2010年中考数学压轴题（六）及解答
发布时间：2025-01-13 09:01:15浏览次数：352010 年中考数学压轴题（六）及解答136、（2010 年四川省成都市）27．（本题满分 10 分）已知：如图， 内接于 ， 为直径，弦 于 ， 是 的中点，连结 并延长交 的延长线于点 ，连结 ，分别交 、于点 、 ． （1）求证： 是 的外心； （2）若 ,求 的长； （3）求证： ．【解答】27. （1）证明：∵C 是 的中点，∴ ，∴∠CAD= ABC∠∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°。∴∠CAD+ AQC=90°∠又 CE AB⊥ ，∴∠ABC+ PCQ=90°∠ ，∴∠AQC= PCQ∠ ，∴在△PCQ 中，PC=PQ，∵CE⊥直径 AB，∴ ，∴ ，∴∠CAD= ACE∠ 。∴在△APC 中，有 PA=PC，∴PA=PC=PQ，∴P 是△ACQ 的外心。（2）解：∵CE⊥直径 AB 于 F，∴在 Rt BCF△ 中，由 tan ABC=∠ ，CF=8，得 。∴由勾股定理，得 ，∵AB 是⊙O 的直径，∴在 Rt ACB△ 中，由 tan ABC=∠ ， ，得 。易知 Rt ACB Rt QCA△ ∽ △ ，∴ ，∴ 。（3）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°∴∠DAB+ ABD=90°∠又 CF AB⊥ ，∴∠ABG+ G=90°∠ ，∴∠DAB= G∠ ；∴Rt AFP Rt GFB△ ∽ △ ，∴ ，即第 1 页 共 33 页
∴BDDH=CEEG ∴ABBD=BDDH………………………………………8 分 ∴(ABBD)2=(BDDH)2，∵S1S2=(ABBD)2,S2S3=(BDDH)2 ∴S1S2=S2S3即S22=S1⋅S2……………………………9 分143、（2010 年四川省凉山市）27．（本题满分 11 分）已知：抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)，顶点 C（1，-4），与 x 轴交于 A、B 两点，A（-1，0）． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，以 AB 为直径作圆，与抛物线交于点 D，与抛物线的对称轴交于 E，依次连接 A、D、B、E，点 Q 为 AB 上一个动点（Q 与 A、B 两点不重合），过点 Q 作 QF AE⊥ 于 F，QG DB⊥于 G，请判断 是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若点 H 是线段 EQ 上一点，过点 H 作MN EQ⊥ ，MN 分别与边 AE、BE 相交于 M、N（M 与 A、E 不重合，N 与 E、B 不重合），请判断 是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．【解答】27、解：（1）设抛物线解析式为y=a( x−1)2−4 ………………1 分 将 A（-1，0）带入y=a( x−1)2−4 得a=1 ……………………………………………2 分∴y=( x−1)2−4即y=x2−2 x−3……………………………………3 分 （2） 是定值 1…………………………………4 分 ∵AB 是直径第 10 页 共 33 页（第 27 题）QFBE+QGAD
∴∠AEB=90° ∵QF AE⊥∴QF BE∥ ∴ 同理可得 ………………………………5 分 ∴ ∴ 为固定值 1.…………………………6 分 （3） 成立……………………………………7 分∵直线 EC 为抛物线对称轴 ， ∴EC 垂直平分 AB ∴AE=EB ， ∴∠FAQ=45° ∴AF=FQ……………………………………………8 分∵QF BE∥∴∴ ………………………………………9 分∵MN EQ ⊥ ，∴∠QEF= MNE∠ ，又∵∠QFE= MEN=90°∠ ∴△QEF MNE≌△∴ ……………………………………10 分 ∴ ……………………………………11 分144、（2010 年四川省泸州市 B 卷）7.(本题满分 l0 分) 如图 9，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，且 AE 与 DE 分别平分∠BAD 和∠ADC。 (1)求证：AE⊥DE； (2)设以 AD 为直径的半圆交 AB 于 F，连接 DF 交 AE 于 G，已知 CD=5，AE=8，求 值。ABCDEFG9图【解答】7.(本题满分 l0 分) （1）证明略 （2）DE=6，△AFG∽△AED，∴ 145、（2010 年四川省泸州市 B 卷）8．(本题满分 l2 分) 已二次函数 及一次函数 . (l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与 轴的交点坐标；第 11 页 共 33 页ABCDEFG9图QFBE=AQABQGAD=QBABQFBE+QGAD=AQAB+QBAB=AQ+QBAB=ABAB=1QFBE+QGADQAQB=EMENQAQB=AFEFQAQB=QFEFQFEF=MENEQFME=EFNEQAQB=EMEN
(2)将该二次函数图象在 轴下方的部分沿 轴翻折到 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图 10 中画出这个新图象，并求出新图象与直线 有三个不同公共点时 的值： (3)当 时，函数 的图象与 轴有两个不同公共点，求 的取值范围．【解答】8．(本题满分 l2 分)解：（1）二次函数图象的顶点坐标为 ，与 轴的交点坐标为 (2)① 当直线位于 时，此时 过点 , ∴ ，即 。②当直线位于 时，此时 与函数 的图象有一个公共点。∴方程 有一根，∴ ，即当 时， 满足 ，由①②知， 或 。（3）∵∵当 时，函数 的图象与 x 轴有两个不同交点，∴ 应同时满足下列三方面的条件：①方程 的判别式△= ，第 12 页 共 33 页Oxy
FECBAB'C'②抛物线 的对称轴满足 ，③当 时，函数值 ，当 时，函数值即 ，解得 。∴当 时，函数图象 （ ）的图象与 轴有两个不同公共点．146、（2010 年四川省眉山市）25．（9 分）如图，Rt△AB C 是由 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的，连结 CC 交斜边于点 E，CC 的延长线交 BB 于点 F．（1）证明：△ACE∽△FBE；（2）设∠ABC= ，∠CAC = ，试探索 、 满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全等三角形，并说明理由．【解答】25．（1）证明：∵Rt△AB C 是由 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的， ∴AC=AC ，AB=AB ，∠CAB=∠C AB ………………（1 分） ∴∠CAC =∠BAB ∴∠ACC =∠ABB ……………………………………（3 分）又∠AEC=∠FEB∴△ACE∽△FBE ……………………………………（4 分） （2）解：当 时，△ACE≌△FBE． …………………（5 分） 在△ACC中，∵AC=AC ， ∴ ………（6 分） 在 Rt△ABC 中， ∠ACC+∠BCE=90°，即 ， ∴∠BCE= ． ∵∠ABC= ， ∴∠ABC=∠BCE ……………………（8 分） ∴CE=BE 由（1）知：△ACE∽△FBE， ∴△ACE≌△FBE．………………………（9 分）第 13 页 共 33 页FECBAB'C'
ENMDCBAOyx147、（2010 年四川省眉山市）26．（12 分）如图，Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和y 轴 的 正 半 轴 上 ， O 为 坐 标 原 点 ， A 、 B 两 点 的 坐 标 分 别 为 （ ， 0 ） 、 （ 0 ， 4 ） ， 抛 物 线经过 B 点，且顶点在直线 上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD 于点 N．设点 M 的横坐标为 t，MN 的长度为 l．求 l 与 t之间的函数关系式，并求 l 取最大值时，点 M 的坐标．【解答】26．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 …（1 分） ∴ ∴ ……………………………………………………………（3 分） ∴所求函数关系式为： …………（4 分） （2）在 Rt△ABO 中，OA=3，OB=4，∴∵四边形 ABCD 是菱形∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………（5 分）∴C、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6 分）当 时，当 时，∴点 C 和点 D 在所求抛物线上． …………………………（7 分）（3）设直线 CD 对应的函数关系式为 ，则解得： ．∴ ………（9 分）∵MN∥y 轴，M 点的横坐标为 t，∴N 点的横坐标也为 t．第 14 页 共 33 页ENMDCBAOyx
则 ， ，……………………（10 分）∴∵ ， ∴当 时， ，此时点 M 的坐标为（ ， ）． ………………………………（12 分）148、（2010 年四川省绵阳市）24．如图，△ABC 内接于⊙O，且∠B = 60．过点 C 作圆的切线 l 与直径 AD 的延长线交于点 E，AF⊥l，垂足为 F，CG⊥AD，垂足为 G．（1）求证：△ACF≌△ACG；（2）若 AF = 43，求图中阴影部分的面积．【解答】24．（1）如图，连结 CD，OC，则∠ADC =∠B = 60．∵ AC⊥CD，CG⊥AD，∴ ∠ACG =∠ADC = 60．由于 ∠ODC = 60，OC = OD，∴ △OCD 为正三角形，得 ∠DCO = 60．由 OC⊥l，得 ∠ECD = 30，∴ ∠ECG = 30 + 30 = 60．进而 ∠ACF = 180－2×60 = 60，∴ △ACF≌△ACG．（2）在 Rt△ACF 中，∠ACF = 60，AF = 43，得 CF = 4．在 Rt△OCG 中，∠COG = 60，CG = CF = 4，得 OC =38．在 Rt△CEO 中，OE =316．于是 S阴影 = S△CEO－S扇形COD =36060212OCCGOE=9)33(32．149、（2010 年四川省绵阳市）25．如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A（－4，0）、B（2，0），与 y 轴交于点 C，顶点为 D．E（1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；第 15 页 共 33 页FBOyxAGDEClCEGOAFDBlCEGOAFDB
（2）在直线 EF 上求一点 H，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．【解答】25．（1）由题意，得 ,0424,04416baba 解得21a，b =－1．所以抛物线的解析式为4212 xxy，顶点 D 的坐标为（－1，29）．（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M．因为 EF 垂直平分 BC，即 C 关于直线 EG 的对称点为 B，连结 BD 交于 EF 于一点，则这一点为所求点 H，使 DH + CH 最小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD =132322 DMBM． 而 25)429(122CD．∴ △CDH 的周长最小值为 CD + DR + CH =21335 ．设直线 BD 的解析式为 y = k1x + b，则 ,29,021111bkbk 解得 231k，b1 = 3．所以直线 BD 的解析式为 y =23x + 3．由于 BC = 25，CE = BC∕2 =5，Rt△CEG∽△COB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．同理可求得直线 EF 的解析式为 y =21x +23．联立直线 BD 与 EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点 H（43，815）．（3）设 K（t，4212 tt），xF＜t＜xE．过 K 作 x 轴的垂线交 EF 于 N．则 KN = yK－yN =4212 tt－（21t +23）=2523212 tt．所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =21KN（t + 3）+21KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +23）2 +429．第 16 页 共 33 页
即当 t =－23时，△EFK 的面积最大，最大面积为429，此时 K（－23，835）．150 、 （ 2010 年 四 川 省 南 充 市 ） 21 、 （ 8 分 ） 如 图 ， △ ABC 内 接 于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝ BC．（1）求∠BAC 的度数．（2）将△ACD 沿 AC 折叠为△ACF，将△ABD 沿 AB 折叠为△ABG，延长 FC 和 GB 相交于点 H．求证：四边形 AFHG 是正方形．（3）若 BD＝6，CD＝4，求 AD 的长． 【解答】21.（1）解：连结 OB 和 OC．∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE．∵ OE＝ BC， ∴ ∠ BOC ＝90°，∴ ∠BAC＝45° ． ……（2分）（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°．由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°， ∠BAG ＝ ∠ BAD， ∠ CAF ＝ ∠ CAD ， … … （ 3分）∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．∴ 四边形 AFHG 是正方形． ……（5 分）（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．设 AD 的长为 x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4． ……（7 分）在 Rt△BCH 中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102．解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．∴ AD＝12． ……（8 分）151 、 （ 2010 年 四 川 省 南 充 市 ） 22 、 （ 8 分 ） 已 知 抛 物 线上 有 不 同 的 两 点 E 和 F．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，抛物线 与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于第 17 页 共 33 页
点 A 和 B，M 为 AB 的中点，∠PMQ 在 AB 的同侧以 M 为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP 交 y 轴于点C，MQ 交 x 轴于点 D．设 AD 的长为 m（m＞0），BC 的长为 n，求 n 和 m 之间的函数关系式．（3）当 m，n 为何值时，∠PMQ 的边过点 F．【解答】22、解：（1）抛物线 的对称轴为 ． ……..（1 分）∵ 抛物线上不同两个点 E 和 F 的纵坐标相同，∴ 点 E 和点 F 关于抛物线对称轴对称，则 ，且 k≠－2．∴ 抛物线的解析式为 ． ……..（2 分）（2）抛物线 与 x 轴的交点为 A（4，0），与 y 轴的交点为 B（0，4），∴ AB＝ ，AM＝BM＝ ． ……..（3 分）在∠PMQ 绕点 M 在 AB 同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，在△BCM 中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，在直线 AB 上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．∴ ∠BCM＝∠AMD．故 △BCM∽△AMD． ……..（4 分）∴ ，即 ， ．故 n 和 m 之间的函数关系式为 （m＞0）． ……..（5 分）（3）∵ F 在 上， ∴ ， 化简得， ，∴ k1＝1，k2＝3． 即 F1（－2，0）或 F2（－4，－8）． ……..（6 分） ① MF 过 M（2，2）和 F1（－2，0），设 MF 为 ， 第 18 页 共 33 页
则 解得， ∴ 直线 MF 的解析式为 ． 直线 MF 与 x 轴交点为（－2，0），与 y 轴交点为（0，1）． 若 MP 过点 F（－2，0），则 n＝4－1＝3，m＝ ； 若 MQ 过点 F（－2，0），则 m＝4－（－2）＝6，n＝ ． ……..（7 分） ② MF 过 M（2，2）和 F1（－4，－8），设 MF 为 ， 则 解得， ∴ 直线 MF 的解析式为 ． 直线 MF 与 x 轴交点为（ ，0），与 y 轴交点为（0， ）． 若 MP 过点 F（－4，－8），则 n＝4－（ ）＝ ，m＝ ； 若 MQ 过点 F（－4，－8），则 m＝4－ ＝ ，n＝ ． ……..（8 分） 故当 或 时，∠PMQ 的边过点 F．152、（2010 年四川省自贡市）27．（11 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A＝30°，AB 是⊙O 的直径，过点 C 作⊙O 的切线，交 AB 延长线于 D，CD＝3√3cm，（1）求⊙O 的直径。（2）若动点 M 以 3cm/s 的速度从点 A 出发沿 AB 方向运动。同时点N 以 1.5cm/s 的 速 度 从 B 点 出 发 沿 BC 方 向 运 动 。 设 运 动 的 时 间 为t(0≤t≤2)，连结 MN，当 t 为何值时△BMN 为 Rt△？并求此时该三角形的面积？【解答】27．（1）解：∵AB 是⊙O 的直径.第 19 页 共 33 页
易知 Rt ACF Rt CBF△ ∽ △ ，∴ （或由摄影定理得）∴ ，由（1），知 PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC∴ 。137 、 （ 2010 年 四 川 省 成 都 市 ） 28 ． （ 本 题 满 分 12 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，若将经过 两点的直线 沿 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线 ．（1）求直线 及抛物线的函数表达式；（2）如果 P 是线段 上一点，设 、 的面积分别为 、 ，且 ，求点 P 的坐标；（3）设 的半径为 l，圆心 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为 ，圆心 在抛物线上运动，则当 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？【解答】28. （1）解：（1）∵ 沿 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点， ∴ ， 。 将 代入 ，得 。解得 。 ∴直线 AC 的函数表达式为 。 ∵抛物线的对称轴是直线∴ 解得∴抛物线的函数表达式为 。第 2 页 共 33 页xyOABCDEP
∴∠ACB＝90° ………………………（0.5＇）又∠A＝30°∴∠ABC＝60° …………………………（1＇）连接 OC，因 CD 切⊙O 于 C，则∠OCD＝90° ……………………（2＇）在△OBC 中∵OB＝OC，∠ABC＝60°∴∠OCB＝60°∴∠BCD＝30° ……………………………………………………（2.5＇）又∠OBC＝∠BCD＋∠D∴∠D＝30° …………………………………………………………（3＇）∴AC＝CD＝3√3……………………………………………………（3.5＇）在 Rt ABC△ 中，cosA＝ACAB∴AB＝ACcos A＝3√3√32＝6（cm）……………………………………（5＇）（2）△BMN 中，①当∠BNM＝90°时，cos MBC∠ ＝BNBM即 cos60°＝1. 5 t6 －3 tt∴ ＝1 ………………………（6＇）此时 BM＝3 BN＝1.5 MN＝√32－ 1. 52＝32√3 …………（7＇）∴S△BMN＝12BN·MN＝98√3 （cm2） ………………………（8＇）②当∠NMB＝90°时，cos MBC∠ ＝BMBN即 cos60°＝6 －3 t1. 5 t t∴ ＝1.6 ………………………………………（9＇）此时 BM＝65BN＝125 MN＝√BN2－ BM2＝65√3 ………（10＇）∴S△BMN＝12BM·MN＝12×15×6√35＝1825√3（cm2） ………………（11＇）153、（2010 年四川省自贡市）28．（12 分）如图，在直角坐标平面内，O 为坐标原点，A 点的坐标为（1，0），B 点在 x 轴上且在点 A 的右侧，AB＝OA，过点 A 和 B 作 x 轴的垂线分别交二次函数 y＝x2的图象于点 C 和 D，直线 OC 交 BD 于 M，直线 CD 交 y 轴于点 H。记C、D 的横坐标分别为 xC，xD，点 H 的纵坐标 yH。（1）证明：① SCMD△S∶ 梯形ABMC＝2 3∶② xC·xD＝－yH第 20 页 共 33 页
（2）若将上述 A 点坐标（1，0）改为 A 点坐标（t，0），t＞0，其他条件不变，结论 SCMD△：S梯形ABMC＝2 3∶ 是否仍成立？请说明理由。（3）若 A 的坐标（t，0）（t＞0），又将条件 y＝x2改为 y＝ax2（a＞0），其他条件不变，那么 XC、XD和 yH又有怎样的数量关系？写出关系式，并证明。【解答】28．解：（1）由已知可得点 B 的坐标为（2，0）点 C 的坐标为（1，1），点 D 的坐标为（2，4），且直线 OC 的函数解析式为 y＝x。∴点 M 的坐标为（2，2），易得 SCMD△＝1，S梯形ABMC＝32………………（1.5＇）∴SCMD△S∶梯形ABMC＝2 3∶ ，即结论①成立。设直线 CD 的函数解析式为 y＝kx＋b，则 {k +b=1 ¿ ¿¿¿ 即 {k=3 ¿¿¿¿∴直线 CD 的解析式为 y＝3x－2。由上述可得点 H 的坐标为（0，－2），即 yH＝－2 ………………………（2.5＇）∴xC·xD＝－yH.即结论②成立 ………………………………………………（3＇）（2）结论 SCMD△：S梯形ABMC＝2:3 仍成立. ……………………………………………（4＇）理由如下：∵点 A 的坐标为（t，0），（t＞0）.则点 B 的坐标为（2t，0）从而点 C 的坐标为（t，t2），点 D 的坐标为（2t，4t2）.设直线 OC 的解析式为 y＝kx，则 t2＝kt 得 k＝t∴直线 OC 的解析式为 y＝tx ……………………………………（5＇）又设 M 的坐标为（2t，y）∵点 M 在直线 OC 上，∴当 x＝2t 时，y＝2t2∴点 M 的坐标为（2t，2t2） ……………………………………（6＇）∴SCMD△：S梯形ABMC＝12·2t2·t∶12（t2＋2t2）·t＝t3∶（32t3）＝23 …………………………………………（7＇）（3）xC，xD和 yH有关数量关系 xC·xD＝－1ayH. …………………………………（8＇）由题意，当二次函数的解析式为 y＝ax2（a＞0），且点 A 的坐标为（t，0）时，点 C 的坐标为（t，at2），点 D 的坐标为（2t，4at2） …………………………（9＇）设直线 CD 的解析式为 y＝kx＋b则{kt+b=at2¿¿¿¿得{k =3 at ¿ ¿¿¿∴CD 的解析式为 y＝3atx－2at2………………………………………………（11＇）则 H 的坐标为（0，－2at2）即 yH＝－2at2…………………………………（11.5＇）∵xC·xD＝t·2t＝2t2 ………………………………………… …………………（12＇）第 21 页 共 33 页
EyA∴xC·xD＝－1ayH.154、（2010 年四川省宜宾市）23．(本题满分 8 分)小明利用课余时间回收废品，将卖得的钱去购买 5 本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过 28 元，且购买的笔记本的总页数不低于 340 页，两种笔记本的价格和页数如下表．为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案?请说明理由．【解答】23．解：设购买大笔记本为 x 本，则购买小笔记本为(5–x)本，…………………………1 分依题意，得 ……………………………………………3 分解得，1≤ x ≤3．…………………………………………………………………… 4 分x 为整数,∴x 的取值为 1，2，3；当 x =1 时，购买笔记本的总金额为 6×1+5×4=26(元)；当 x =2 时，购买笔记本的总金额为 6×2+5×3=27(元)；当 x =3 时，购买笔记本的总金额为 6×3+5×2=28(元) …………………… 7 分∴应购买大笔记本 l 本，小笔记本 4 本，花钱最少．……………………………8 分155、（2010 年四川省宜宾市）24．(本题满分 l2分)将直角边长为 6 的等腰 Rt△AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 C、A 分别在 x、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点 A、C 及点 B(–3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 AB 的平行线交 AC 于点 E，连接 AP，当△APE 的面积最大时，求点 P 的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点 G，使△AGC 的面积与（2）中△APE 的最大面积相等?若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】24．解：(1)如图，∵抛物线 y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象经过点 A(0，6)，∴c=6．…………………………………………1 分∵抛物线的图象又经过点(–3，0)和(6，0)，∴ ………………………………2 分解之，得 …………………………3 分 故此抛物线的解析式为：y= – x2+x+6…………4 分第 22 页 共 33 页yxCBOA24 题图大笔记本 小笔记本价格（元/本）6 5页数（页/本）100 60
EyAGHEPyxCBOA (2)设点 P 的坐标为(m，0)，则 PC=6–m，S△ABC = BC·AO = ×9×6=27．……5 分∵PE∥AB，∴△CEP∽△CAB．…………………………………6 分 ∴ = ()2,即 = ( ) 2 ∴S△CEP = (6–m)2.…………………………………………………7 分 ∵S△APC = PC·AO = (6–m)6=3 (6–m)∴S△APE = S△APC–S△CEP =3 (6–m) – (6–m)2 = – (m– )2+.当 m = 时，S△APE有最大面积为；此时，点 P 的坐标为(,0)．………8 分(3)如图，过 G 作 GH⊥BC 于点 H，设点 G 的坐标为 G(a，b)，………………9 分连接 AG、GC， ∵S梯形AOHG = a (b+6), S△CHG = (6– a)b ∴S四边形AOCG = a (b+6) + (6– a)b=3(a+b)．……………………10 分 ∵S△AGC = S四边形AOCG –S△AOC ∴ =3(a+b)–18．……………11 分∵点 G(a，b)在抛物线 y= – x2+x+6 的图象上， ∴b= – a2+a+6. ∴ = 3(a – a2+a+6)–18 化简，得 4a2–24a+27=0 解之，得 a1= ，a2= 故点 G 的坐标为(,)或(，)． ……………………………………12 分156、（2010 年辽宁省沈阳市）七、(本题 12 分)24. 如图 1，在△ABC 中，点 P 为 BC 边中点，直线 a 绕顶点 A 旋转，若 B、P 在直线 a 的异侧， BM直线 a 于点 M，CN直线 a 于点 N，连接 PM、PN； (1) 延长 MP 交 CN 于点 E(如图 2)。 求证：△BPM△CPE； 求证：PM = PN； (2) 若直线 a 绕点 A 旋转到图 3 的位置时，点 B、P 在直线 a 的同侧，其它条件不变。此时 PM=PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3) 若直线 a 绕点 A 旋转到与 BC 边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形 MBCN 的形状及此时 PM=PN 还成立吗？不必说明理由。【解答】24. (1) [证明] 如图 2，∵BM直线 a 于点 M，CN直线 a 于点 N， ∴BMN=CNM=90，∴BM//CN，∴MBP=ECP， 又∵P 为 BC 边中点，∴BP=CP，又∵BPM=CPE，∴△BPM△CPE， ∵△BPM△CPE，∴PM=PE，∴PM=12ME，∴在 Rt△MNE 中，PN=12ME， ∴PM=PN； (2) 成立，如图 3， [证明] 延长 MP 与 NC 的延长线相交于点 E，∵BM直线 a 于点 M，CN直线 a 于点 N， ∴BMN=CNM=90，∴BMNCNM=180，∴BM//CN，∴MBP=ECP，第 23 页 共 33 页圖 3圖 2圖 1aMNPCBAPaNMCBANMPCBAa
又∵P 为 BC 中点，∴BP=CP，又∵BPM=CPE，∴△BPM△CPE，∴PM=PE， ∴PM=12ME，则在 Rt△MNE 中，PN=12ME，∴PM=PN。 (3) 四边形 MBCN 是矩形，PM=PN 成立。157、（2010 年辽宁省沈阳市）八、(本题 14 分)25. 如图 1，在平面直角坐标系中，拋物线 y=ax2c 与 x 轴正半轴交于点 F(16，0)、与 y 轴正半 轴交于点 E(0，16)，边长为 16 的正方形 ABCD 的顶点 D 与原点 O 重合，顶点 A 与点 E 重 合，顶点 C 与点 F 重合； (1) 求拋物线的函数表达式； (2) 如图 2，若正方形 ABCD 在平面内运动，并且边 BC 所在的直线始终与 x 轴垂直，抛物线始终与边AB 交于点 P 且同时与边 CD 交于点 Q(运动时，点 P 不与 A、B 两点重合， 点 Q 不与 C、D 两点重合)。设点 A 的坐标为(m，n) (m>0)。 当 PO=PF 时，分别求出点 P 和点 Q 的坐标； 在的基础上，当正方形 ABCD 左右平移时，请直接写出 m 的取值范围； 当 n=7 时，是否存在 m 的值使点 P 为 AB 边中点。若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明理由。【解答】25. [解] (1) 由拋物线 y=ax2c 经过点 E(0，16)、F(16，0)得：{0=162a+c16=c，解得 a= 116，c=16， ∴y= 116x216； (2) 过点 P 做 PGx 轴于点 G，∵PO=PF，∴OG=FG，∵F(16，0)，∴OF=16， ∴OG=12OF=1216=8，即 P 点的横坐标为 8，∵P 点在拋物线上， ∴y= 1168216=12，即 P 点的纵坐标为 12，∴P(8，12)， ∵P 点的纵坐标为 12，正方形 ABCD 边长是 16，∴Q 点的纵坐标为4， ∵Q 点在拋物线上，∴4= 116x216，∴x1=8√5，x2= 8√5， ∵m>0，∴x2= 8√5(舍去)，∴x=8√5，∴Q(8√5，4)； 8√516<m<8； 不存在； 理由：当 n=7 时，则 P 点的纵坐标为 7，∵P 点在拋物线上，∴7= 116x216， ∴x1=12，x2= 12，∵m>0，∴x2= 12(舍去)，∴x=12，∴P 点坐标为(12，7)， ∵P 为 AB 中点，∴AP=12AB=8，∴点 A 的坐标是(4，7)，∴m=4， 又∵正方形 ABCD 边长是 16，∴点 B 的坐标是(20，7)， 点 C 的坐标是(20，9)，∴点 Q 的纵坐标为9，∵Q 点在拋物线上，第 24 页 共 33 页備用圖圖 2圖 1EFxyOE(A)F(C)xyO(D)ByPQOBFEDCAx
∴ 9= 116x216，∴x1=20，x2= 20，∵m>0，∴x2= 20(舍去)，x=20， ∴Q 点坐标(20，9)，∴点 Q 与点 C 重合，这与已知点 Q 不与点 C 重合矛盾， ∴当 n=7 时，不存在这样的 m 值使 P 为 AB 边的中点。158、（2010 年辽宁省丹东市）七、（12 分）25．如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ． （1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由． 【解答】25．（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上， ········3 分（说明：答对一个给 2 分）（2）成立．·······························4 分证明：法一：连结DE，DF． ···························5 分∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点， ∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°， ∴∠MDF=∠NDE． ····························7 分在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE． ···························8 分∴MF=NE． ···························9 分第 25 页 共 33 页NMFEDCBANMFEDCBA···FEDCB·A第 25 题图图③图②图①EDMFBACNEDMFBACN
EFNABCDM法二：延长EN，则EN过点F． ························5 分∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF． ∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN．·····························7 分又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，∴△DBM≌△DFN．····························8 分∴BM=FN．∵BF=EF， ∴MF=EN．··························9 分法三：连结DF，NF． ······························5 分∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=AC．又∵D，E，F是三边的中点， ∴DF为三角形的中位线，∴DF=12AC=12AB=DB． 又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°， ∴∠BDM=∠FDN． ····························7 分在△DBM和△DFN中，DF=DB，DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN． ∴∠B=∠DFN=60°．···························8 分又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，∴∠DFE=60°．∴可得点N在EF上，∴MF=EN． ………… 9 分（3）画出图形（连出线段NE）， …………11 分MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．……… 12 分159、（2010 年辽宁省丹东市）八、（14 分）26 ． 如 图 ， 平 面 直 角 坐 标 系 中 有 一 直 角 梯 形OMNH，点H的坐标为 （ － 8 ，0），点N的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； （ 3 ） 截 取CE=OF=AG=m， 且E，F，G分 别 在 线 段第 26 页 共 33 页xyOMN（-6，-4）H（-8，0）
CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； （4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．【解答】26．（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC．……… 1 分∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） ……… 3 分（写错一个点的坐标扣 1 分）（ 2 ） 设 过A，B，C三 点 的 抛 物 线 关 系 式 为，∵抛物线过点A（0，4）， ∴ ．则抛物线关系式为 ．……… 4 分将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得………5 分 解得 ………6 分所求抛物线关系式为： ．···············7 分（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． ················8 分 ∴ =12OA（AB+OC）AF·AG OE·OF CE·OA =12×4×（ 6+8）−12m(4−m)−12m(8−m)−12×4 m =m2−8 m+28 （ 0＜m＜4） ………10 分∵ ． ∴当 时，S的取最小值．又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． ……12分（4）当 时，GB=GF，当 时，BE=BG．……14分160、（2010 年辽宁省抚顺市）七、解答题（本题 12 分）25. 如 图 所 示 ， （ 1 ） 正 方 形 ABCD 及 等 腰 Rt△AEF 有 公共 顶 点A,∠EAF=900, 连接 BE、DF.将 Rt△AEF 绕点 A 旋转,在旋转过程中，BE、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？结合图 (1)给予证明；(2)将（1）中的正方形 ABCD 变为矩形 ABCD，等腰 Rt△AEF 变为Rt△AEF，且 AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论是否发第 27 页 共 33 页第 26 题图yx(－6，－4)－8→↑BDFECAHNMO
生变化？结合图(2)说明理由；(3)将（2）中的矩形 ABCD 变为平行四边形 ABCD，将 Rt△AEF 变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=α，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用 k 表示出线段 BE、DF 的数量关系，用α表示出直线 BE、DF 形成的锐角β. 【解答】七、25.（1）证明：延长 DF 分别交 AB、BE 于点 P、G.---------------------------------------1 分在正方形 ABCD 和等腰直角△AEF 中AD=AB,AF=AE,∠BAD=∠EAF =90°∴∠FAD=∠EAB∴△FAD≌△EAB -----------------------------------------------------------------------------------2 分∴∠FDA=∠EBA DF=BE --------------------------------------------------------------------------3 分∵∠DPA=∠BPG, ∠ADP+∠DPA=90°∴∠EBP+∠BPG=90° ∴∠DGB=90°∴DF⊥BE --------------------------------------------------------------------------------------------5 分（2）改变. DF=kBE，β=180°-α.---------------------------------------------------------------7 分证法（一）：延长 DF 交 EB 的延长线于点 H∵AD=kAB,AF=kAE∴ADAB=k,AFAE =k ∴ADAB=AFAE∵∠BAD=∠EAF =α∴∠FAD=∠EAB∴△FAD∽△EAB--------------------------------------------------------------------------------9 分∴DFBE=AFAE=k ∴DF=kBE---------------------------------------------------------------------------------------10 分由△FAD∽△EAB 得∠AFD=∠AEB ∵∠AFD+∠AFH=180°∴∠AEB+∠AFH=180°∵四边形 AEHF 的内角和为 360°，∴∠EAF+∠EHF=180°∵∠EAF=α,∠EHF=β第 28 页 共 33 页
∴α+β=180°∴β=180°-α--------------------------12 分证法（二）：DF=kBE 的证法与证法（一）相同延长 DF 分别交 EB、AB 的延长线于点 H、G.由△FAD∽△EAB 得∠ADF=∠ABE∵∠ABE=∠GBH∴∠ADF=∠GBH∵β=∠BHF =∠GBH+∠G∴β=∠ADF+∠G.在△ADG 中，∠BAD+∠ADF+∠G=180°,∠BAD=α∴α+β=180°∴β=180°-α----------------------------------------------------------12 分证法（三）：在平行四边形 ABCD 中 AB∥CD 可得到∠ABC+∠C=180°∵∠EBA+∠ABC+∠CBH=180°∴∠C=∠EBA+∠CBH在ΔBHP、ΔCDP 中，由三角形内角和等于 180°可得∠C+∠CDP=∠CBH+∠BHP∴∠EBA+∠CBH+∠CDP=∠CBH+∠BHP∴∠EBA+∠CDP=∠BHP由△FAD∽△EAB 得∠ADP=∠EBA∴∠ADP+∠CDP=∠BHP 即∠ADC=∠BHP∵∠BAD+∠ADC=180°,∠BAD=α,∠BHP=β∴α+β=180° ∴β=180°-α-----------------------------12 分161、（2010 年辽宁省抚顺市）八、解答题（本题 14 分）26. 如 图 所 示 ， 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 抛 物 线 y=ax2+bx+c 经 过A(0,4)、B(-2,0)、C(6,0).过点 A 作 AD∥x 轴交抛物线于点 D,过点 D 作DE⊥x 轴，垂足为点 E.点 M 是四边形 OADE 的对角线的交点，点 F 在 y轴负半轴上，且 F(0,-2).(1)求抛物线的解析式，并直接写出四边形 OADE 的形状；(2)当点 P、Q 从 C、F 两点同时出发，均以每秒 1 个长度单位的速度沿CB 、FA 方向运动，点 P 运动到 O 时 P、Q 两点同时停止运动.设运动的时间为 t 秒,在运动过程中，以 P、Q、O、M 四点为顶点的四边形的面积为 S,求出 S 与 t 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)在抛物线上是否存在点 N，使以 B、C、F、N 为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点 N 的坐标；不存在，说明理由. （第 26 题备用图）【解答】八、26.解：（1）∵抛物线经过 A(0,4)、B(-2,0)、C(6,0)∴得到 c=44a-2b+c=036a+6b+c=0------------------------------------------------------------------------------2 分解得 a=-13 , b=43 , c=4第 29 页 共 33 页{
（2）如图，过点 B 作 BD AC⊥ 于点 D。 ∵ ，∴ ∴ 。过点 P 作 PE x⊥ 轴于点 E，∵PE CO∥ ，∴△APE ACO∽△ ，∴ ， ∴∴ ，解得 x= ，∴点 P 的坐标为（3）（Ⅰ）假设⊙Q 在运动过程中，存在 与坐标轴相切的情况。 设点 Q 的坐标为 。① 当⊙Q 与 y 轴相切时，有 ，即 。当 时，得 ，∴当 时，得 ，∴② 当⊙Q 与 x 轴相切时，有 ，即当 时，得 ，即 ，解得 ，∴当 时 ， 得 ， 即 ， 解 得 ， ∴ ，。综 上 所 述 ， 存 在 符 合 条 件 的 ⊙ Q ， 其 圆 心 Q 的 坐 标 分 别 为 ， ， ，， 。（Ⅱ）设点 Q 的坐标为 。当⊙Q 与两坐标轴同时相切时，有 。由 ，得 ，即 ，∵△=第 3 页 共 33 页
∴抛物线的解析式为 y=-13x2+43x+4---------------------------------------------------------3 分（或 y=-13（x+2）（x-6）或 y=-13(x-2)2+163. ）四边形 OADE 为正方形. ---------------------------------4 分（2）根据题意可知 OE=OA=4 OC=6 OB=OF=2∴CE=2∴CO=FA=6∵运动的时间为 t∴CP=FQ=t过 M 作 MN⊥OE 于 N,则 MN=2 当 0≤t＜2 时，OP=6-t, OQ=2-t ----------------------------5 分∴S=SΔOPQ+SΔOPM=12(6-t)×2+12(6-t)(2- t)=12(6-t)(4- t)∴S = 12t2-5t+12. --------------------------------------------------------------------------------7 分当 t=2 时，Q 与 O 重合，点 M、O、P、Q 不能构成四边形.(不写也可)当 2＜t＜6 时，连接 MO,ME 则 MO=ME 且∠QOM=∠PEM=45°---------------------------------8 分∵FQ=CP=t,FO=CE=2∴OQ=EP∴△QOM≌△PEM∴四边形 OPMQ 的面积 S=SΔ MOE=12×4×2=4------------------10 分综上所述，当 0≤t＜2 时，S=12t2-5t+12；当 2＜t＜6 时，S=4（3）存在 N1(1,5),N2(5,73),N3(2+√22,-2),N4(2-√22,-2) -----------------------14 分162、（2010 年辽宁省铁岭市）七、解答题（本题 12 分）25．如图，一个直角三角形纸片的顶点 A 在∠MON 的边 OM 上移 动 ， 移 动 过 程 中 始 终 保 持 AB⊥ON 于 点 B,AC⊥OM 于 点A.∠MON 的角平分线 OP 分别交 AB、AC 于 D、E 两点.（1）点 A 在移动的过程中，线段 AD 和 AE 有怎样的数量关 系 ,并说明理由.（2）点 A 在移动的过程中,若射线 ON 上始终存在一点 F 与 点A 关于 OP 所在的直线对称，判断并说明以 A、D、F、E 为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？ （3）若∠MON=45°，猜想线段 AC、AD、OC 之间有怎样的数 量关系，并证明你的猜想. 第 30 页 共 33 页DEBCOAPMN
【解答】七、解答题（本题 12 分）25.(1) AE=AD ………2 分(2)菱形 ………3 分 (法一)：连接 DF、EF ∵点 F 与点 A 关于直线 OP 对称，E、D 在 OP 上，∴AE=FE,AD=FD . ………5 分由（1）得 AE=AD∴AE=FE=AD=FD∴四边形 ADFE 是菱形 ………7 分（法二）：连接 AF 交 DE 于点 G,连接 DF,EF.点 F 与点 A 关于直线 OP 对称可知：AF⊥DE, AE=FE, ………3 分∴AG=FG,又∵AE=AD∴DG=EG∴四边形 ADFE 是平行四边形 ………6 分∵AF⊥DE ∴平行四边形 ADFE 是菱形 ………7 分（3）OC= AC+AD ………8 分(法一)：证明：连接 EF. ∵点 F 与点 A 关于直线 OP 对称, ∴AO=OF∵AC⊥OM, ∠MON=45° ∴∠OAC=90°∴∠ACO=∠MON=45° ∴OF = AO = AC ………10 分由（2）知四边形 ADFE 是菱形∴EF∥AB AD=EF∵AB⊥ON∴∠ABC=90°∴∠EFC=∠ABC =90°∵∠ACO=45°∴∠ACO=∠CEF∴FC = EF =AD 又∵OC=OF+FC∴OC = AC+AD ………12 分（法 2）证明：连接 EF.∵AC⊥OM, ∠MON=45°∴∠OAC=90°∴∠ACO =∠MON =45°∴AO=AC由（2）知四边形 ADFE 是菱形∴EF∥AB AD=EF∵AB⊥ON∴∠ABC=90°第 31 页 共 33 页FDEBCOAPMNGFFDEBCOAPMN
∴∠EFC=∠ABC=90°∵∠ACO=45°∴∠FEC = ∠ACO =45° ………9 分∴FC=FE=AD ∵∠AOE=∠FOE∵OE=OE, ∠OAC=∠OFE=90°∵△OAE≌△OFE ………11 分∴OA=OF∴OF=AC，又∵OF+FC=OC，∴AC+AD=OC ………12 分（法 3）证明：延长 EA 到 G 点，使 AG=AE ∵∠OAE=90° ∴OA⊥GE∴OG=OE ∴∠AOG=∠EOA ∵∠AOC=45°,OP 平分∠AOC ∴∠AOE=22.5° ∴∠AOG=22.5°∠G=67.5° ∴∠COG=∠G=67.5°∴CG=OC ………10 分 由（1）得 AD=AE∵AD=AE=AG∴AC+AD=OC ………12 分163、（2010 年辽宁省铁岭市）八、解答题（本题 14 分）26．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A、B、C 的坐标分别为(－１，０)，（５，０），（０，２）．（１）求过 A、B、C 三点的抛物线解析式． （２）若点 P 从Ａ点出发，沿ｘ轴正方向以每秒１个单位长度的速度向 B 点移动，连接 PC 并延长到点E，使 CE=PC，将线段 PE 绕点 P 顺时针旋转９０°得到线段 PF,连接 FB．若点 P 运动的时间为ｔ秒，（０≤ｔ≤６）设△PBF 的面积为 S．①求 S 与ｔ的函数关系式． ②当ｔ是多少时，△PBF 的面积最大，最大面积是多少？ （３）点 P 在移动的过程中，△PBF 能否成为直角三角形？若能，直接写出点 F 的坐标；若不能，请说明理由．【解答】第 32 页 共 33 页224432112ACBPEFyx224643211234ACOBxy备用图224643211234ACOBxy备用图DEBCOAPMNG
八、解答题（本题 14 分）26.解：（1）（法一）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0),把 A(-1,0),B(5,0)C(0,2)三点代入解析式得 a-b+c=0 a= 25a+5b+c=0 解得 b= ∴ ……3 分 c=2 c=2 （法二）设抛物线的解析式为 把（0,2）代入解析式得 即 ……3 分（2）过点 F 作 FD⊥x 轴于 D当点 P 在原点左侧时，BP=5-t,OP=-t 在 Rt△POC 中，∠PCO+∠CPO=90°∵∠FPD+∠CPO=90°∴∠PCO=∠FPD∵∠POC=∠FDP∴△CPO∽△PFD ……………5 分∴FDPO=PFPC∵PF=PE=2PC∴FD=2PO=-2t ……………6 分∴ S△PBF= =t2-5t (-1≤t＜0) …………8 分当点 P 在原点右侧时，OP=t BP=5-t∵△CPO∽△PFD ………9 分∴FD=2t ∴ S△PBF= =-t2+5t (0＜t＜5) ………11 分（3）能 ………12 分 t=1 或 t= 时,△PFB 是直角三角形 ………14 分第 33 页 共 33 页224432112ACBPEF0Dyx22465432112DACBPEFOyx−25y=−25x2+85x+2852=−5 a∴ a=−25y=a( x−5 )( x+1 )∴ y=−25( x+1)( x−5 )y=−25x2+85x+212BP×DF12BP×DF−1+√52
∴此方程无解。由 ，得 ，即 ，解得∴当⊙Q 的半径 时，⊙Q 与两坐标轴同时相切。138、（2010 年四川省达州市）22.(6 分)已知：如图 12，在锐角∠MAN 的边 AN 上取一点 B，以 AB 为直径的半圆 O 交 AM 于 C，交∠MAN 的角平分线于 E，过点 E 作 ED AM⊥ ，垂足为 D，反向延长 ED 交 AN于 F.(1)猜想 ED 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若 cos MAN=∠ ，AE= ，求阴影部分的面积.【解答】22.证明：（1）DE 与⊙O 相切. …………………………1 分理由如下：连结 OE.∵AE 平分∠MAN,∴∠1= 2.∠∵OA=OE,∴∠2= 3.∠∴∠1= 3,∠∴OE AD.∥∴∠OEF= ADF=90°,∠ …………………………2 分即 OE DE⊥ ，垂足为 E.又∵点 E 在半圆 O 上，∴ED 与⊙O 相切. …………………………3 分（2）∵cos MAN=∠ ,第 4 页 共 33 页图 12
∴∠MAN=60°，∴∠2= MAN=∠ ×60°=30°,∠AFD=90°- MAN=90°-60°=30°.∠∴∠2= AFD∠ ，∴EF=AE= . …………………………4 分在 Rt OEF△ 中，tan OFE=∠ ，∴tan30°= ，∴OE=1. …………………………5 分∵∠4= MAN=60°∠ ，∴S 阴== .…………………………6 分139、（2010 年四川省达州市）23.(9 分)如图 13，对称轴为 的抛物线 与 轴相交于点 、 .(1）求抛物线的解析式，并求出顶点 的坐标；(2)连结 AB，把 AB 所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线 l.点 P 是 l 上一动点.设以点 A、B、O、P 为顶点的四边形面积为 S，点 P 的横坐标为 ，当 0＜S≤18时，求 的取值范围；(3)在（2）的条件下，当 取最大值时，抛物线上是否存在点 ，使△OP 为直角三角形且 OP 为直角边.若存在,直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由.【解答】23.解：（1）∵点 B 与 O（0，0）关于 x=3 对称,∴点 B 坐标为（6，0）.将点 B 坐标代入 得：第 5 页 共 33 页图 13
36 +12=0, ∴ = .∴抛物线解析式为 .…………………………2 分当 =3 时， ,∴顶点 A 坐标为（3，3）. …………………………3 分（说明：可用对称轴为 ,求 值,用顶点式求顶点 A 坐标.）（2）设直线 AB 解析式为 y=kx+b.∵A(3,3),B(6,0),∴ 解得 , ∴ .∵直线 ∥AB 且过点 O, ∴直线 解析式为 .∵点 是 上一动点且横坐标为 , ∴点 坐标为（ ）.…………………………4 分当 在第四象限时（t＞0），=12×6×3+ ×6× =9+3 .∵0＜S≤18, 0∴ ＜9+3 ≤18, -3∴ ＜ ≤3.又 ＞0, 0∴ ＜ ≤3.5 分当 在第二象限时（ ＜0）,作 PM⊥ 轴于 M，设对称轴与 轴交点为 N. 则=-3 +9.∵0＜S≤18,第 6 页 共 33 页
∴0＜-3 +9≤18,∴-3≤ ＜3.又 ＜0,∴-3≤ ＜0.6 分∴t 的取值范围是-3≤ ＜0 或 0＜ ≤3.(3)存在，点 坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.9 分（说明：点 Q 坐标答对一个给 1 分）140、（2010 年四川省乐山市）25. （本题满分 12 分）在△ABC 中，D 为 BC 的中点，O 为 AD 的中点，直 线 l 过 点 O. 过 A 、 B 、 C 三 点 分 别 做 直 线 l 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 是 G 、 E 、 F ， 设AG=h1，BE=h2，CF=h3.（1）如图（12.1），当直线 l⊥AD 时（此时点 G 与点 O 重合）.求证：h2+h3= 2h1；（2）将直线 l 绕点 O 旋转，使得 l 与 AD 不垂直.①如图（12.2），当点 B、C 在直线 l 的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由；②如图（12.3），当点 B、C 在直线 l 的异侧时，猜想 h1、h2、h3满足什么关系.（只需写出关系，不要求说明理由）【答案】25.（1）证明：∵BE⊥l，GF⊥l，∴四边形 BCFE 是梯形.又∵GD⊥l，D 是 BC 的中点，∴DG 是梯形的中位线，∴BE+CF=2DG.又 O 为 AD 的中点，∴AG=DG，∴BE+CF=2AG.即 h2+h3= 2h1.（2）成立.证明：过点 D 作 DH⊥l，垂足为 H，∴∠AGO=∠DHO=Rt∠，∠AOG=∠DOH，OA=OD，∴△AGO≌△DHO，∴DH=AG.又∵D 为 BC 的中点，由梯形的中位线性质，得 2 DH=BE+CF，即 2 AG =BE+CF，第 7 页 共 33 页l
∴h2+h3= 2h1成立.（3）h1、h2、h3满足关系：h2－h3= 2 h1.（说明：（3）问中，只要是正确的等量关系都得分）141、（2010 年四川省乐山市）26．（本题满分 13 分）如图(13.1)，抛物线 y＝x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B两点，与 y 轴交于点 C(0，2)，连接 AC，若 tan OAC∠ ＝2．(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴 l 上是否存在点 P，使∠APC＝90°，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图(13.2)所示，连接 BC，M 是线段 BC 上(不与 B、C 重合)的一个动点，过点 M 作直线 l′∥l，交抛物线于点 N，连接 CN、BN，设点 M 的横坐标为 t．当 t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？【答案】解：（1）∵抛物线 y=x2＋bx＋c 过点 C(0,2). x=2∴又∵tan OAC=∠ =2, OA=1,∴ 即 A(1,0).又∵点 A 在抛物线 y=x2＋bx＋2 上. 0=1∴2＋b×1＋2,b=－3∴抛物线对应的二次函数的解析式为 y=x2－3x＋2（2）存在过点 C 作对称轴 l 的垂线,垂足为 D,如图所示,∴x=－ . AE=OE-OA=∴ -1= , APC=90°,∵∠∴tan PAE= tan CPD∠ ∠ ∴ ,即 ，解 得 PE=或 PE= ，∴点 P 的坐标为（ ， ）或（ ， ）。（备注：可以用勾股定理或相似解答）（3）如图，易得直线 BC 的解析式为：y=-x＋2，∵点 M 是直线 l′和线段 BC 的交点，∴M 点的坐标为（t，-t+2）第 8 页 共 33 页
(0＜t＜2)∴MN=-t+2-(t2－3t＋2)=- t2＋2t∴S BCM= S MNC+S MNB=△ △ △ MN▪t+ MN▪(2-t)= MN▪(t+2-t)=MN=- t2＋2t(0＜t＜2),∴S BCN=- t△2＋2t=-(t-1)2+1∴当 t=1 时，S BCN△ 的最大值为 1。备注：如果没有考虑的取值范围，可以不扣分）142、（2010 年四川省凉山市）26．（本题满分 9 分）如图，B 为线段 AD 上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长，交AD的延长线于 F，△ABC的外接圆⊙O 交CF于点M． （1）求证：BE 是⊙O 的切线； （2）求证：AC2=CM⋅CF； （3）若过点 D 作 DG//BE 交 EF 于 G，过 G 作 GH//DE 交DF 于 H ， 则 易 知△ DHG是 等 边 三 角 形 ． 设△ABC、△BDE、△DHG的面积分别为S1、S2、S3，试探究S1、S2、S3之间的数量关系，并说明理由．【解答】26、（1）证明：连结OB， ∵△ABC和△BDE都是等边三角形 ∴∠ABC=∠EBD=60° ……………………………1 分 ∴∠CBE=60°，∠OBC=30° ∴∠OBE=90° ……………………………………2 分∴BE是⊙O 的切线 ………………………………3 分（2）证明：连结MB,则∠CMB=180°-∠A=120°…………4 分 ∵∠CBF=60°+60°=120°∴∠CMB=∠CBF∵∠BCM=∠FCB∴△CMB≌△CBF …………………………………5 分∴CMCB=CBCF即CB2=CM⋅CF∵AC=CB，∴AC2=CM⋅CF …………………………………6 分 （3）解：作DG//BE，GH//DE ………………………………7 分 ∵AC∥BE∥DG ∴ABBD=CEEG∵BC∥DE∥HG第 9 页 共 33 页
