2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组 A 卷）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）若将一个边长为 8 厘米的正方形盖在一个三角形上，则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半，占正方形面积的四分之三．那么这个三角形的面积是　 　平方厘米．2．（10 分）如图是两个两位数的减法竖式，其中A，B，C，D代表不同的数字．当被减数 取最大值时，A×B+（C+E）×（D+F）＝　 　．3．（10 分）某水池有A，B两个水龙头．如果 A，B同时打开需要 30 分钟可将水池注满．现在A和B同时打开 10 分钟，即将A关闭，由B继续注水 40 分钟，也可将水池注满．如果单独打开B龙头注水，需要　 　分钟才可将水池注满．4．（10 分）将六个数 1，3，5，7，9，11 分别填入如图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数），使每边上三个数的和都等于 17，则三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数之和为　 　．5．（10 分）四年级一班用班费购买单价分别为 3 元、2 元、1 元的甲、乙、丙三种文具．已知购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数少 2 件，且购买甲种文具的费用不超过总费用的一半．若购买的三种文具恰好共用了 66 元，那么甲种文具最多购买了　 　件．6．（10 分）如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有　 　种不同的走法．7．（10 分）一个车队以 4 米/秒的速度缓慢通过一座长 298 米的大桥，共用 115 秒，已知每辆车长 6 米，相临两车间隔 20 米，则这个车队一共有　 　辆车．8．（10 分）有一个长方形，如果它的长和宽同时增加 6 厘米，则面积增加了 114 平方厘米，则这个长方形的周长等于　 　厘米．二、简答题（每题 15 分，共 60 分，要求写出简要过程）9．（15 分）扑克牌的点数如图所示，最大时 13，最小是 1．现小明手里有 3 张点数不同的扑克牌，第一张和第二张扑克牌点数和是 25，第二张和第三张扑克牌点数和是 13，问：第三张扑克牌的点数是多少？10．（15 分）如图是一个净化水装置，水流方向从A先流向B，再流到C．原来容器A﹣B之间有 10 个流量相同的管道，B﹣C之间也有 10 个流量相同的管道．现调换了A﹣B与B﹣C之间的一个管道后，流量每小时增加了 40 立方米．问：通过调整管道布局，从A到C的流量最大可增加多少立方米？ 11．（15 分）如图中的一个长方形纸板每个角都被切掉了一个小长方形（含正方形），如果被切掉的小长方形的 8 对对边的长度分别是一个 1，四个 2，两个 3 和一个 4，那么纸板剩下的部分的面积最大是多少？12．（15 分）有 20 张卡片，每张上写一个大于 0 的自然数，且任意 9 张上写的自然数的和都不大于63．如果写有大于 7 的自然数的卡片为“龙卡”，问：这 20 张卡片中“龙卡”最大有多少张？所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是多少？2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组 A 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分）若将一个边长为 8 厘米的正方形盖在一个三角形上，则两个图形重叠部分的面积占三角形面积的一半，占正方形面积的四分之三．那么这个三角形的面积是　 96 　 平方厘米．【分析】根据正方形的面积公式S＝a×a求出正方形的面积，再根据“占正方形面积的三分之二，”求出两个图形重叠部分的面积，进而求出三角形面积．【解答】解：8×8× ÷ ，＝48×2，＝96（平方厘米），答：这个三角形的面积是 96 平方厘米；故答案为：96．2．（10 分）如图是两个两位数的减法竖式，其中A，B，C，D代表不同的数字．当被减数 取最大值时，A×B+（C+E）×（D+F）＝　 144 　 ．【分析】根据题干分析可得，A，B，C，D代表不同的数字．当被减数 取最大值可以是 98，则此题属于不借位减法，则F+D＝B＝8，C+E＝A＝9，据此即可解答问题．【解答】解：A，B，C，D代表不同的数字．当被减数 取最大值可以是 98，所以C、D都是小于8 的数，则F+D＝B＝8，C+E＝A＝9，所以A×B+（C+E）×（D+F）＝9×8+9×8＝72+72＝144，故答案为：144．3．（10 分）某水池有A，B两个水龙头．如果 A，B同时打开需要 30 分钟可将水池注满．现在A和B同时打开 10 分钟，即将A关闭，由B继续注水 40 分钟，也可将水池注满．如果单独打开B龙头注水，需要　 60 　 分钟才可将水池注满．【分析】我们把水池的容量看作单位“1”，先求出B水管的工作效率，然后用单位“1”除以B的工作效率就是单独打开B龙头注水，需要的时间．【解答】解：1÷[（1﹣ ）÷40]，＝1÷ ，＝60（分钟）；答：单独打开B龙头注水，需要 60 分钟才可将水池注满．故答案为：60．4．（10 分）将六个数 1，3，5，7，9，11 分别填入如图中的圆圈内（每个圆圈内仅填一个数），使每边上三个数的和都等于 17，则三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数之和为　 15 　 ． 【分析】根据题意，设三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数分别是A、B、C；每个边上的数加起来就是 1+3+5+7+9+11+A+B+C＝17×3，然后再进一步解答即可．【解答】解：设三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数分别是A、B、C；由题意可得：1+3+5+7+9+11+A+B+C＝17×3， 36+A+B+C＝51， A+B+C＝15．1+3+11＝15，3+5+7＝15，1+5+9＝15；又因为：1+9+7＝17，9+3+5＝17，1+11+5＝17；所以，三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数分别是 1、9、5；那么，1 与 9 中间的数是 7，9 与 5 之间的数是 3，1 与 5 中间的数是 11；由以上可得：所以，三角形点三个顶点处的圆圈内所填三数之和为 15．故答案为：15．5．（10 分）四年级一班用班费购买单价分别为 3 元、2 元、1 元的甲、乙、丙三种文具．已知购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数少 2 件，且购买甲种文具的费用不超过总费用的一半．若购买的三种文具恰好共用了 66 元，那么甲种文具最多购买了　 11 　 件．【分析】设购买甲文具为x元，则乙为（x﹣2）元，由于甲、乙、丙三种文具恰好用了 66 元钱，则买甲、乙两种文具的钱≤66，再根据购买甲文具的费用不超过总费用的一半，列不等式解答．【解答】9 解：设买甲种文具数量为x，丙种文具数量为y，则乙种文具数量为（x﹣2），则 3x+2（x﹣2）+y＝66，即y＝70﹣5x，又 3x≤ ，解得x≤11，所以甲文具最多购买 11 件，答：甲种文具最多购买了 11 件．故答案为：11．6．（10 分）如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有　 6 　 种不同的走法． 【分析】本题可以这样想：因为A点是相邻的三个正方形的面的交点，经过这三个面各有一条最短路线，这样有 3 种选择，接下来再从其中一个面到B个面又有相邻的两个面可供选择，所以根据乘法原理，可得共有：3×2＝6 种不同的走法；据此解答．【解答】解：根据分析可得，共有：3×2＝6（种），答：蚂蚁有 6 种不同的走法．故答案为：6．7．（10 分）一个车队以 4 米/秒的速度缓慢通过一座长 298 米的大桥，共用 115 秒，已知每辆车长 6 米，相临两车间隔 20 米，则这个车队一共有　 7 　 辆车．【分析】车队过桥所经过的路程是车队长加桥长，车队长：115×4﹣298＝162（米），车的间隔数是：（162﹣6）÷（20+6）＝6 个，则这个车队一共有：6+1＝7 辆车；据此解答．【解答】解：根据分析可得，车队长：115×4﹣298＝162（米），车的间隔数是：（162﹣6）÷（20+6）＝6（个），车一共有：6+1＝7（辆）；答：这个车队一共有 7 辆．故答案为：7．8．（10 分）有一个长方形，如果它的长和宽同时增加 6 厘米，则面积增加了 114 平方厘米，则这个长方形的周长等于　 26 　 厘米．【分析】如下图：由于原来长方形的长×6+原来长方形的宽×6+6×6＝114 平方厘米，根据乘法分配律可求原来长方形的长+宽，从而求得原来长方形的周长．【解答】解：（114﹣6×6）÷6×2，＝（114﹣36）÷6×2，＝78÷6×2，＝13×2，＝26（厘米），答：这个长方形的周长是 26 厘米．故答案为：26．二、简答题（每题 15 分，共 60 分，要求写出简要过程）9．（15 分）扑克牌的点数如图所示，最大时 13，最小是 1．现小明手里有 3 张点数不同的扑克牌，第一张和第二张扑克牌点数和是 25，第二张和第三张扑克牌点数和是 13，问：第三张扑克牌的点数是多少？【分析】由于最大时 13，最小是 1，又第一张和第二张扑克牌点数和是 25，25＝13+12，即第一张与第二张点数一定分别是 12 或 13．又第二张和第三张扑克牌点数和是 13，由于最小是 1，则第二张一定是 13﹣1＝12，则第三张是 1．【解答】解：由于最大时 13，最小是 1，25＝13+12，即第一张与第二张点数一定分别是 12 或 13．又第二张和第三张扑克牌点数和是 13，所以第二张一定是 13﹣1＝12， 则第三张是 1．10．（15 分）如图是一个净化水装置，水流方向从A先流向B，再流到C．原来容器A﹣B之间有 10 个流量相同的管道，B﹣C之间也有 10 个流量相同的管道．现调换了A﹣B与B﹣C之间的一个管道后，流量每小时增加了 40 立方米．问：通过调整管道布局，从A到C的流量最大可增加多少立方米？【分析】由于调换了A﹣B与B﹣C之间的一个管道后，流量每小时增加了 40 立方米可得：A﹣B和B﹣C之间的管道不一样，应该是其中的一组管道比另一组管道流量大，且调换一个管道流量每小时就增加 40 立方米，因为流量较大的一组共有 10 个管道，那么调换 5 组管道应该是增加流量最大，据此依据最大增加流量＝调换管道数×一组管道增加流量即可解答．【解答】解：40×（10÷2），＝40×5，＝200（立方米），答：通过调整管道布局，从A到C的流量最大可增加 200 立方米．11．（15 分）如图中的一个长方形纸板每个角都被切掉了一个小长方形（含正方形），如果被切掉的小长方形的 8 对对边的长度分别是一个 1，四个 2，两个 3 和一个 4，那么纸板剩下的部分的面积最大是多少？【分析】原来长方形纸板的面积是：12×11＝132，为定值，要使纸板剩下的部分的面积最大，则必须使切掉的四个小长方形的面积之和最小，显然应该用 1 和 4 配对，然后用两个 2 和两个 3 分别配对，最后是两个 2 配对，被切掉的 4 个小长方形的面积分别是：4、6、6、4，这时切掉的四个小长方形的面积之和最小，于是即可求出纸板剩下的最大面积．【解答】解：据分析可知：切掉的四个小长方形的面积分别为：1×4＝4，2×2＝4，2×3＝6，2×3＝6，原来纸板的面积：12×11＝132，切掉的四个小长方形的面积之和：4+4+6+6＝20，纸板剩下的最大面积：132﹣20＝112；答：纸板剩下的部分的面积最大 112．12．（15 分）有 20 张卡片，每张上写一个大于 0 的自然数，且任意 9 张上写的自然数的和都不大于63．如果写有大于 7 的自然数的卡片为“龙卡”，问：这 20 张卡片中“龙卡”最大有多少张？所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是多少？【分析】由于“龙卡”上写的数最小是 8，8×8＝64＞63，所以 8 张，所以最多有 7 张；设 7 张“龙卡”上写的自然数的和是S，如果再去两张小于 8 的卡片，就组成 9 张，当这两张的和最小时，S的值最大，又因为每张上写一个大于 0 的自然数，最小是 1，所以当这两张都是 1 时，它们的和最小，即是 2，又因为任意 9 张上写的自然数的和都不大于 63，即最大为 63，所以S的值最大是：63﹣2＝61；据此解答．【解答】解：由于“龙卡”上写的数最小是 8，8×8＝64＞63，所以 8 张，不合要求，所以最多有 7 张；其余的 13 张都是小于 8 的卡片；设 7 张“龙卡”上写的自然数的和是S，如果再去两张小于 8 的卡片，就组成 9 张，当这两张的和最小时，S的值最大，又因为每张上写一个大于 0 的自然数，最小是 1，所以当这两张都是 1 时，它们的和最小，即是2，又因为，任意 9 张上写的自然数的和都不大于 63，即最大为 63，所以S的值最大是：63﹣2＝61； 答：这 20 张卡片中“龙卡”最大有 7 张，所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是 61．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:55:42；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800