模块一 函数的概念与性质基础知识回顾一、函数的三要素1．定义域：自变量 x 的取值集合，若不作特别规定，定义域是使得函数的解析式有意义的 x 的取值集合.2．对应关系：将自变量 x 对应到函数值 y 的方法，对于有解析式的函数，解析式就是该函数的对应关系.3．值域：函数值 y 的取值集合.二、函数的单调性1．函数的单调性：一般地，设函数 的定义域是 I，区间 ，如果 ，当 时，都有，那么就称 在区间 D 上单调递增；如果 ，当 时，都有 ，那么就称 在区间 D 上单调递减.2．函数单调性的等价定义方法： 且 ，若 或 ，则在区间 D 上单调递增；若 或 ，则 在区间 D 上单调递减.3．函数的最大值：一般地，设函数 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：（1） ，都有 ；（2） ，使得 ；那么，我们称 M 是函数 的最大值.4．函数的最小值：一般地，设函数 的定义域为 I，如果存在实数 m 满足：（1） ，都有 ；（2） ，使得 ；那么，我们称 m 是函数 的最小值.5．若函数 和 在区间 D 上具有单调性，则：（1）若 C 为常数，则函数 与函数 有相同的单调性.（2）在区间 D 上，若 ，则 与 单调性相同；若 ，则 与 单调性相反.（3）若 ，则 与 单调性相同.（4）若 和 单调性相同，则 的单调性与它们也相同.（5） ， ，且 和 单调性相同，则 的单调性与它们也相同.6．复合函数的单调性：同增异减 三、函数的奇偶性1．奇函数的性质（1 ）定义域关于原点对称；（2 ） ；（3）图象关于原点对称；若 处有定义，则.2．偶函数的性质（1）定义域关于原点对称；（2）满足 ；（3）图象关于 y 轴对称.3．常见的几个奇函数（1） （2）（3） （4）（5） （6）4．加减法结论：奇函数 奇函数 奇函数；偶函数 偶函数 偶函数；奇函数 偶函数 非奇非偶函数.5．乘除法结论：（1）奇函数 奇函数 偶函数；奇函数 偶函数 奇函数；偶函数 偶函数 偶函数.（2）奇函数 奇函数 偶函数；奇函数 偶函数 奇函数；偶函数 偶函数 偶函数.6．无论 是什么函数，函数 和 都是偶函数.7．若 是奇函数或者偶函数，则函数 是偶函数.8．多项式函数 的奇偶性：（1）当且仅当 时， 为奇函数；（2）当且仅当 时， 为偶函数.四、周期性一般地，设函数 的定义域为 D，若存在 ，使得 ，都有 ，则称 是以 T为周期的周期函数.五、对称性对称性有关知识点，请参考本模块第 4 节，抽象函数问题. 第 1 节 函数概念内容提要这一节主要涉及求定义域、求解析式、求一些常见函数的值域这三类问题.1．求定义域（1）偶次方根：如 ， ， ，…，根号下的数非负，即 ；（2）对数： ，真数大于 0，即 ；（3）分式：如 ，分母不为 0，即 ；（4）零次方： 中 ；（5）正切： 中 ；（6）抽象函数求定义域：①定义域永远指自变量 x 的取值集合；②“ 括号范围恒不变”.2．求解析式（1）换元法：已知 的解析式，求 的解析式.（2）待定系数法：已经给出函数类型，可用待定系数法求解析式.（3）方程法：题干给出 与 ，或 与 的关系式，可构造新方程，联立求解得出解析式.3．求值域：图象法、同除法、换元法、判别式法等.典型例题【例 1】函数 的定义域为 .答案：解析：由 解得： 且 ，所以 的定义域为 .【反思】函数的定义域一定要写成区间或集合的形式.【变式 1】函数 的定义域为 .答案：解析：由 解得： 且 ，所以 的定义域为 .【变式 2】若 的定义域为 ，则函数 的定义域为 .答案： 解析：定义域指的是自变量 x 的取值集合， 的定义域为 ，抽象函数定义域遵循括号范围恒不变原则，所以在 中，有 ，解得： ，故 的定义域为 .【反思】抽象函数的定义域问题抓住两点：①定义域永远指自变量 x 的取值集合；②“ 括号范围恒不变”.【变式 3】若 的定义域为 ，则函数 的定义域为 .答案：解析：定义域指的是自变量 x 的取值集合， 的定义域为 在 中， ，所以 ，即 的括号的范围是 ，括号范围恒不变，所以 的定义域为 .【例 2】已知 ，则 .答案：解析：先将 括号里的整体换元，令 ，则 ，所以 ，故 .【反思】已知函数 的解析式求 的解析式：①令 ，则 可化为 ，②由反解出 x，用 t 表示，代入所给函数 的右侧，从而求得 ；③由 研究 t 的取值范围，得到 的定义域；④将 的自变量 t 换回成 x，得到 .【例 3】已知 是一次函数，且 ，则 .答案： 或解析：已知了函数类型，用待定系数法求解析式，设 ，则 ，即 ，所以 ，解得： 或 ，所以 或 .【反思】若已知 的函数类型（如一次函数、二次函数、指数函数等）求 的解析式，可直接设其解析式，运用待定系数法求解.【例 4】已知函数 满足 ，则 .答案：解析：看到 和 在同一个式子中，将 x 换成 ，再构造一个函数方程，在 中将 x 换成 可得 ，所以 ， 得： ，整理得： .【例 5】函数 的最小值为 .答案：1解析：由题意， ，当且仅当 时取等号，所以 .【变式 1】函数 的最大值为 .答案：解析：由题意， ，当且仅当 时取等号，所以 .【变式 2】函数 的最小值为 .答案：3解法 1：像这种 型的分式函数，可令一次函数部分为 t，令 ，则 ， ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，故函数 的最小值为 3.解法 2：也可把函数的解析式看成关于 x 的方程，将方程变形，利用判别式研究 y 的最值，将 变形成 ，整理得： ①，将式①看成关于 x 的一元二次方程，其判别式 ，解得： 或 ，我们要求的是 y 的最小值，所以先用 x 的范围把 这一段舍掉，因为 ，所以 ， ，从而 ，故 ，接下来验证 y 可以等于 3，注意到当 时， ，所以函数 的最小值为 3.【变式 3】函数 的最大值为 .答案： 解法 1：像这种 型的分式函数，可令一次函数部分为 t，再分子分母同除以 t，令 ，则 ， ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，故函数 的最大值为 .解法 2：也可把函数的解析式看成关于 x 的方程，将方程变形，利用判别式研究 y 的最值，将 变形成 ，整理得： ①，当 时，把①看成关于 x 的一元二次方程，其判别式 ，解得： ，要得出 y 的最大值是 ，还需要验证等号能成立，注意到当 时， ，所以函数 的最大值为 .【变式 4】函数 的最小值为 .答案：解法 1： 型的分式函数，可以通过拆项把分子化为一次函数，将问题化归成变式 1 的类型，由题意， ，令 ，则 ， ，且 ，当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，从而函数 的最小值为 .解法 2：将 变形成 ，整理得： ，当 时，将该方程看成关于 x 的一元二次方程，其判别式 ，解得： ，要得出 y 的最小值为 ，还需要验证等号能成立，注意到当 时， ，所以函数 的最小值为 . 【变式 5】函数 的最大值为 .答案：解析：此处虽不是 ，但可以把分子的 看成一次的，故将其换元成 t，设 ，则 ， ，且 ，当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，所以函数 的最大值为 .强化训练1．（2021·烟台期末·★）函数 的定义域为（ ）（A） （B） （C） （D）2．（2022·临潼一模·★）已知 ，则 （ ）（A） （B） （C） （D）3．（2021·遂宁期末·★★）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）（A） （B） （C） （D）4．（2022·安徽四校联考·★★）已知 的定义域为 ，且 ，则 .5．（2021·德州模拟·★★）函数 的值域是 .6．（2022·湖北模拟·★★）函数 在 上的最小值为 .7．（2022·辽宁模拟·★★★）函数 的值域为 . 8．（2022·北京西城二模·★★★）若函数 的定义域和值域的交集为空集，则实数a 的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D ）9．（2021·江苏模拟·★★★）函数 的最大值为 .10．（2021·广西三校联考·★★★）函数 的最小值为 .