复变函数与积分变换主 题：第八章 拉普拉斯变换第一节 拉普拉斯变换的概念内 容：通过上一章的学习，我们了解到傅里叶变换的存在条件是比较强的，要求被变换的函数不仅在有限区间上满足狄利克雷条件，而且要求函数在(−∞,+∞ )上绝对可积。这个条件实际上很苛刻，很多常见的函数甚至是很简单的函数，如多项式函数、正弦函数、余弦函数、单位阶跃函数等都不满足这个存在条件，致使傅里叶变换的应用受到很大的限制。本章将介绍一种应用较为广泛、能够克服傅里叶变换不足的积分变换—拉普拉斯变换。本周学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、深刻理解拉普拉斯变换及其逆变换的概念，注意拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别、联系2、理解拉普拉斯变换的存在定理基本概念：拉普拉斯变换及其逆变换知识点：拉普拉斯变换的存在定理第一节、拉普拉斯变换的概念（要求达到“领会”层次）一、拉普拉斯变换定义：设函数f (t )在t≥0时有定义，且含复参变量 s 的积分∫0+∞f (t )e−stdt在 s 的某区域内收敛，则称由这个积分确定的函数F( s )=∫0+∞f (t )e−stdt为f (t )的拉普拉斯变换，简称为f (t )的拉氏变换，并记为L[ f (t )]，即L[ f (t )]=F (s)=∫0+∞f (t ) e−stdt在式子F( s )=∫0+∞f (t )e−s tdt中，称F( s )为f (t )的像函数；称f (t )为F( s )的像原函数或F( s )的拉氏逆变换，记为f (t )=L−1[ F (s )]。事实上，我们从下面可以看出傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换的关系： F[ f (t )u (t )e− β  t]=∫−∞+∞f (t )u(t ) e−β te− j  ω tdt=∫0+∞f (t ) e−(β + jω )tdt令s=β + jω，则F[ f (t )u (t )e− β  t]=∫0+∞f (t ) e−s tdt=F (s )=L[ f (t )]由此可以知道，f (t )的拉普拉斯积分变换就是f (t )u(t )e−β t的傅里叶积分变换，首先通过单位阶跃函数u(t )使函数f (t )在t<0的部分为 0，其次对函数f (t )在t>0的部分乘一个衰减的指数函数e−β t以降低其增长速度，这样就有希望使函数f (t )u(t )e−β t满足傅里叶积分变换的条件，从而对它进行傅里叶积分变换。典型例题：例 1、求单位阶跃函数u(t )={1 , t>00 , t<0的拉氏变换解：根据拉氏变换的定义，L[u(t )]=∫0+∞e−stdt这个广义积分在Re s>0时收敛，而且有∫0+∞e−stdt=−1se−st|+∞0=1s所以L[u(t )]=1s(Re s >0 )例 2、求指数函数f (t )=ek t的拉氏变换（k 为实数）解：L[ f (t )]=∫0+∞ek te−s  tdt=∫0+∞e−(s− k ) tdt=−1s−ke−( s−k )t|+∞0=1s−k所以L[ek  t]=1s−k(Re ( s )>k )例 3、求正弦函数f (t )=sin kt (k为实数）的拉氏变换解：L[sin kt ]=∫0+∞sin kte−stdt=e−sts2+k2(−s⋅sin kt−k cos kt )|+∞0=ks2+k2(Re s >0 )同理可求得余弦函数f (t )=cos kt (k为实数）的拉氏变换[cos kt]=ss2+k2( Re s>0 )[cos kt ]=ss2+k2( Re s>0)二、拉普拉斯变换的存在定理若函数f (t )满足： （1）在t≥0的任一有限区间上分段连续；（2）当t →+∞时，f (t )的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数M>0及c≥0，使得|f (t )|≤Mect,(0≤t <+ ∞)，则f (t )的拉氏变换F( s )=∫0+∞f (t ) e−stdt在半平面Re( s )>c上一定存在，并且在Re( s )>c的半平面内，F( s )为解析函数。证明：设s=β + jω，则|e−s t|=e−β t，所以|F( s )|=|∫0+∞f (t )e−s tdt|≤M∫0+∞e−（ β−c )tdt由Re( s )=β >c，可以知道右端积分在上半平面上收敛。关于解析性的证明省略。注 1：大部分常用函数的拉普拉斯变换都存在注 2：存在定理的条件是充分但非必要条件对于任意函数来说，其拉普拉斯变换有三种情况，或者不存在，或者在整个复平面上存在，或者在一个半平面内存在。三、单位脉冲函数δ (t )的拉氏变换对函数f (t )，若f (t )在 t=0 处有界，则∫0−0+f (t ) e−stdt =0，且∫0+∞f (t )e−stdt=∫0−+∞f (t ) e−stdt=∫0++∞f (t ) e−stdt但对脉冲函数δ (t )，由于∫0−0+δ (t )dt =∫−∞+∞δ(t )dt = 1因此∫0−+∞δ(t )d t =∫0−0+δ (t )dt +∫0++∞δ (t )dt ¿∫0++ ∞δ (t )dt那 么 在 拉 氏 变 换 的 定 义 中 ， 积 分 式∫0+∞f (t )e−s tdt是 理 解 成∫0−+∞f (t ) e−stdt还 是 理 解 成∫0++∞f (t ) e−stdt是个问题。为了讨论这一情况，将函数f (t )在t≥0时有定义扩充为t>0及t=0的一个邻域内有定义。这样拉氏变换的定义L[ f (t )]=∫0+∞f (t )e−stdt应理解为∫0−+∞f (t ) e−stdt，即L[ f (t )]=∫0+∞f (t )e−stdt=∫0−+∞f (t ) e−stdt =∫0−0+f (t )e−stdt +∫0−+∞f (t )e−stdt典型例题：例、求单位脉冲函数δ (t )的拉氏变换解：L[δ (t )]=∫0+∞δ (t )e−stdt=∫0−+∞δ(t ) e−s tdt =∫−∞+∞δ (t )e−stdt =e−st|t =0=1 一般地L[δ (t −t0)]=∫0+∞δ (t−t0) e−stdt=e−st0, t0¿0通常记∫0++∞f (t ) e−stdt =L+[ f (t )]，∫0−+∞f (t ) e−stdt =L−[ f (t )]