一元线性回归分析预测方法的应用实例 一、回归分析预测法的基本概念 由于世界上任何事物的发生和发展都是有原因的，一定的原因并引出一定的结果。譬如，居民的某种商品消费量就与家庭收入有关，一般地，收入高者其商品消费支出也就多此。再譬如，粮食总产量受多种因素的影响，它与播种面积、y 候条件、化肥使用量及机械化程度等因素有关。居民的商品消费量同居民收入之间的关系表现为因果关系;同样地，粮食总产量同播种面积、气候条件、化肥使用量、机械化程度等之间的关系也表现为因果关系。 当一个经济变量(因变量)同其他一此因素(自变量)之间存在着某种因果关系的时候，我们就可以按照一定的方式建立反映这此关系的数学模型.然后根据自变量在未来的变化来计算因变量的变化状况，这就是因果关系预测。 回归分析预测法就是从各种经济现象之间的相互关出发，通过对与预测对象有联系的现象变动趋势的分析，推算预测对象未来状态数量表现的一种预测方法。所谓回归分析，就是研究某一个随机变量(因变量)与其他一或几个变量(自变量)之间的数量变动关系，由回归分析求出的关系式(即数学方程式)通常称为回归模型(或称回归方程)。 回归模型的分类: 一类根据自变量个数的多少，回归模型可以分为一元回归模型和多元回归模型。 二类根据回归模型是否线性，回归模型可以分为线性回归模型和非线性回归模型。所谓线性回归模型就是指因变量和自变量之间的关系是直线型的。 三类根据回归模型是否带虚拟变量，回归模型可以分为普通回归模型和虚拟变量回归模型。普通回归模型的自变量都是数量变量，而虚拟变量回归模型的自变量既有数量变量也有品质变量。 在运用回归模型进行预测时，正确判断相关自变量与因变量之间的相互关系，并选择预测目标的主要影响因素作为模型的自变量是至关重要的。回归分析法可靠性高，适用范围)’。它不仅可以处理经济方面的统计数据，而且可以处理科学实验方面的数据;不仅可以用于预测，而且也可应用于定额参数的确定。 在回归分析预测中，一元线性回归模型分析预测法是最常用的一种回归分析预测方法。以卜着重介绍一元线性回归模型及其在分析预测中的应用。二、一元线性回归分析模型 应用回归分析法进行经济预测的关健就是建立回归方程。当一个自变量与因变量(即预测对象)之间相关关系的统计规律旱线性关系时，就称其为一元线性回归。一元线性回归分析预测法，就是处理一个自变量与因变量间线性关系的一种用途很)’的方法。该方法简单、适用，可用于处理 有因果关系的经济方面的统计数据。一元线回归的基木模型为:Y’=a+bx其中:x 一一自变量或相关变量 y 一一因变量或预测变量 a、b—回归系数 回归系数 a、b 是根据最小二乘法和已知的样木资料求出结果是：三、线性相关程度测定及相关性检验 运用回归模型预测的关键是准确地把握住预测变量与相关变量之间的相关程度，只有在两个变量之间存在着密切的线性关系时，所建立的一元线性回归模型涉及分析预测，才会变得有意义和有价值。因此，对于有不同的变量，往往先进行相关分析，然后再选有明显关系的变量进行回归分析。在回归分析中，两个变量间相关程度的测定，一般通过计算相关系数 r 并进行相关显著性检验判定。相关系数 r 的计算公式为： 相关性检验:在计算相关系数 r 的基础上，再通过查《相关系数检验表》可得到 r}(n- 2)的值，并将其与 Irl 进行比较(注:a 为显著性水平，一般取 0.01 或 0.05; n 为已知的自变量(即因变量)的数据个数;n- 2 称为自由度)。若 Irl>r}( n- 2)，则表明在 a 显著性水平上 y 与 x 之间的线'h'}关系是显著的。 Irl 越接近于 1，预测变量 Y 与相关变量 x 的相关程度就越高。一般认为，当 0.7<Irl<1 时，表明预测变量与相关变量有较高程度的相关;当 0.3<Irl<0.7 时，表明两者有中等程度的相关;当O<IrI<0.3 时，表明两者相关程度甚差。一般当 Irl<0.6 时，就不能用线性回归方法进行预测。四、回归分析预测经济应用实例 在对所建立的回归模型进行相关程度测定与分析之后，如果预测变量 y 与相关变量 x 的相关程度是满意的，即所建立的回归模型可信，那么就可以运用该回归模型进行分析预测。 应用实例:随着人们家庭收入的增长和生活水平的提高，购买照相机的越来越多，也就是说收入增加是原因，消费需要照相机的数量是结果。那么就可以通过对一此统计数据资料的分析，找出家庭收入增加与需要照相机数量之间的规律，从而估算出家庭收入达到某种水平时市场对照相机的需求数量，为实现以销定产、合理安排生产计划提供依据。设 X 为某个时期的家庭人均收入，y 为该时期内平均每十户拥有照相机的数量。具体统计数据如表 1 所示。 我们采用一元线性模型来描述照相机需求量与家庭人均收入的因果关系。根据表 1 数据可计算出相关要素的值(结果见表 2) 。若 取 显 著 性 水 平 a=0.01 ， 而 其 自 由 度 为 n- 2=9- 2=7, 查 相 关 系 数 检 验 表 ， 得 ra=r001=0.798 .显然，0.991>0.798 即 r>ra)，这表明照相机的需求量与人均收入增加之间存在较高程度的相关关系。所建立的回归方程 y=1.707+2.913 有 99%的把握，在一定程度上是可用的。现 若家庭 人 均 收 入 达 到 了 650 元 ， 即 x=6.5( 百 元 ) ，将 其 代 入 回 归预 测 模 型 ， 则 得y=17.2(台)。 即当人均收入达到 650 元时，每十户需求(拥有)照相机的数量约为 17.2 台。五、可化为一元线性回归的几种常见情形 在实际经济生活中，经常会出现两个变量之间的相关关系不是线'h'}的(即直线型)，而是非线'h'}的(即曲线型)。在这种情况下，t3.iv 然不能用直接配用直线，而只能配一条相应的曲线了，这就是一元非线性回归问题。其中，有相当一类非线性回归问题可通过变量替换化为线'h'}回归问题，并建立起形如“y=a+b"的回归方程(模型)，从而应用上述一元线'h'}回归模型计算和分析的方法及步骤进行分析与预测。 在经济领域中，常见的可化为一元线性回归的非线性即（曲线型)问题，主要有以卜几种情形: 六、应用一元回归方法预测应注意的几个问题 1.建立回归方程的基础数据要求精确、真实、可靠;数据个数(称为样木容量)要求足够多，一般要求为 10 个-20 个。 2.-元线性相关可通过散点图进行初步判定。根据给定的关于 x 与 y 的一组历史数值，先将点(x，y)逐一绘制在一平面直角坐标系中，绘成散点分布图，并通过观察散点的分布状况来判定 x与 y 是否线'h'}相关;若散点分布在一条直线上或分布在一条直线的两旁，则表明 x 与 y 大致线性相关，可建立线性方程。这样，就可进一步计算有关回归系数、建立回归方程模型和相关性检验 ，符合要求后即可对预测对象进行预测。 3.为提高预测的把握程度，通常进行预测区间估计。即在理论预测值(y 的）基础上加减 1 个-3个剩余标准差(S)，形成一个 y+1-3S 的预测值区间。剩余标准差: 如在上例中，5=0.5 ,若取一个剩余标准差进行预测区间估计，则其预测值区间为 :(y-1S-)y+1S),即(17.2- 0.5)一(17.2+0.5)。也就是，当人均收入达到 650 元时，每十户需求(拥有)照相机的数量为 16.7^17.7 台。 4.若依时序(即自变量 x 为时间<如年>与另一个因变量 y<如产量>的一组数值)建立回归模型，并依此外推对未来因变量进行预测时，其外推预测的时间(即预测期)不宜过长。(5)预测需紧密结合定性分析。这样可使预测结果更可行、更实用，只有当预测结果符合或接近实际时，其预测才有意义和实用价值。参考文献：[1]陈锡康，李秉全.经济数学方法与模型，北京:中国财政经济出版社 2012.[2]华东师范大学数学系.概率论与数理统计教程，北京:高等教育出版社 2011.