总分第十八届华罗庚金杯少年邀请赛决赛试题 A（小学中年级组）（时间 2013 年 4 月 20 日 10：00～11：30）一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1．计算: (2014×2014+2012)-2013×2013________. 解析：(2014×2014+2012)-2013×2013=（2013+1）×（2013+1）+2013—1-2013×2013=2013×2013+2013+2013+1+2013-1-2013×2013=6039或用平方差公式。(2014×2014+2012)-2013×2013=20142-20132+2012=2012+2013+2014=6039考试中最直接的方法，死算也 OK。2．将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平, 使三角形DCF落在三角形DEF的位置, 顶点E恰落在边AB上. 已知∠1＝20°, 那么∠2 是________度. 解析：因为翻折，∠CFD=∠EFD=90°-22°=68°∠2=180°-68°-68°=44°3．亮亮上学, 若每分钟行 40 米, 则 8 : 00 准时到校; 若每分钟行 50 米, 则 7 : 55 到校. 亮亮的家与学校的距离是________米. 解析：行程型盈亏问题。每分钟行 40 米,刚好够分；若每分钟行 50 米，则少 5×50=250 米所以 250÷（50-40）=25 分钟，亮亮的家与学校的距离是 25×40=1000 米.法二：六年级可以用。走同样路程，速度比与时间成反比，速度比为 4:5，则时间比为 5:4,8:00-7:55=5 分钟，则若每分钟行 40 米,亮亮用时 5÷（5-4）×5=25 分钟，所以亮亮的家与学校的距离是 25×40=1000 米.4．第一次操作将图 a 左下角的正方形分为四个小正方形, 见图 b; 第二次操作再将图 b 左下角的小正方形分为四个更小的正方形, 见图 c; 这样继续下去, 当完成第五次操作时, 得到的图形中共有________个正方形. 解析：找规律。图 a 有 5 个正方形，以后每次操作将一个正方形数目变成四个小正方形，每次增加4 个正方形。所以答案为 5+5×4=25。5．“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”. 若相同的汉字代表 0 至 9 中的相同数字, 不同的汉字代表不同的数字, 且“大”>“二”, 则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是________.解析：根据题意，“熊”=1，“大”ד二”<10,则“大”+“二”<10；“大”ד二”>9,则“大”+“二”<9；枚举：“熊二”=10，弟为 0，“熊大”没有可以取的值。因为不同的汉字代表不同的数字；“熊二”=12，“熊大”可以为 13,14,15,16（舍去，数字重复）；“熊二”=13，“熊大”可以为 14,15（舍去，数字重复）；“熊二”=14，“熊大”没有可以取的值。所以“熊兄弟”代表的三位数之和是：12×（13+14+15）+13×14=6866．鸡兔同笼, 共有 40 个头, 兔脚的数目比鸡脚的数目的 10 倍少 8 只, 那么兔有________只. 解析：逼近法列表枚举，由于兔脚是鸡脚的 9 倍多，而鸡兔数量相同时，兔脚是鸡脚两倍，因此兔比鸡多，我们可以假设兔有 35 只，上下调整，检验得答案兔子 35 34 33兔脚 140136132鸡脚 10 12 14 兔脚与鸡脚的倍数>10 倍>10 倍可列方程求解。设兔有 x 只，则鸡有（40-x）只，根据脚的倍数关系可列方程：4x+8=10×2×（40-x）解得 x=33。法三：兔脚的数目比鸡脚的数目的 10 倍少 8 只，兔的只数比鸡的只数的 5 倍少 2 只，所以，鸡的只数为（40+2）÷（5+1）=7 只，兔子有 40-7=33 只。法四：设鸡脚为 1 份，则兔脚为 10 份少 8 只，如果将鸡看做兔，因为一只兔子的脚是一只鸡的脚的 2 倍，则总脚数增加一份，总数为 40×4=160 只，一份为（160+8）÷（10+1+1）=14，所以鸡有14÷2=7 只，兔子有 40-7=33 只。7．如图所示的手串中, 从挂坠的珠子开始逆时针将珠子 1 至 22 依次编号. 小明玩数珠子游戏, 规则是: 从 1 号珠子开始顺时针逐个珠子连续地数自然数, 但每当 数到含数字 7 或7 的倍数的数时就跳过它, 直接数下一个数. 例如: 数到 6 时下一 个数 8, 数到 13时下一个数 15, ……. 那么数到 100 时应落在第________号珠子 上．解析：跳过 7 的倍数，100 以内 7 的倍数有[100÷7]=14 个； 数到 100 时，应该数了 86 个数 100-14=86，86÷22=3…20，数到 100 时应落在第 20 号珠子上．8．布袋中有 60 个彩球, 每种颜色的球都有 6 个. 蒙眼取球, 要保证取出的球中有三个同色的球, 至少要取出________个球. 解析：60÷6=10，有 10 种彩球，考虑最不利情况，每种彩球都拿了 2 个，再拿一个就能保证取出的球中有三个同色的球,所以答案为 2×10+1=21。二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程） 9．一块长方形的地ABCD分成如图所示的两个长方形, 分别承包给甲、乙两户. 甲户的蔬菜大棚与乙户的鸡场面积相等, 剩下的部分甲户比乙户的面积多 96 亩. 已知BF=3CF, 那么长方形ABCD的总面积是多少亩？ 解析：BF=3CF，所以甲户的长方形面积是乙户的长方形面积的 3 倍，甲户的蔬菜大棚与乙户的鸡场面积相等, 剩下的部分甲户比乙户的面积多 96 亩.则说明甲户的长方形面积比乙户的长方形面积多 96亩，根据差倍问题，乙户的长方形面积为 96÷（3-1）=48 亩，所以长方形ABCD的总面积是48×（1+3）=192 亩10．右图是U, V, W, X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量. 如 果每辆车都有 50 升油, 那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米? 解析：（50÷20）×100+（50÷25）×100+（50÷5）×100+（50÷10）×100=250+200+1000+500=195011．甲、乙、丙、丁四人分 2013 块糖果, 甲分得的糖果比乙的 2 倍多 10 块, 比丙的 3 倍多 18 块, 比丁的 5 倍少 55 块. 那么甲分得糖果多少块？ 解析： 由甲是乙的 2 倍多 10 块, 是丙的 3 倍多 18 块, 是丁的 5 倍少 55 块, 得 甲-10=2×乙, 甲-18=3×丙, 甲+55=丁×5 ；即 15×甲-150=30×乙, 10×甲-180=30×丙, 6×甲+330=30×丁三式相加得 31×甲=30×乙+30×丙+30×丁 即 61×甲=30×甲+30×乙+30×丙+30×丁 又 甲 + 乙 + 丙 + 丁 = 2013, 所以 30×2013=30×甲+30×乙+30×丙+30×丁 所以甲=30×2013÷61=990 块。列方程解简单很多。设甲分的 x 块。x +x- 102+x- 183+x+555=2013x=99012．编号从 1 到 10 的 10 个白球排成一行, 现按照如下方法涂红色: 1）涂 2 个球; 2）被涂色的 2个球的编号之差大于 2. 那么不同的涂色方法有多少种? 解析：枚举法。第一个球涂 1 号，则另一个球可涂 4～10；第一个球涂 2 号，则另一个球可涂 5～10；第一个球涂 3 号，则另一个球可涂 6～10；第一个球涂 4 号，则另一个球可涂 7～10；第一个球涂 5 号，则另一个球可涂 8～10；第一个球涂 6 号，则另一个球可涂 9～10；第一个球涂 6 号，则另一个球可涂 10；所以，不同的涂色方法有 7+6+5+4+3+2+1=28 种。