第十讲 质数、合数和分解质因数10.1 质数和合数[同步巩固演练]1、（南京市外校招生试题）若 a 是最小的自然数，b 是最小的质数，c 是最小的合数则 a＋b＋c= 。2、把 1 至 8 这 8 个自然数填入图 5-2 大圆上的小圆圈内，使任意相邻两圆圈内数的和都是质数（绕大圆圆心旋转而变成相同的填法算一种填法）。 第 2 题3、两个质数的和是 99，这两个质数的积是多少？4、两个连续自然数的积加上 11，其和是一个合数，这两个自然数的和最小是多少？5、有 7 个不同的质数，它们的和是偶数，其中最小的质数是几？6、由 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成的九位数可以是质数吗？7、写出 10 个连续自然数，个个都是合数。8、3 个质数倒数之和是 ，则这三个质数的和是多少？9、有两个质数的积是 65，它们的和是多少？差是多少？10、19 乘以一个数积是质数；乘以另一个数积是合数，并能被 1，2，3，4，…等自然数整除，问这两个数（不能是分数或小数）分别是什么数？[能力拓展平台]1、（全国奥赛决赛题，1990）用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只用到 1 次，那么，这 9 个数字最多能组成几质数？2、（南京第二届兴趣杯赛题）如果 a 是自然数，（a×a－4）÷7 是质数，那么 a 的最小两个数值是几？3、（全国竞赛题）请给出 5 个质数，把它们按从小到大的顺序排列起来，使每相邻两数的差都是 6。4、（北京市第七届迎春杯试题）9 个连续自然数，它们都大于 80，那么其中质数至多有几个？5、（第一届华杯赛一决赛题）如下图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是 20，而且每个小三角形三个顶点上填的数的和相等，问六个质数的积是多少？ 第 5 题6、（第六届华杯赛试题）“哥德巴赫猜想”是说：每个大于 2 偶数都可以表示成两个质数的和，问 168 是哪两个两位质数的和，并且其中一个的个位数是 1？7、（第五届华杯赛复赛试题）把 37 拆成若干个不同数的和，有多少种不同拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到乘积中哪个最小？8、（第五届华杯赛决赛试题）27 名小运动员所穿运动服的号码恰是 1，2，3…，26，27 这 27 个自然数，这些小运动员能否站成一个圆圈，使任意两个相邻运动员之和都是质数？说明理由。10.2 分解质因数[同步巩固演练] 1、相邻两个自然数的乘积是 756，这两个自然数分别是多少？2、有 5 个连续偶数的积是 3840，求这个数各是多少？3、有 5 个连续奇数的积是 945，求这五个数各是多少？4、五个孩子的年龄一个比一个小 1 岁，他们的年龄的乘积是 55440，求这五个孩子的年龄。5、有 3 个自然数 a、b、c，已知 a×b=6，b×c=15，a×c10，则 a×b×c=？6、求自然数 N，使得它能被 5 和 49 整除，并且有 10 个约数（包括 1 和本身）。7、自然数 1111155555 是两个连续奇数的乘积，则这两个连续奇数的和是多少？8、有三个自然数，最大的比最小的大 6，另一个是它们的平均数，且三个数的乘积是 42560，求这三个自然数。9、五个儿童的年龄的和是 37，积是 18480，如果每一个儿童的年龄都不到 13 岁，五个儿童的年龄各是多少？10、用几只船分三次把 90 袋化肥载过河去，已知每只船载的化肥袋数相同，且至少载 6 袋，每次应有多少只船？每只船载多少袋化肥？11、学生 1430 人参加团体体操，分成人数相等的若干队，每队人数在 100 人到 200 人之间，有几种排法？12、某班同学在王老师带邻下去植树，学生恰好能分成人数都相等的 3 组，如果老师与学生每人种树的棵数一样多，共种 884 棵，那么每人种树多少棵？（学生人数 50 人左右）13、一些真分数的分子与分母互质，且分母的乘积是 780，这样的真分数有多少个？[能力拓展平台]1、自然数 a 和 b 恰好都有 99 个自然数因数（包括 1 和该数本身），试问，数 a×b 能不能恰有 1000 个自然数因数（包括 1 和该数本身）。2、有三个自然数，它们的和是 338，积是 1986，求这三个数。3、求 2310 除它本身以外的最大约数。4、自然数 a 乘经 2376，正好是一个平方数，求 a 的最小值。5、三个自然数 a、b、c，已知 a×b=30，b×c=35，a×c=42，求 a×b×c 是多少？6、将 8 个数 14、30、33、75、143、169、4445、4953 分成两组，每组 4 个数，要使各组 4 个数的乘积相等。则其中一组的 4 个数是 14， 、 、 。7、有 24 盆花，分成几堆（至少分 2 堆），使每堆的盆数都相等，可以怎样分？8、将 750 元奖金平均分给若干获奖者，如果每人所得的钱化成以角作单位的数就正好是获奖人数的 12 倍，求获奖人数。9、边长是自然数，面积是 165 的形状不同的长方形共多少种？10、如果两个数的积与 308 和 450 的积相等，并且这两个数同时能被 30 整除，求这两个数。[全讲综合训练]1、50 以内，由 1～7 组成的两位数的质数共有多少个？2、用 1，2，4，5，8 中的三个数字组成、最大的三位质数。3、（“小学爱数学”大江杯赛题）100×101×102×…×199×200 这 101 个数相乘，积的末尾上连续有多少个“0”？4、（全国奥赛题，1992）一个小于 200 的自然数，它的每位数字都是奇数，且它等于两个两位数的积，求此自然数。5、（全国奥赛题，1992）如果自然数有四个不同的质数，那么，这样的自然数中，最小的是几？6、（全国数学竞赛题）在 947 后面添上三个不同的数字，组成一个能被 2，3，5 整除的六位数，这个数最小是几？7、（全国奥赛题，1992）找出 1992 的所有不同的质数，它们的和是多少？8、（南京市兴趣杯赛题）现有四个数：76550，76551，76552，76554，其中有两个数的乘积能被 12 整除，写出所有这样的两个数。9、将 60 拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么其中最大质数是几？10、从小到大写出 5 个质数，使后面的数都比前面的数大 12。11、两个大于 10 的合数的和是 29，这两个合数分别是多少？12、一个自然数 a 是一质数，而且 a＋12，a＋22 也是质数，那么 a 最小是多少？13、（第三届华杯赛复赛题）173□是个四位数，数学老师说：“我在这个□中先后填入 3 个数字，所得到的三个四位数，依次可被 9，11，6 整除”，问数学老先后填入的三个数字的和是多少？14、把 26，33，34，35，63，85，91，143 成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是 1，那么至少要分成多少组？ 15、小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的 10 倍，请问小明家的电话号码是多少？16、A=61×62×63×…×86×87×88。问 A 能否被 6188 整除？17、（第一届祖冲之杯赛题）如果一个数，将它的数字倒排后所得数仍是这个数，我们就称这个数为“回数”例如，22，464，25752 等都是“回数”“1991”这个数具有如下两个性质：（1）1991 是一个“回数”（2）1991 可以分解成一个两位素数回数与一个三位素数回数的积，即 1991=11×181，其中 11，181 既是回数又是素数。在 1000 到 2000 这 1000 个数中，除 1991 外，具有性质（1）和（2）的整数还有哪些？18、（第二届华杯赛决赛二试题）已知五个数依次是 13，12，15，25，20，它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数相邻两个相乘得三个数，它三个数每相邻两个相乘得两个数，这两个数相乘得一个数，请问最后这个数从个位起向左数，可以连续地数到几个 0（如图） 第 18 题