（10 分）在每个方格里填入数字 1～6 中的一个，使得每行和每列的数 字都不重复．右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和．那么五位数 ＝　 　．13．（10 分）某班共有 30 名学生去看电影，他们的学号依次为 1，2，…，30；他们手中的电影票恰好为某排的 1 号，2 号，…，30 号．现在按如下要求将电影票发给这些同学：对于任意两人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除．那么电影票共有　 种不同的发放方式．14．（10 分）图 2 的 8×8 表格中共含有 168 个如图 1 的“T”形．现对图 2 中的每个小 方格染成黑色或白色；如果一个“T”形中黑白小方格各 2 个，则称这个“T”形为“和谐”的；那么对图 2 的各种染色方案，“和谐”的“T”形至多有　 　个．2015 年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（小高组决赛 A 卷）参考答案与试题解析一、填空题Ⅰ（每题 6 分，共 30 分）1．（6 分）算式（1﹣ + ﹣ + ﹣ ）÷（ + + ）的计算结果是　 1 　 ．【解答】原式＝ （（ ））故答案为：1．2．（6 分）一张边长为 10 厘米的正方形纸片，如图对折两次，再沿两遍的中点连线剪掉一个角之后，那么把余下部分展开为单层纸片的面积是　 75 　 平方厘米．【解答】解：根据分析，折叠一次，面积变为一半，折叠两次后变成原来面积的四分之一， 沿中位线剪去一个角，显然剪去的这个角的面积为原来正方形的面积的 4× ×4＝ ，余下的部分为原来正方形的面积的 ，余下部分展开为单层纸片的面积＝ ×10×10＝75（平方厘米）．故答案是：75．3．（6 分）A、B、C、D四个人住进编号为 1、2、3、4 的四个房间，每个房间给住一人；那么B不住 2号房间，并且B、C两人要求住在编号相邻房间的住法共有　 8 　 种．【解答】解：根据题意，B不住 2 号房间，则B可以住在 1、3、4 号房间，若B住在 1 号房间，则C可以住在 2 号房间，剩下 2 人安排在其他 2 个房间，此时，有A22＝2 种情况，若B住在 3 号房间，则C可以住在 2、4 两个房间，有 2 种情况，剩下 2 人安排在其他 2 个房间，此时，有 2×A22＝4 种情况，若B住在 4 号房间，则C可以住在 3 号房间，剩下 2 人安排在其他 2 个房间，此时，有A22＝2 种情况，共有 2+4+2＝8 种情况，故答案为 8．4．（6 分）算式 2015 × ﹣ 的计算结果是　 503 　 ．【解答】解：＝＝＝＝＝503+0＝503故答案为：5035．（6 分）哈利波特制作加强型魔法药剂“生死水”（这是一种效力很强的安眠药，由水仙根粉末和艾草浸液配成，“生死水”的浓度是指水仙根粉末占整个药剂的百分比）．他首先在普通型“生死水”中加入一定量的艾草浸液，使“生死水”的浓度变为 9%；如果再加入同等量的水仙根粉末，这时“生死水”的浓度变为 23%；那么普通型“生死水”的浓度为　 11 　 %．【解答】解：设普通型“生死水”的浓度为x%，初始重量为 100，连续两次加入的水仙根粉末和艾草浸液重量都是a，则 ，化简为 ，解得x＝11，综上所述，普通型“生死水”的浓度为 11%，故答案为 11．二、填空题Ⅱ（每题 10 分，共 50 分）6．（10 分）一次考试有 3 道题，四个好朋友考完后核对答案，发现四人分别对了 3、2、1、0 道题．这时老师问：你们考的怎么样啊？他们每人说了 3 句话（如下）． 甲：我对了两道题，而且比乙对的多，丙考的不如丁． 乙：我全对了，丙全错了，甲考的不如丁． 丙：我对了一道，丁对了两道，乙考的不如甲． 丁：我全对了，丙考的不如我，甲考的不如乙． 如果每人都是对了几道题就说几句真话．设甲、乙、丙、丁依次对了A、B、C、D道题，那么四位数 ＝　 1203 　 ．【解答】解：根据分析，全队的人不会说自己对的题少于 3，所以只有乙、丁可能全对．若乙全对，则排名是乙、丁、甲、丙，与丙所说的：“丁对了两道”是假话矛盾；若丁全对，则丙的后两句是假话，不可能是第 2 名，又由丁的“甲考的不如乙”可以知道第 2 名是乙，所以丙全错，甲只有“丙考的不如丁”是真话，排名是丁、乙、甲、丙，经验证 4 人的话没有矛盾．所以甲、乙、丙、丁分别对 1、2、0、3 道题．故答案是：1203．7．（10 分）如图算式中，不同的汉字代表不同的数字．如果 ＝2015，且 是质数，那么＝　 8369 　 ．【解答】解：依题意可知：首先对于 0﹣9 共 10 个数字，那么 2015 用去 4 个还有3，4，6，7，8，9．数字 3 和 9，4 和 8 是倍数关系不能同时出现质数中，那么 是 12 的倍数．同时也满足 3 的整除特性．质数有 37，43，47，67，73，79，83，89 共 8 个数字．当质数为 37 时，2015﹣37＝1978 不是 3 的倍数．当质数为 43 时，2015﹣43＝1972 不是 3 的倍数．当质数为 47 时，2015﹣47＝1968 是 12 的倍数．不能用剩余的写成 3，6，8，9 的乘法算式．当质数为 67 时，2015﹣67＝1948 不是 3 的倍数．当质数为 73 时，2015﹣73＝1942 不是 3 的倍数．当质数为 79 时，2015﹣79＝1936 不是 3 的倍数．当质数为 83 时，2015﹣83＝1932 是 12 的倍数．在剩余的数字 4，6，7，9 中 69×7×4＝1902；当质数为 89 时，2015﹣89＝1926 不是 12 的倍数．2015＝83+69×7×4；故答案为：83698．（10 分）如图的图案由 1 个圆和 2 个大小相同的正方形组成（2 个正方形的公共部分为正八边形）．如果圆的半径为 60 厘米，那么阴影部分的面积是　 3096 　 平方厘米．（π 取 3.14）【解答】解：如下图：连接AB、AD，因为AD是园的直径，所以∠ABD＝90°； 设，AB＝a，BD＝b，即：小直角三角形的ABC的小斜边长为a（其余 7 个小直角三角形也是a），2 个大正方形的边长为b；由勾股定理：a2+b2＝AD 2＝（2R）2＝120 2＝14400（平方厘米）；小直角三角形的ABC的面积＝ ×AC×BC＝a2，即 4 个直角三角形的面积等于a2，而b2表示大正方形的面积；则：4 个直角三角形的面积+大正方形的面积＝14400（平方厘米）；从图中可以看出：图形总面积＝正八边形面积+8 个小正方形面积；而大正方形面积＝正八边形面积+4 个小正方形面积；即：图形总面积＝正八边形面积+8 个小正方形面积＝正八边形面积+4 个小正方形面积+4 个小正方形面积＝大正方形面积+4 个小正方形面积＝a2+b2＝14400（平方厘米）；阴影部分面积＝图形总面积﹣园的面积＝14400﹣πγ2＝14400﹣3.14×60 2＝3096（平方厘米）．故填：3096．9．（10 分）如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使得每组中的数字之和相等，则称这个数为“均衡数”．例如 25254 是“均衡数”，因为 5+2+2＝4+5．如果相邻的两个自然数都是“均衡数”，则称这对“均衡数”为“孪生均衡数”．那么最小的一对“孪生均衡数”的和是　 1099 　 ．【解答】解：（1）两位数中的“均衡数”有 11、22、33、44、55、66、77、88、99，没有符合要求的．（2）两位数与三位数中 99、100 也不符合要求．（3）三位数中，两个相邻数数字和都是偶数，说明必有进位，且三位数必然只进 1 次位（数字和加 1 再减 9），即这两个数是AB9 和A（B+1）0，所以有：A+B＝9 和A＝B+1解得：A＝5，B＝4所以这两个数是 549 和 550．549+550＝1099故：最小的一对“孪生均衡数”的和是 1099．10．（10 分）一艘轮船从A港出发顺流而下到同一条河上的B港，再逆流而上返回A港，共用 3.2 小时；如果第 1 小时、第 2 小时、第 3 小时轮船分别所行路程依次成等差数列，且水流速度为每小时 2 千米；那么轮船往返A、B两港共行　 102 　 千米．【解答】解：第一小时全顺水，同理第三小时全逆水，第二小时必为半小时顺水半小时逆水，顺水行驶的时间：1+0.5＝1.5（小时）逆水行驶的时间：3.2﹣1.5＝1.7（小时）所以V顺：V逆＝1.7：1.5＝17：15，V顺﹣V逆＝2×2＝4（千米）4÷（17﹣15）×17＝2×17＝34（千米/时）34×1.5×2＝51×2＝102（千米） 答：轮船往返A、B两港共行 102 千米．故答案为：102．三、填空题Ⅲ（每题 10 分，共 48 分）11．（10 分）三位数 除以它的各位数字和的余数是 1，三位数 除以它的各位数字和的余数也是1．如果不同的字母代表不同的数字，且a＞c，那么 ＝　 452 　 ．【解答】解：根据分析， 与 的数字和都是：a+b+c，三位数 和 除以各位数字和的余数都是 1，按余数原理，a+b+c， 与 之差即可被a+b+c整除，设 ，根据位值原则，有：； ，则： ＝n（a+b+c）⇒99×（a﹣c）＝n（a+b+c）⇒9×11×（a﹣c）＝n（a+b+c）；∴n和（a+b+c）至少有一个是 11 的倍数和 9 的倍数，又∵a、b、c均为整数，且 9≥a＞c≥1，0≤b≤9，∴3＝2+1+0≤a+b+c≤9+8+7＝24，a+b+c的可能取值为：9，11，18，22，①a+b+c＝9 时，根据被 9 整除的特征， 和 被 9 除余数为 0，与题意矛盾；②a+b+c＝11 时，此三位数 为：281、362、371、452、461、524、542、614、623、632、641、731、713、812、821、704、902、605，经排查，只有 452 符合条件；③a+b+c＝22 时，此三位数 为：985、976、967、958、796、895，符合题意的为 0 个；④a+b+c＝18 时，此三位数 为：954、972、945、963、981、936、927、918、891、873、864、846、837、792、783、765、695、685、693、594，排查后，符合题中条件的个数为 0 个．综上， ＝452，故答案是：452．12．（10 分）在每个方格里填入数字 1～6 中的一个，使得每行和每列的数 字都不重复．右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和．那么五位数 ＝　 41244 　 ．【解答】解：根据尾数和能够构成结果的尾数：结果中尾数是 5 那么这 3 个数字尾数一定是4，5，6 组合．唯一法、排除法：只能填写一个数字首位分析法：第六行的结果是 669 那么百位数字一定是 6．如图： 故答案为：4124413．（10 分）某班共有 30 名学生去看电影，他们的学号依次为 1，2，…，30；他们手中的电影票恰好为某排的 1 号，2 号，…，30 号．现在按如下要求将电影票发给这些同学：对于任意两人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除．那么电影票共有　48 　 种不同的发放方式．【解答】解：1 号学生有 29 人是其倍数，故 1 号学生只能拿 1 号电影票；2 号学生有 14 人是其倍数，故 2 号学生只能拿 2 号电影票；3 号学生有 9 人是其倍数，故 3 号学生只能拿 3 号电影票；4 号学生有 6 人是其倍数，故 4 号学生只能拿 4 号电影票；5 号学生有 5 人是其倍数，故 5 号学生只能拿 5 号电影票；6 号学生有 4 人是其倍数，故 6 号学生只能拿 6 号电影票；7 号学生有 3 人是其倍数，故 7 号学生只能拿 7 号电影票；8 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 4 号学生（4）的倍数，同时有 2 人是其倍数，故 8 号学生只能拿 8 号电影票；9 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，还不能是 6，同时有 2 人是其倍数，故 9 号学生只能拿 9号电影票；10 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 5 号学生（5）的倍数，同时有 2 人是其倍数，故 10 号学生只能拿 10 号电影票；12 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，也必须是 4 号学生（4）的倍数，同时有 1 人是其倍数，故 12 号学生只能拿 12 号电影票，同时 24 号学生只能拿 24 号电影票；14 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 7 号学生（7）的倍数，同时有 1 人是其倍数，故 14 号学生只能拿 14 号电影票，同时 28 号学生只能拿 28 号电影票；15 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，也必须是 5 号学生（5）的倍数，同时有 1 人是其倍数，故 15 号学生只能拿 15 号电影票，同时 30 号学生只能拿 30 号电影票；之后的数，[2，9]＝18，18 必拿 18，同时是 9 的倍数的 27 只能拿 27；[4，5]＝20，20 必拿20；[3，7]＝21，21 必拿 21；[3，8]＝24，24 必拿 24，同时是 8 的倍数的 16 只能拿 16；[4，7]＝28，28 必拿 28；[5，6]＝30，30 必拿 30，同时是 5 的倍数的 25 只能拿 25．目前还没有确定的数是 11、22、13、26、17、19、23、29 号，11、22 互为一组成倍数；13、26互为一组成倍数，有两种拿法：11 号拿 11，22 号拿 22，13 号拿 13，26 号拿 26 或 11 号拿 13，22 号拿 26，13 号拿 11，26 号拿 22，17、19、23、29 是大质数，没有限制，可随意拿，有 ＝24 种拿法，故共有 2×24＝48 种拿法．14．（10 分）图 2 的 8×8 表格中共含有 168 个如图 1 的“T”形．现对图 2 中的每个小 方格染成黑色或白色；如果一个“T”形中黑白小方格各 2 个，则称这个“T”形为“和谐”的；那么对图 2 的各种染色方案，“和谐”的“T”形至多有　 132 　 个． 【解答】解：（1）把 8×8 的方格阵进行染色，如图 2．其中含有图形 3 的个数是：从左到右的第一、八行均无；第二、四、六行均为 2；第三、五、七行均是 1；共计（2+1）×3＝9．从右到左、从上到下、从下到上均为 9，所以总数是 9×4＝36．（2）每个图形 3 都有图形 1 的个数是 4，若图形 1 是 2 黑 2 白“和谐”的，那每个图形 3 都有图形 1“和谐”的个数至多是 3．所以，图形 2 中必然至少有 36 个图形 1 不是“和谐”的．故：图形 2 中至多有“和谐”的图形 1 个数为：168﹣36＝132（个）．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:12:06；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800