2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组 B 卷）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：2016×2016﹣2015×2016＝　 　．2．（10 分）计算：1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20＝　 　．3．（10 分） 如图，用一条线段把一个周长是 30cm的长方形分割成一个正方形和一个小的长方形．如果小长方形的周长是 16cm，则原来长方形的面积是　 　cm2．4．（10 分）某月里，星期五、星期六和星期日各有 5 天，那么该月的第 1 日是星期　 　．5．（10 分）从 1、3、5、7、9 这 5 个数中选出 4 个不同的数填入下面 4 个方格中，使式子成立：□+□＞□×□．两种填法，如果应用加法交换律和乘法交换律后，式子相同，则认为是相同填法，则共有　 　种不同的填法．6．（10 分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向匀速行进，在距A地 60 千米处相遇．相遇后，两车继续行进，分别到达B，A后，立即原路返回，在距B地 50 千米处再次相遇．则A，B两地的路程是　 　千米．7．（10 分）黑板上先写下一串数：1，2，3，…，50，每次都擦去最前面的 4 个，并在这串数的最后再写上擦去的 4 个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不足 4 个．问：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是　 　；（2）最后 1 个所写的数是　 　．8．（10 分）一个整数有 2016 位，将这个整数的各位数字相加，再将得到的整数的各位数字相加，则最后的这个和数可能的最大值是　 　．二、简答题（每小题 5 分，共 20 分，要求写出简要过程）9．（5 分）某商店搞了一次钢笔促销活动，促销办法是：顾客买的钢笔中，每 2 支送 1 只小熊玩具，不足 2 支不送．卖出 1 支钢笔的利润是 7 元，1 只小熊玩具的进价是 2 元，这次促销活动共赚了 2011元，该商店此次促销共卖出多少支钢笔？10．（5 分）如图是一个三角形纸片折叠后的平面图形，折痕为DE，已知：∠B＝74°，∠A＝70°，∠CEB＝20°，那么∠ADC等于多少度？11．（5 分）将自然数 1，2，3，4，从小到大无间隔地排列起来，得到：1234567891011121314，这串数码中，当偶数数码首次连续出现 5 个时，其中的第一个（偶）数码所在位置从左数是第多少位？12．（5 分）从 1 到 200 这 200 个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有 2 个数的和是 5 的倍数？2016 年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组 B 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）计算：2016×2016﹣2015×2016＝　 2016 　 ．【分析】加法左右两边的算式中都有相同的因数 2016，可以根据乘法分配律简算．【解答】解：2016×2016﹣2015×2016＝2016×（2016﹣2015）＝2016×1＝2016故答案为：2016． 2．（10 分）计算：1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20＝　 144 　 ．【分析】通过观察发现，运用加法交换律与结合律把前后两数组合可以得出整 21，共 7 对，即（1+20）+（2+19）+（4+17）+（5+16）+（7+14）+（8+13）+（10+11），计算即可．【解答】解：1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20＝（1+20）+（2+19）+（4+17）+（5+16）+（7+14）+（8+13）+（10+11），＝21×7＝147故答案为：147．3．（10 分） 如图，用一条线段把一个周长是 30cm的长方形分割成一个正方形和一个小的长方形．如果小长方形的周长是 16cm，则原来长方形的面积是　 56 　 cm2．【分析】由大长方形到小长方形周长减少了：30﹣16＝14（厘米），相当于减少了两条正方形的边长，所以正方形的边长是：14÷2＝7（厘米），也就是原来长方形的宽是 7 厘米；那么原来长方形的长为：16÷2﹣7+7＝8（厘米），面积是：8×7＝56cm2．【解答】解：根据分析可得，30﹣16＝14（厘米），正方形的边长：14÷2＝7（厘米），原来长方形长：16÷2﹣7+7＝8（厘米），面积：8×7＝56（平方厘米）；答：原来长方形的面积是 56cm2．故答案为：56．4．（10 分）某月里，星期五、星期六和星期日各有 5 天，那么该月的第 1 日是星期　五　．【分析】首先根据 1 个月最多有 31 天，可得：1 个月最多有 4 个星期零 3 天；然后根据该月星期五、星期六和星期日各有 5 天，可得：该月的第 1 日是星期五，据此解答即可．【解答】解：因为 31÷7＝4（个）…3（天），所以 1 个月最多有 4 个星期零 3 天，因为该月星期五、星期六和星期日各有 5 天，所以该月的第 1 日是星期五．答：该月的第 1 日是星期五．故答案为：五．5．（10 分）从 1、3、5、7、9 这 5 个数中选出 4 个不同的数填入下面 4 个方格中，使式子成立：□+□＞□×□．两种填法，如果应用加法交换律和乘法交换律后，式子相同，则认为是相同填法，则共有　 12 　 种不同的填法．【分析】按题意，可以分类讨论，两个数的和大于两个数的乘积，而两个数的和最大为 7+9＝16，可从 7+9 开始分类讨论，最后算得总的填法．【解答】解：根据分析，两个数的和大于两个数的乘积，而两个数的和最大为 7+9＝16，①两数之和为 7+9 时，则不等式右边有 1×3、1×5、3×5 三种填法；②两数之和为 5+9 时，则不等式右边有 1×3、1×7 两种填法；③两数之和为 3+9 时，则不等式右边有 1×5、1×7 两种填法；④两数之和为 1+9 时，则不等式右边有 0 种填法；⑤两数之和为 5+7 时，则不等式右边有 1×3、1×9 两种填法；⑥两数之和为 3+7 时，则不等式右边有 1×5、1×9 两种填法；⑦两数之和为 1+7 时，则不等式右边有 0 种填法；⑧两数之和为 3+5 时，则不等式右边有 1×7 一种填法；⑨两数之和为 1+5 时，则不等式右边有 0 种填法；⑩两数之和为 1+3 时，则不等式右边有 0 种填法；综上，共有：3+2+2+0+2+2+0+1+0+0＝12． 故答案是：12．6．（10 分）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向匀速行进，在距A地 60 千米处相遇．相遇后，两车继续行进，分别到达B，A后，立即原路返回，在距B地 50 千米处再次相遇．则A，B两地的路程是　 130 　 千米．【分析】可以利用相遇时距离之比等于速度之比，列出关系式，可设AB两地间的距离为S，第一次相遇时，甲走了 60 千米，而乙走了S﹣60 千米，第二次相遇，甲又走了S﹣60+50 千米，乙又走了 60+S﹣50 千米，从而可以求出S的值．【解答】解：根据分析，设AB两地间的距离为S，第一次相遇时，甲走了 60 千米，而乙走了S﹣60 千米，第二次相遇，甲又走了S﹣60+50 千米，乙又走了 60+S﹣50 千米，则： ，解得：S＝130．故答案是：130．7．（10 分）黑板上先写下一串数：1，2，3，…，50，每次都擦去最前面的 4 个，并在这串数的最后再写上擦去的 4 个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不足 4 个．问：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是　 1275 　 ；（2）最后 1 个所写的数是　 755 　 ．【分析】按题意，每次擦去的 4 个数之和都写在后面，擦到最后只剩下 49 和 50，但后面均为四个数的和，个数为 12 个，加上 49 和 50 两个数，共 14 个数，再继续循环，这次首先擦掉的是 49 和50 及 1+2+3+4 的和，及 5+6+7+8 的和，依此继续下去，最后只剩下，4 组数的和，即：25+26+27+28，29+30+31+32，33+34+35+36，37+38+39+40，此时这一组数的和为一个数，故最后剩下的数为这 4 组数的和，即：25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40＝520，而最后一个写的数，可通过总数算得．【解答】解：根据分析，每次擦去的 4 个数之和都写在后面，擦到最后只剩下 49 和 50，但后面均为四个数的和，个数为 12 个，加上 49 和 50 两个数，共 14 个数，再继续循环，这次首先擦掉的是 49 和 50 及 1+2+3+4 的和，及 5+6+7+8 的和，依此继续下去，最后只剩下，4 组数的和，即：25+26+27+28＝106，29+30+31+32＝122，33+34+35+36＝138，37+38+39+40＝154，而四组数的和为：106+122+138+154＝520，当黑板上只剩下：41+42+43+44＝170；45+46+47+48＝186；49+50+1+2+3+4+5+6+7+8＝135；9+10+11+12+…+24＝264；25+26+27+28+…+40＝520；即按顺序排为：170、186、135、264、520 五个数，此时最后写的数应是：170+186+135+264＝755．故最后只剩下两个数：520 和 755，最后黑板上剩下的这些数的和是；520+755＝1275，故答案是：1275；755．8．（10 分）一个整数有 2016 位，将这个整数的各位数字相加，再将得到的整数的各位数字相加，则最后的这个和数可能的最大值是　 36 　 ．【分析】当这个 2016 位的整数的每个数字都为 9 时，这个数的数字和最大，为 9×2016＝18144，所以任何 2016 位数的数字和都不大于 18144，再分析这个不大于 18144 的数的数字和．【解答】解：2016 位数的数字和最大的情况是： ，最大数字和为：9×2016＝18144，问题变成分析一个小于等于 18144 的数的数字和的最大值，首先考虑 17999，9999，可知：9999 的数字和最大为 36．故本题答案为：36．二、简答题（每小题 5 分，共 20 分，要求写出简要过程）9．（5 分）某商店搞了一次钢笔促销活动，促销办法是：顾客买的钢笔中，每 2 支送 1 只小熊玩具，不足 2 支不送．卖出 1 支钢笔的利润是 7 元，1 只小熊玩具的进价是 2 元，这次促销活动共赚了 2011元，该商店此次促销共卖出多少支钢笔？【分析】按题意，卖出 1 支钢笔的利润是 7 元，1 只小熊玩具的进价是 2 元，每 2 支送 1 只小 熊玩具，利润为 2×7﹣2＝12 元，可设有x个人买了两支钢笔，则利润为 12x，而促销活动赚了 2011元，可知，除了买两支钢笔的顾客，还有只买一支钢笔的顾客，可设y人，可列关系式，分情况讨论求解．【解答】解：根据分析，每 2 支送 1 只小熊玩具，利润为 2×7﹣2＝12 元，设有x个人买了两支钢笔，则利润为 12x，只买一支钢笔的顾客y人，利润为 7y，故有：12x+7y＝2011，因x，y均为非负整数，解得：x＝167，y＝1，此时促销共卖出的钢笔总数为：2x+y＝2×167+1＝335（支）；故答案是：335 支．10．（5 分）如图是一个三角形纸片折叠后的平面图形，折痕为DE，已知：∠B＝74°，∠A＝70°，∠CEB＝20°，那么∠ADC等于多少度？【分析】可以利用三角形的外角和以及四边形的内角和，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣74°﹣70°＝36°，∠COE＝180°﹣∠C﹣∠CEO＝180°﹣36°﹣20°＝124°，又∵∠OED+∠ODE＝∠COE＝124°，根据四边形内角和得知：∠OED+∠ODE+∠CDA+∠A+∠B＝360°，最后求得∠ADC的度数．【解答】解：根据分析，如图，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣74°﹣70°＝36°，∠COE＝180°﹣∠C﹣∠CEO＝180°﹣36°﹣20°＝124°，又∵∠OED+∠ODE＝∠COE＝124°，根据四边形内角和得知：∠OED+∠ODE+∠CDA+∠A+∠B＝360°，∴∠CDA＝360°﹣∠COE﹣∠A﹣∠B＝360°﹣124°﹣74°﹣70＝92°故答案是：92°11．（5 分）将自然数 1，2，3，4，从小到大无间隔地排列起来，得到：1234567891011121314，这串数码中，当偶数数码首次连续出现 5 个时，其中的第一个（偶）数码所在位置从左数是第多少位？【分析】首先按照位数进行分析，可知 2 位数不满足题意三位数中 100﹣199 也是不满足题意的，继续推理即可．【解答】解：依题意可知：首先分析如果是 2 位数那么不能连续出现 5 个偶数，考虑三位数如果是 100﹣200 之间的数字每 3位必须有 1 不符合题意．200201 恰好为 5 个偶数连接．满足题意．1﹣9 共 9 个数码；10﹣99 共 90 个数共 180 个数码．100﹣199 共 100 个数字 300 个数码．再来一个即是题意要求的数字．共 9+180+300+1＝490．答：当偶数数码首次连续出现 5 个时，其中的第一个（偶）数码所在位置从左数是 490 个．12．（5 分）从 1 到 200 这 200 个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有 2 个数 的和是 5 的倍数？【分析】首先把数字按照除以 5 的余数分别是 0，1，2，3，4 进行分类．然后余数是 1，4 的一组不能同时出现，余数是 2，3 的一组不能同时出现．余数是 0 的只能出现 1 个．【解答】解：依题意可知：首先按照余数进行分类数字除以 5 的余数是 1 和 2 的即可．200÷5＝40（组），每一组都有两个数字余数分别是 1 和 2．40×2＝80（个）；再找出一个数字余数是 0 的数字．再来一个就一定有 2 个数字和是 5 的倍数了80+1+1＝82（个）综上所述：至少选出 82 个数字才能保证其中必有 2 个数的和是 5 的倍数．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:01:53；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800