2011 年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（六年级）一、填空题（每题 8 分，共 40 分）1．（8 分）今天是 2010 年 12 月 19 日，欢迎同学们参加北京第 27 届“数学解题能力展示”活动．那么，计算结果的整数部分是　 　．2．（8 分）某校有 2400 名学生，每名学生每天上 5 节课，每位教师每天教 4 节课，每节课是一位教师给 30 名学生讲授．那么该校共有教师　 　位．3．（8 分）张老师带着一些钱去买签字笔，到商店后发现这种笔降价了 25%，结果他带的钱恰好可以比原来多买 25 支．那么降价前这些钱可以买签字笔　 　支．4．（8 分）如图为某婴幼儿商品的商标，由两颗心组成，每颗心都是由一个正方形和两个半圆拼成．若两个正方形的边长分别为 40mm，20mm，那么，阴影图形的面积是　 　 mm2．（π 取 3.14）5．（8 分）用 4.02 乘以一个两位整数，得到的乘积是一个整数，那么这个乘积的 10 倍是　 　．二、填空题（每题 10 分，共 50 分）6．（10 分）某支球队现在的胜率为 45%，接下来的 8 场比赛中若有 6 场获胜，则胜率将提高到 50%．那么现在这支球队共取得了　 　场比赛的胜利．7．（10 分）定义运算：a♥b＝ ，算式 的计算结果是　 　．8．（10 分）在△ABC中，BD＝DE＝EC，CF：AC＝1：3．若△ADH的面积比△HEF的面积多 24 平方厘米，求三角形ABC 的面积是多少平方厘米？9．（10 分）一个正整数，它的 2 倍的约数恰好比它自己的约数多 2 个，它的 3 倍的约数恰好比它自己的约数多 3 个．那么，这个正整数是　 　．10．（10 分）如图，一个 6×6 的方格表，现将数字 1～6 填入空白方格中，使得每一行、每一列数字 1～6 都恰好出现一次；图中已经填了一些数字．那么剩余空格满足要求的填写方法一共有　 　种．三、填空题（每题 12 分，共 60 分）11．（12 分）有一个圆柱体，高是底面半径的 3 倍．将它如图分成大、小两个圆柱体，大圆柱体的表面积是小圆柱体的 3 倍．那么，大圆柱体的体积是小圆柱体的　 　倍． 12．（12 分）某岛国的一家银行每天 9：00～17：00 营业．正常情况下，每天 9：00 准备现金 50 万元，假设每小时的提款量都一样，每小时的存款量也一都一样，到 17：00 下班时有现金 60 万元．如果每小时提款量是正常情况的 4 倍的话，14：00 银行就没现金了．如果每小时提款量是正常情况的 10倍，而存款量减少到正常情况的一半的话，要使 17：00 下班时银行还有现金 50 万元，那么 9：00开始营业时需要准备现金多少万元？13．（12 分）40 根长度相同的火柴棍摆成如图，如果将每根火柴棍看作长度为 1 的线段，那么其中可以数出 30 个正方形来．拿走 5 根火柴棍后，A，B，C，D，E五人分别作了如下的判断：A：“1×1 的正方形还剩下 5 个．”B：“2×2 的正方形还剩下 3 个．”C：“3×3 的正方形全部保留下来了．”D：“拿走的火柴棍所在直线各不相同．”E：“拿走的火柴棍中有 4 根在同一直线上．”已知这 5 人中恰有 2 人的判断错了，那么剩下的图形中还能数出　 　个正方形．14．（12 分）甲、乙、丙三人同时从A出发去B，甲、乙到B后调头回A，并且调头后速度减少到各自原来速度的一半．甲最先调头，调头后与乙在C迎面相遇，此时丙已行 2010 米；甲又行一段后与丙在AB中点D迎面相遇；乙调头后也在C与丙迎面相遇．那么，AB间路程是　 　米．15．（12 分）已知算式 ﹣ + ﹣ ＝12.19 中的A，B，C，D，E，F，G，H，I表示 1～9 中各不相同的数字．那么，五位数 ＝　 　．2011 年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（六年级）参考答案与试题解析一、填空题（每题 8 分，共 40 分）1．（8 分）今天是 2010 年 12 月 19 日，欢迎同学们参加北京第 27 届“数学解题能力展示”活动．那么，计算结果的整数部分是　 16 　 ．【解答】解：＝2.01+12.19+2.7＝16.9答：整数部分为 16．2．（8 分）某校有 2400 名学生，每名学生每天上 5 节课，每位教师每天教 4 节课，每节课是一位教师给 30 名学生讲授．那么该校共有教师　 100 　 位．【解答】解：（2400×5）÷（4×30）＝12000÷120＝100（位）答：该校共有教师 100 位．故答案为：100． 3．（8 分）张老师带着一些钱去买签字笔，到商店后发现这种笔降价了 25%，结果他带的钱恰好可以比原来多买 25 支．那么降价前这些钱可以买签字笔　 75 　 支．【解答】解：设原来可以买x支笔，由题意得： 1×x＝（x+25）×（1﹣25%）， x＝（x+25）×0.75， x＝0.75x+18.75，0.25x＝18.75， x＝75；答：降价前这些钱可以买签字笔 75 支．故答案为：75．4．（8 分）如图为某婴幼儿商品的商标，由两颗心组成，每颗心都是由一个正方形和两个半圆拼成．若两个正方形的边长分别为 40mm，20mm，那么，阴影图形的面积是　 2142 　 mm2．（π 取 3.14）【解答】解：如图所示：（402+π×202）﹣（202+π×102）＝1600+400π﹣400﹣100π＝1200+300π＝1200+300×3.14＝1200+942＝2142（平方毫米）．答：阴影部分的面积是 2142 平方毫米．故答案为：2142．5．（8 分）用 4.02 乘以一个两位整数，得到的乘积是一个整数，那么这个乘积的 10 倍是　 2010 　 ．【解答】解：4.02 乘以一个两位整数，得到的乘积是一个整数，这个两位数是 50，4.02×50×10＝2010．答：这个乘积的 10 倍是 2010．故答案为：2010．二、填空题（每题 10 分，共 50 分）6．（10 分）某支球队现在的胜率为 45%，接下来的 8 场比赛中若有 6 场获胜，则胜率将提高到 50%．那么现在这支球队共取得了　 18 　 场比赛的胜利．【解答】解：假设已进行了x场比赛，则（x+8）×50%＝45%x+6 0.5x+4＝0.45x+6 0.05x＝2 x＝40；45%x＝40×45%＝18（场）答：现在该队取得 18 场比赛胜利． 故答案为：18．7．（10 分）定义运算：a♥b＝ ，算式 的计算结果是　 201 　 ．【解答】解：a♥b＝ ＝ ，♥2010＝ ＝ ，♥2010＝ ＝ ，找到了规律：有n个 2010，就得现在有 9 颗 就有♥ 10 个 2010，所以结果是 ＝201；故答案为：201．8．（10 分）在△ABC中，BD＝DE＝EC，CF：AC＝1：3．若△ADH的面积比△HEF的面积多 24 平方厘米，求三角形ABC 的面积是多少平方厘米？【解答】解：△ADH的面积比△HEF的面积多 24 平方厘米，则三角形ADE的面积比三角形FDE的面积多 24 平方厘米，又因三角形FDE和三角形FEC的面积相等，也就是说三角形AEC比三角形FEC的面积多 24 平方厘米，又因多出的 24 平方厘米，是三角形AEC的面积的 ，所以三角形AEC的面积是 24÷ ＝36 平方厘米，则三角形ABC的面积是 36÷ ＝108（平方厘米），答：三角形ABC的面积是 108 平方厘米．9．（10 分）一个正整数，它的 2 倍的约数恰好比它自己的约数多 2 个，它的 3 倍的约数恰好比它自己的约数多 3 个．那么，这个正整数是　 12 　 ．【解答】解：这个数只能含 2 和 3 两种质因数，因为如果它还有别的质因数，那么最后增加的个数要比给定的数字大．设x＝2a3b，它的约数（a+1）（b+1）个，它的 2 倍为 2a+13b，它的约数有（a+1+1）（b+1）个，则：（a+1+1）（b+1）﹣（a+1）（b+1）＝b+1＝2，求出b＝1；同理，它的 3 倍为 2a，它的约数为（a+1）（b+1+1）个，比原数多 3 个，即（a+1）（b+1+1）﹣（a+1）（b+1）＝a+1＝3，求出a＝2，所以这个数的形式是 223＝12；答：这个正整数是 12．故答案为：12． 10．（10 分）如图，一个 6×6 的方格表，现将数字 1～6 填入空白方格中，使得每一行、每一列数字 1～6 都恰好出现一次；图中已经填了一些数字．那么剩余空格满足要求的填写方法一共有　 16 　 种．【解答】解：如下图，四个“□”格中只能填入 2 或 5，共 2 种填法；四个“△”中只能填入 3 或 4.2 种填法．√1，√2，√3，√4 中，1 的填法有 2 种，则 6 的位置确定．四个“○”和四个“√”相同，有 2 种填法．由乘法原理，共 2×2×2×2＝16 种填法．故答案为：16．三、填空题（每题 12 分，共 60 分）11．（12 分）有一个圆柱体，高是底面半径的 3 倍．将它如图分成大、小两个圆柱体，大圆柱体的表面积是小圆柱体的 3 倍．那么，大圆柱体的体积是小圆柱体的　 11 　 倍．【解答】解：设这个圆柱体底面半径为r，那么高为 3r，小圆柱体高为h，则大圆柱体高为（3r﹣h）；因为大圆柱体的表面积是小圆柱体的 3 倍，所以h＝ ，则大圆柱体高为r；又由于两圆柱体底面积相同，r÷ ＝11，所以大圆柱体体积也是小圆柱体体积的 11 倍．故答案为：11．12．（12 分）某岛国的一家银行每天 9：00～17：00 营业．正常情况下，每天 9：00 准备现金 50 万元，假设每小时的提款量都一样，每小时的存款量也一都一样，到 17：00 下班时有现金 60 万元．如果每小时提款量是正常情况的 4 倍的话，14：00 银行就没现金了．如果每小时提款量是正常情况的 10倍，而存款量减少到正常情况的一半的话，要使 17：00 下班时银行还有现金 50 万元，那么 9：00开始营业时需要准备现金多少万元？【解答】解：9：00～17：00 是 8 个小时，9：00～14：00 是 5 个小时，（60﹣50）÷8＝1.25（元万/时），50÷5＝10（万元/时）， 提款速度为：（10+1.25）÷（4﹣1），＝11.25÷3，＝3.75（万元/时），存款速度为：3.75+1.25＝5（万元/时），（3.75×10﹣5÷2）×8+50，＝（37.5﹣2.5）×8+50，＝35×8+50，＝280+50，＝330（万元）．答：需要准备现金 330 万元．13．（12 分）40 根长度相同的火柴棍摆成如图，如果将每根火柴棍看作长度为 1 的线段，那么其中可以数出 30 个正方形来．拿走 5 根火柴棍后，A，B，C，D，E五人分别作了如下的判断：A：“1×1 的正方形还剩下 5 个．”B：“2×2 的正方形还剩下 3 个．”C：“3×3 的正方形全部保留下来了．”D：“拿走的火柴棍所在直线各不相同．”E：“拿走的火柴棍中有 4 根在同一直线上．”已知这 5 人中恰有 2 人的判断错了，那么剩下的图形中还能数出　 14 　 个正方形．【解答】解：（1）每拿走 1 根火柴棍，最多减少 2 个 1×1 小正方形，拿 5 根最多减少 10 个1×1 正方形，所以 1×1 的正方形至少还有 6 个，A必错；（2）显然D、E矛盾，必有 1 错，故B、C都对；（3）由于C正确，画出组成 3×3 的火柴，发现只可去掉第三行和第三列的所有火柴，因此D错误；（4）拿走同一直线的 4 根火柴（如图），还需要在第三列取走一根．由于 2×2 的正方形有三个，因此只能取走第三列的第一根．（5）正方形：1×1 的 6 个，2×2 的 3 个．3×3 的 4 个，4×4 的 1 个，共 14 个．答：剩下的图形中还能数出 14 个正方形．故答案为：14．14．（12 分）甲、乙、丙三人同时从A出发去B，甲、乙到B后调头回A，并且调头后速度减少到各自原来速度的一半．甲最先调头，调头后与乙在C迎面相遇，此时丙已行 2010 米；甲又行一段后与丙在AB中点D迎面相遇；乙调头后也在C与丙迎面相遇．那么，AB间路程是　 5360 　 米．【解答】解：设全程为S，甲、丙在D点相遇所需时间为t，∵由于甲折返后与丙在中点相遇，∴甲共走了 个全程，丙走了 个全程，∵甲折返后的速度减半， ∴甲执返前后所需时间一样，∴S甲＝S＝tV甲+t•V甲＝V甲t，∵S丙＝S＝V丙t，∴S：S＝V甲：V丙∴V甲：V丙＝4：1，AC：BC＝3：1按照原速度走，乙可以走 1.5 个AB的距离＝2010×4＝8040，则AB距离为：8040÷1.5＝5360（米）．答：AB间路程是 5360 米．故答案为：5360．15．（12 分）已知算式 ﹣ + ﹣ ＝12.19 中的A，B，C，D，E，F，G，H，I表示 1～9 中各不相同的数字．那么，五位数 ＝　 34179 　 ．【解答】解：由于差 12.19＝12 ，即差出现了 ，所以所以通分后的分母等于 100，也就是说GH是 25 的倍数，由于 2010 中的约数中已含有一个 2，则I是 8 的倍数．（GH和I互质，故不能是 100 和 1、20 和 5、10 和 10）．所以所以I＝8，12.19+ ＝263.44．（1）如果GH＝75， 的小数部分为 0.44，说明F一定是 3 的倍数即 3、6、9．经讨论，不存在这样的F，故GH＝75 不成立．（2）如果GH＝25，则 的小数部分为 0.44，F2 除以 25 余 11，所以F＝6，263.44﹣ ＝262．用剩余的 1，3，4，7，9 凑成差为 262 的两个数：341﹣79＝262．所以这个五个数是：34179．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:09:02；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800