2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 A 卷）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.14]＝3，则[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]的值为　 　．2．（10 分）从 4 个整数中任意选出 3 个，求出它们的平均值．然后再求这个平均值和余下 1 个数的和，这样可以得到 4 个数：8、12、10 和 9 ，则原来给定的 4 个整数的和为　 　．3．（10 分）在 3×3 的网格中（每个格子是个 1×1 的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有　 　种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．4．（10 分）甲从A地出发去找乙，走了 80 千米后到达B地，此时，乙已于半小时前离开B地去了C地，甲已离开A地 2 小时，于是，甲以原来的速度的 2 倍去C地．又经过了 2 小时后，甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是　 　千米/小时．5．（10 分）某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组．已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的 ，是只参加朗诵小组人数的 ，那么书法小组与朗诵小组的人数比是　 　．6．（10 分）如图，△ABC的面积为 100 平方厘米，△ABD的面积为 72 平方厘米．M为CD边的中点，∠MHB＝90°，已知AB＝20 厘米，则MH的长度为　 　厘米．7．（10 分）一列数a1、a2…，an…，记S（ai）为ai的所有数字之和，如S（22）＝2+2＝4，若a1＝2017，a2＝22，an＝S（an﹣1）+S（an﹣2），那么a2017等于　 　．8．（10 分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有　 　种．二、解答题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）平面上有 5 条不同的直线，这 5 条直线共形成n个交点，则n有多少个不同的数值？10．（10 分）某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐．每名学生至少选择一种，也可以多选．统计结果显示：70%的学生选择苹果，40%的学生选择了香蕉．30%的学生选了梨，那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？11．（10 分）箱子里面有两种珠子，一种每个 19 克，另一种每个 17 克，所有珠子的重量为 2017 克，求两种珠子的数量和所有可能的值．12．（10 分）使 不为最简分数的三位数n之和等于多少．三、解答题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13．（15 分）班上共有 60 位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为 1 月 12 日与 12 月I2 日的号数相同的）．结果发现，在所得到的回答中包含了由 0 到 14 的所有整数，那么，该班至少有多少个同字生日相同？14．（15 分）将 1 至 9 填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍．已知左右格子已经填有数字 4 和 5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 A 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.14]＝3，则[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]的值为　 6048 　 ．【分析】可以先将原式化简，将每项化成带分数的形式，然后取整数部分，即可得出和．【解答】解：根据分析，原式为：[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]＝[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]＝550+733+916+1100+1283+1466＝6048．故答案是 6048．2．（10 分）从 4 个整数中任意选出 3 个，求出它们的平均值．然后再求这个平均值和余下 1 个数的和，这样可以得到 4 个数：8、12、10 和 9 ，则原来给定的 4 个整数的和为　 20 　 ．【分析】根据题意，设原来给定的 4 个整数分别是a、b、c、d，则 +d＝8（1）， +c＝12（2）， +b＝10 （3）， +a＝9 （4），据此求出原来给定的 4 个整数的和是多少即可．【解答】解：设原来给定的 4 个整数分别是a、b、c、d，+d＝8（1），+c＝12（2），+b＝10 （3），+a＝9 （4），（1）+（2）+（3）+（4），可得2（a+b+c+d）＝8+12+10 +9 ，所以a+b+c+d＝20，所以原来给定的 4 个整数的和为 20．故答案为：20． 3．（10 分）在 3×3 的网格中（每个格子是个 1×1 的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有　 10 　 种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．【分析】可以分情况讨论，四个顶点的位值一样，正中间的一个方格一个位值，剩下的四个方格位值相同，故可以分次三种情况分别计算不同的摆放方法．【解答】解：根据分析，份三种情况：①当正中间即E处放一颗棋子，然后另一颗棋子放在外围任意一个位置，除去对称性因素，有 2种不同的摆放方法，即AE、BE；②当两颗棋子都不在正中间E处时，而其中有一颗在顶点处时，有 4 种不同摆法，即AB、AF、AH、AD；③当两颗棋子都在顶点处时，有 2 种不同摆法，即AC、AI；④当两颗棋子都在除顶点和正中间之外的 4 个方格中，有 2 种不同摆法，即BD、BH．综上，共有：2+4+2+2＝10 种不同摆放方法．4．（10 分）甲从A地出发去找乙，走了 80 千米后到达B地，此时，乙已于半小时前离开B地去了C地，甲已离开A地 2 小时，于是，甲以原来的速度的 2 倍去C地．又经过了 2 小时后，甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是　 64 　 千米/小时．【分析】首先知道甲在 2 小时的路程是 80 千米，那么甲现在的速度和后来的速度都是可求的，再根据甲的时间和速度可求从B到C的路程，用路程除以乙的时间即是速度．【解答】解：甲在 2 小时走 80 千米，甲速为：80÷2＝40（千米/时）；甲速度加速变成 40×2＝80（千米/时）；甲再经过 2 小时路程为：2×80＝160（千米/时）乙路程共是 160 千米，时间是 2.5 小时，乙速为：160÷2.5＝64（千米/时）故答案为：645．（10 分）某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组．已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的 ，是只参加朗诵小组人数的 ，那么书法小组与朗诵小组的人数比是　 3 ： 4 　 ．【分析】把两个小组都参加的人数看作单位“1”，则只参加书法小组人数的分率是 1÷ ＝ ，只参加朗诵小组人数的分率是 1÷ ＝5，则参加书法小组人数的分率是 1+ ＝ ，参加朗诵小组人数的分率是 1+5＝6，然后根据比的意义解答即可．【解答】解：把两个小组都参加的人数看作单位“1”，（1+1÷ ）：（1+1÷ ）＝ ：6＝3：4答：书法小组与朗诵小组的人数比是 3：4．故答案为：3：4．6．（10 分）如图，△ABC的面积为 100 平方厘米，△ABD的面积为 72 平方厘米．M为CD边的中点，∠MHB＝90°，已知AB＝20 厘米，则MH的长度为　 8.6 　 厘米． 【分析】可以利用面积公式分别求出△ABC、△ABD的高，而已知AB＝20 厘米，再利用MH的中位线性质求出MH的长度．【解答】解：根据分析，过D，C分别作DE⊥AB交AB于E，CF⊥AB交AB于F，如图：△ABD的面积＝72＝ ，∴DE＝7.2 厘米，△ABC的面积＝100＝ ，∴CF＝10 厘米；又∵MH＝ ＝ ×（7.2+10）＝8.6 厘米．故答案是：8.6．7．（10 分）一列数a1、a2…，an…，记S（ai）为ai的所有数字之和，如S（22）＝2+2＝4，若a1＝2017，a2＝22，an＝S（an﹣1）+S（an﹣2），那么a2017等于　 10 　 ．【分析】首先要分析清楚S（ai）的含义，即ai是一个自然数，S（ai）表示ai的数字和，再根据an的递推式列出数据并找出规律．【解答】解：S（ai）表示自然数ai的数字和，又an＝S（an﹣1）+S（an﹣2），在下表中列出n＝1，2，3，4，…时的an和S（an），n anS（an）1 2017 102 22 43 14 54 9 95 14 56 14 57 10 18 6 69 7 710 13 411 11 212 6 613 8 814 14 515 13 416 9 917 13 418 13 419 8 8 20 12 321 11 222 5 523 7 724 12 325 10 126 4 427 5 528 9 929 14 530 14 531 10 132 6 6由上表可以得出：a4＝a28＝9，S（a4）＝S（a28）＝9；a5＝a29＝14，S（a5）＝S（a29）＝5；…可以得到规律：当i≥4 时，ai＝ai+24，S（ai）＝S（ai+24），2017﹣3＝2014，2014÷24＝83…22，所以：a2017＝a3+22＝a25＝10．8．（10 分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有　 4 　 种．【分析】显然，只有两种情况，分别讨论，相邻两个字互换，以及顺时针移动一个位值，或逆时针移动一个位值，最后可以求得总的不同的摆放方法．【解答】解：根据分析，分两类情况：①按顺序移动一个位置，顺时针移动一个位置，有 1 种不同摆放方法，逆时针移动一个位置，有1 种不同摆放方法；②相邻两个位置互换，则共有：2 种不同的摆放方法．综上，共有：1+1+2＝4 种不同摆放方法．故答案是：4．二、解答题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）平面上有 5 条不同的直线，这 5 条直线共形成n个交点，则n有多少个不同的数值？【分析】按题意，可以分类讨论，最后确定n的取值．【解答】解：根据分析，n＝0，即 5 条直线互相平行；n＝1，即五条直线交于一点；n＝2，3，不存在；n＝4，5，6，7，8，9，10 的情况分别如下图： n的取值共有 9 种不同的数，故答案是：9．10．（10 分）某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐．每名学生至少选择一种，也可以多选．统计结果显示：70%的学生选择苹果，40%的学生选择了香蕉．30%的学生选了梨，那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？【分析】将所有学生分成四种，即三种水果都选的人数a、同时选苹果和香蕉的人数b、同时选梨和苹果的人数c、同时选香蕉和梨的人数d，再根据选每种水果的人数列关系式，2a+b+c+d＝70+40+30﹣100＝40，再利用各个取值范围求出三种水果都选的人数最大值．【解答】解：根据分析，设学生总数为 100 人，故 70 人的学生选择苹果，40 人的学生选择了香蕉．30 人的学生选了梨，三种水果都选的学生人数有a人，同时选了苹果和香蕉的人数有b人，同时选了梨和苹果的人数有c人，同时选了香蕉和梨的人数有d人，则：2a+b+c+d＝70+40+30﹣100＝40⇒a＝ ，又∵b+c+d≥0，∴a≤ ＝20，故当b+c+d＝0 时，a取最大值 20，即占总数的 20%故答案是 20%．11．（10 分）箱子里面有两种珠子，一种每个 19 克，另一种每个 17 克，所有珠子的重量为 2017 克，求两种珠子的数量和所有可能的值．【分析】按题意，可以设每个重量的数量为未知数，19 克的珠子有x个，17 克的珠子有y个，再列出关系式，根据正整数的范围逐步取值，最后找出符合题意的值．【解答】解：根据分析，设有x个 19 克的珠子，y个 17 克的珠子，则有：19x+17y＝2017，又∵x，y均为正整数 ∴1≤x≤ ＜106，1≤y≤ ＜118；19x+17y＝2017⇒x＝ ，由余数定理，要使x为正整数，2017﹣17y必须能被 19 整除，即余数为 0，而 2017 被 9 除余数为 3，故 17y被 19 除余数也为 3，在所有被 19 除余数为 3 既小于 2017 又能被 17 整除的数只有：① 136，即 17y＝136⇒y＝8，x＝ ＝99，x+y＝99+8＝107；② 459，即 17y＝459⇒y＝27，x＝ ＝82，x+y＝82+27＝109；③ 782，即 17y＝782⇒y＝46，x＝ ＝65，x+y＝65+46＝111；④ 1105，即 17y＝1105⇒y＝65，x＝ ＝48，x+y＝48+65＝113；⑤ 1428，即 17y＝1428⇒y＝84，x＝ ＝31，x+y＝31+84＝115；⑥ 1751，即 17y＝1751⇒y＝103，x＝ ＝14，x+y＝14+103＝117．综上，两种珠子的数量和即x+y所有可能的值是：107、109、111、113、115、117．故答案是：107、109、111、113、115、117．12．（10 分）使 不为最简分数的三位数n之和等于多少．【分析】 不为最简，表明（5n+1，3n+2）＝a≠1，根据辗转相除原理有 1≠a|（5n+1）×3﹣（3n+2）×5 即＝1≠a|7，则a只能等于 7，我们可以用 5n+1 尝试来锁定答案，一次尝试可知5n+1＝1 或 6 或 11 或 16 或 21，因为 21＝3×7，所以 5n+1＝21 时 7|5n+1 成立，此时n为最小值，且为 4，其它值即可顺次找出，只需要将 4 递加 7 即可，题中让我们求的是符合条件的三位数，那么最小为 102，最大为 998，此后利用等差数列求和即可．【解答】解： 不为最简，表明（5n+1，3n+2）＝a≠1，根据辗转相除原理有 1≠a|（5n+1）×3﹣（3n+2）×5 即＝1≠a|7，则a只能等于 7，一次尝试可知 5n+1＝1 或 6 或 11 或 16 或 21，因为 21＝3×7，所以 5n+1＝21 时 7|5n+1 成立，此时n为最小值，且为 4，将 4 递加 7 即可，符合条件的三位数，那么最小为 102，最大为 998，102+109+116+…+998＝（102+998）×129÷2＝70950答：使 不为最简分数的三位数n之和等于 70950．三、解答题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）班上共有 60 位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为 1 月 12 日与 12 月I2 日的号数相同的）．结果发现，在所得到的回答中包含了由 0 到 14 的所有整数，那么，该班至少有多少个同字生日相同？【分析】同月份和同号数的回答取遍 0 到 14，即同月份和同号数的人数取遍 1 到 15，进而分析求解．【解答】解：回答中包含了由 0 到 14 的所有整数，也就是说每种回答包含的学生数量是 1 到15．由于 1+2+3+…+15＝120＝2×60， 因此不论是回答同月，还是回答同号，同月份和同号数的人数的数字不会重复（比如说，某一月份生日的人有 3 个，就不会出现生日号数为某一号的人数有 3 个），因此统计同月份或同号数的人数时，1～15 这 15 个数字每个数字都只出现一次．要使同月同日的人尽量少，则可以使月份情况或者号数情况尽量分散，例如可以将 60 拆分成：60＝1+2+3+4+5+7+8+9+10+11 这一种分散情况，不妨设这是同月份的人数，和另一种情况：60＝6+12+13+14+15，这是同号数的人数，分析最大数字 15，将 15 个同号数的人，分配到上面 10 个月份中，可知，同月同日最少会有两人．所以：该班生日相同的人数至少有 2 人．14．（15 分）将 1 至 9 填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍．已知左右格子已经填有数字 4 和 5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？【分析】按题意，1 至 9 的数字中，填入 4 和 5 之外，只剩下 7 个数，可以先求出 7 个数的和，即为 36，中间的x只可能是 3，6，9，故一一检验，即可得知x的值．【解答】解：根据分析，1+2+3+6+7+8+9＝36，填入的x是其它五个数的因数，故x只能是 3、6、9，若x＝9，则，不能每个数的周围的数字之和是该格子中所填数字的整数倍；x＝6 时，如图所示，易知x＝6 符合题意．故答案是：6．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:03:00；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800