2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 A 卷）一、填空题（每小题 3 分，共 80 分）1．（3 分）算式 10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]得值为　 　．2．（3 分）箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的三分之二．若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里红球与黑球数量之比为　 　．3．（3 分）有两个体积之比为 5：8 的圆柱，它们的侧面的展开图为相同的长方形，如果把该长方形的长和宽同时增加 6．其面积增加了 114．那么这个长方形的面积　 　．4．（3 分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调 90 袋到乙粮库，则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的 2 倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的 6 倍．那么甲粮库原来最少存有　 　袋粮食．5．（3 分）现有 211 名同学和四种不同的巧克力．每种巧克力的数量都超过 633 颗．规定每名同学最多拿三颗巧克力，也可以不拿．若按照巧克力的种类和数量都是否相同分组，则人数最多的一组至少有　 　名同学．6．（3 分）张兵 1953 年出生，在今年之前的某一年，他的年龄是 9 的倍数并且是这一年的各位数字之和．那么这一年他　 　岁．7．（3 分）如图是一个五棱柱的平面展开图．图中的正方形边长都为 2．按图所示数据，这个五棱柱的体积等于　 　．8．（3 分）在乘法算式 • ＝ 中，汉字代表非零数字，不同汉字代表不同数字，那么 所代表的四位数最小是　 　．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．如图ABCD是平行四边形，E为AB延长线上一点，K为AD延长线上一点．连接BK，DE相交于一点O，问：四边形ADOB与四边形ECKO的面积是否相等？请说明理由．10．能否用 500 个如图所示的 1×2 的小长方形形成一个 5×200 的大长方形，使得 5×200 的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由．11．将一个 2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数．如果这两个n位数之和的平方正好等于这个 2n位数．则称这个 2n位数为卡不列克（Kabulek）怪数，例如，（30+25）2＝3025，所以 3025是一个拉布列克怪数．请问在四位数中有哪些卡不列克怪数？12．已知 98 个互不相同的质数p1，p2…p98，记N＝p+p+…p，问：N被 3 除的余数是多少．三、解答下列各题（每小题 0 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．小华和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，两人同时同地出发，小华顺时针跑，每 72 秒跑一圈；小 张逆时针跑，每 80 秒跑一圈．在跑道上划定以起点为中心的 圆弧区间，那么两人同时在规定的区间内所持续的时间为多少秒？14．把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色，然后切割成棱长为 1 的小立方体．其中，两面有红色的小立方块有 40 块，一面有红色的小立方块有 66 块，那么这个长方体的体积是多少？2012 年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 A 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 3 分，共 80 分）1．（3 分）算式 10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]得值为　 9.3 　 ．【分析】10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]先去掉小括号变成 10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣9.2×5.2﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，利用乘法的分配律变成 10﹣10.5÷[5.2×（14.6﹣9.2）﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，再利用乘法的分配律变成 5.2×5.4﹣5.4×3.7+4.6×1.5，再次利用乘法的分配律进行简算．【解答】解：10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣（9.2×5.2+5.4×3.7﹣4.6×1.5）]，＝10﹣10.5÷[5.2×14.6﹣9.2×5.2﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，＝10﹣10.5÷[5.2×（14.6﹣9.2）﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，＝10﹣10.5÷[5.2×5.4﹣5.4×3.7+4.6×1.5]，＝10﹣10.5÷[5.4×（5.2﹣3.7）+4.6×1.5]，＝10﹣10.5÷[5.4×1.5+4.6×1.5]，＝10﹣10.5÷[1.5×（5.4+4.6）]，＝10﹣10.5÷15，＝10﹣0.7，＝9.3．故答案为：9.3．2．（3 分）箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的三分之二．若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里红球与黑球数量之比为　 1 ： 2 　 ．【分析】我们设出设红球有a个，黑球b个，放入的黑红球都是x个．根据“放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的三分之二．若放入的黑球和红球数量相同”列出两个方程进行解答即可．【解答】解：设红球有a个，黑球b个，放入的黑红球都是x个．＝ ， x+a+b＝4a， x＝3a﹣b，＝ ，3a+3x＝2b+2x， x＝2b﹣3a，把x＝3a﹣b代入进行计算，3a﹣b＝2b﹣3a， 3b＝6a， a：b＝1：2，原来箱子里红球与黑球数量之比为 1：2．故答案为：1：2．3．（3 分）有两个体积之比为 5：8 的圆柱，它们的侧面的展开图为相同的长方形，如果把该长方形的长和宽同时增加 6．其面积增加了 114．那么这个长方形的面积　 40 　 ．【分析】侧面的展开图为相同的长方形，说明这个长方形是横着围成一个长方体，和竖着围成一个长方体，体积比为 5：8，如图，阴影部分的面积是 114，则（a+b）的和为（114﹣6×6）÷6＝ 13，根据体积比为 5：8 可知： ，化简为 ，再化简为 ，而a+b＝13，所以a、b分别为 8 和 5，而积为 5×8＝40，据此解答即可．【解答】解：设长方形的长和宽分别为a和b，则a+b＝（114﹣6×6）÷6＝13，根据体积比为 5：8 可知： ，化简为 ，再化简为 ，而a+b＝13，所以a、b分别为 8 和 5，而积为 5×8＝40，答：这个长方形的面积为 40．故答案为：40．4．（3 分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调 90 袋到乙粮库，则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的 2 倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的 6 倍．那么甲粮库原来最少存有　 153 　 袋粮食．【分析】两个关系式为：（甲库存粮﹣90）×2＝乙库存粮+90；甲库存粮+若干袋粮＝（乙库存粮﹣若干袋粮）×6，进而得到相应的最小整数解即可．【解答】解：设甲库原来存粮a袋，乙库原来存粮b袋，依题意可得 2（a﹣90）＝b+90（1）；再设乙库调c袋到甲库，则甲库存粮是乙库的 6 倍，即a+c＝6（b﹣c）（2）；由（1）式得b＝2a﹣270 （3），将（3）代入（2），并整理得 11a﹣7c＝1620，由于c＝ ＝a﹣232+又a、c是正整数，从而有 ≥1，即a≥148；并且 7 整除 4（a+1），又因为 4 与 7 互质，所以 7 整除a+1，a+1 最小为 154，则a最小是 153．答：甲库原来最少存粮 153 袋．故答案为：153．5．（3 分）现有 211 名同学和四种不同的巧克力．每种巧克力的数量都超过 633 颗．规定每名同学最多拿三颗巧克力，也可以不拿．若按照巧克力的种类和数量都是否相同分组，则人数最多的一组至少有　 7 　 名同学． 【分析】每一名学生可以拿：括号内为该情况发生有几种情况．1，一个不拿（1 种情况）；2，拿四种糖果中任意一个 （4 种情况）；3．拿两个，都是同种糖果（4 种情况）；4．拿两个且不同的糖果，随机的（6 种情况）；5．拿三个，都相同（4 种情况）； 6．拿三个，两个相同（12 种情况）；7．拿三个都不同的糖果（4 种情况）；所以一个同学所取的不同种类共有 1+4+4+6+4+12+4＝35 种情况；因为每一种糖都超过 633 颗，所以第五种情况能够出现，3×211＝633，足够分．所以其他六种情况也能够发生．所以，要让最多的那组人数最少就是：211÷35＝6…1（余数 1）；即最多的一组最少为 6+1＝7 人．【解答】解：根据题干分析可得：一个同学所取的不同种类共有 1+4+4+6+4+12+4＝35；这 35 种情况可以看做 35 个抽屉，211÷35＝6…1；所以 6+1＝7（人），答：人数最多的一组至少有 7 人．故答案为：7．6．（3 分）张兵 1953 年出生，在今年之前的某一年，他的年龄是 9 的倍数并且是这一年的各位数字之和．那么这一年他　 18 　 岁．【分析】根据题意，设那一年是 19AB年，那么他这一年的年龄是 1900+10A+B﹣1953 岁，也是1+9+A+B岁，又因为他的年龄是 9 的倍数，那么 1+9+A+B是 9 的倍数，然后列出方程进一步解答即可．【解答】解：设那一年是 19AB年；根据题意可得：1900+10A+B﹣1953＝1+9+A+B， 10A+B﹣53＝10+A+B， 9A＝63， A＝7；因为他的年龄是 9 的倍数，那么 1+9+A+B是 9 的倍数；1+9+7+B＝17+B是 9 的倍数；那么B＝1 时，17+1＝18 是 9 的倍数；所以，在 1971 年，他的年龄是 9 的倍数并且是这一年的各位数字之和；这一年他的年龄是：1971﹣1953＝18（岁）．答：这一年他 18 岁．故答案为：18．7．（3 分）如图是一个五棱柱的平面展开图．图中的正方形边长都为 2．按图所示数据，这个五棱柱的体积等于　 7 　 ．【分析】如图，两个五边形是折成的五棱柱的底，其面积是正方形的面积减去一个直角三角形的面积，正方形的边长是 2，三角形的底和高都是 1，据此可求出这个五边形的面积，也就是五棱柱的底面积，五棱柱的高是 2，根据直棱的体积＝底面积×高，即可求出这个五棱柱的体积．【解答】解：（2×2﹣ ×1×1）×2＝（4﹣0.5）×2＝3.5×2＝7；故答案为：78．（3 分）在乘法算式 • ＝ 中，汉字代表非零数字，不同汉字代表不同数字，那 么 所代表的四位数最小是　 4396 　 ．【分析】根据题意，由整数乘法的计算方法进行推算即可．【解答】解：有 9 个汉字，没有 0，所以 9 个汉字对应 1～9，9 个数字；要求最小，那么“花”和“草”我们只能取 1 和 2；根据两个数和一定，差越小积越大，我们选择“花”为 1，“草”是 2；“春”字只能取 3 或者 4；， ， 中，个位的三个数字，至少有 2 个是 5、6、7、8、9 这五个人数字中的 2 个；一个数与 5 相乘的末尾不是 0 就是 5，因此不能有 5；又因为 6×7＝42，个位是 2，有重复不可以；依次判断，只能是 6×9＝54，或者 7×8＝56，或者 7×9＝63；当是 7×8＝56 时，有 28×157＝4396，这时最小．故答案为：4396．二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．如图ABCD是平行四边形，E为AB延长线上一点，K为AD延长线上一点．连接BK，DE相交于一点O，问：四边形ADOB与四边形ECKO的面积是否相等？请说明理由．【分析】如图，连结AC，根据平行四边形的特征及三角形的面积公式可知△DCE的面积等于△DCA的面积，△AKC的面积等于△AKB的面积，四边形ECKO的面积+△ODK的面积＝四边形EDKC的面积＝△DCE的面积+△DCK的面积＝△ADC的面积+△CD的面积K＝△ACK的面积，又由四边形ABOD的面积+△ODK的面积＝四边形ECKO的面积+△ODK的面积，从而得出四边形ADOB与四边形ECKO的面积相等．【解答】解：如图，连结AC因为AB∥CD，所以S△DCE＝S△DCA（同底等高）S四边形ABOD+S△ODK＝S△ABK，S四边形ECKO+S△ODK＝S四边形EDKC＝S△DCE+S△DCK＝S△ADC+S△CDK＝S△ACK，又因为DC∥AB，所以△AKC＝S△AKB所以S四边形ABOD+S△ODK＝S四边形ECKO+S△ODK即S四边形ABOD＝S四边形ECKO；故答案为：相等10．能否用 500 个如图所示的 1×2 的小长方形形成一个 5×200 的大长方形，使得 5×200 的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由．【分析】500 个小长方形就有 500 个小星星，500 个星星平均分成 5 行，每行就有 100 个，是偶 数；500÷200＝2（个）…100（个）；再把余下的 100 个平均分给 50 列，每列分 2 个，这 50 列每列就是 2+2＝4（个），剩下的 150 列每列是 2 个，都是偶数，由此可解．【解答】解：可以使 5×200 的长方形的每一行、每一列都有偶数个星，因为；500 个小长方形就有 500 个小星星，500÷5＝100（个），每行 100 个是偶数；500÷200＝2（个）…100（个）；再把余下的 100 个平均分给 50 列，每列分 2 个，这 50 列每列就是 2+2＝4（个），剩下的 150 列每列是 2 个，都是偶数；所以可以使 5×200 的长方形的每一行、每一列都有偶数个星．11．将一个 2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数．如果这两个n位数之和的平方正好等于这个 2n位数．则称这个 2n位数为卡不列克（Kabulek）怪数，例如，（30+25）2＝3025，所以 3025是一个拉布列克怪数．请问在四位数中有哪些卡不列克怪数？【分析】设该数的前两位为x，后两位为y．于是有（x+y）2＝100x+y＝x+y+99x，即：（x+y）（x+y﹣1）＝99x，从而看出x+y与x+y﹣1 中有一个是 9 的倍数，另一个是 11 的倍数（当然依照位数不同，也可能是别的因数），从而找出满足条件的三个数：45，55 和 99，然后求出它们的平方数即可．【解答】解：设该数的前两位为x，后两位为y．于是有（x+y）2＝100x+y＝x+y+99x，即：（x+y）（x+y﹣1）＝99x，从而看出x+y与x+y﹣1 中有一个是 9 的倍数，另一个是 11 的倍数（当然依照位数不同，也可能是别的因数），可以找出满足条件的三个数：45，55 和 99，平方得 2025，3025，9801；即符合：（20+25）2＝2025；（30+25）2＝3025；（98+1）2＝9801；答：在四位数中的卡不列克怪数有：2025，3025，9801．12．已知 98 个互不相同的质数p1，p2…p98，记N＝p+p+…p，问：N被 3 除的余数是多少．【分析】除 3 外，因为质数被 3 除的余数为 1 或 2，质数的平方除以 3，余数只能是 1，（2 的平方除以 3 余 1），然后分是否含有质数 3 讨论．【解答】解：（1）这些质数中不含质数 3，所以该数平方后被 3 除的余数就是 1，所以N被 3 除的余数就是 98 被 3 除的余数，是 2；（2）如果有 3，那么剩下 97 个除以 3 余 1．3 的平方除以 3 余数是 0，那么N除以 3 的余数 1．答：N被 3 除的余数是 1 或 2．三、解答下列各题（每小题 0 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．小华和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，两人同时同地出发，小华顺时针跑，每 72 秒跑一圈；小张逆时针跑，每 80 秒跑一圈．在跑道上划定以起点为中心的 圆弧区间，那么两人同时在规定的区间内所持续的时间为多少秒？【分析】①如果第一次小李速度 出划定区域用时为 ÷ ＝9，小张速度 出划定区域用时÷ ＝10，10 大于 9，所以为 9 秒；②第二次：小华入划定区域用时（1﹣ ÷2）÷ ＝63（秒），出区域时间（1+ ÷2）÷ ＝81（秒）；小张入区域用时（1﹣ ÷2）÷ ＝70（秒），出区域用时（1+ ÷2）÷ ＝90（秒）， 他们在划定区域时间范围 70～81 延续时间为 11 秒；③第三次：小华 135～153，小张 150～170 范围 150～153 时间为 3 秒；④小华入划定区域用时（1﹣ ÷2）÷ ＝63（秒），出区域时间（1+ ÷2）÷ ＝81（秒）；81﹣63＝18（秒）；其他类似情况可的同样结果．【解答】解：①小华出划定区域用时为（ ÷2）÷ ＝9，小张出划定区域用时（ ÷2）÷ ＝10，10＞9，所以为 9 秒；② 80×（1﹣ ÷2），＝80× ，＝70（秒）；72×（1+ ÷2），＝72× ，＝81（秒）；81﹣70＝11（秒）；③第三次：小华 135～153，小张 150～170 范围 150～153 时间为 3 秒；④小华入划定区域用时（1﹣ ÷2）÷ ＝63（秒），出区域时间（1+ ÷2）÷ ＝81（秒）；81﹣63＝18（秒）；综上：答案为：3，9，11，18．答：两人同时在规定的区间内所持续的时间为 3，9，11，18 秒．14．把一个棱长为整数的长方体的表面都涂上红色，然后切割成棱长为 1 的小立方体．其中，两面有红色的小立方块有 40 块，一面有红色的小立方块有 66 块，那么这个长方体的体积是多少？【分析】两面有红色的小立方块处在棱上，一面有红色的小立方块处在 8 个顶点上，设长方体的长宽高上分别有两面有红色的小立方体x、y、z块，根据题意可得，同一个顶点上的三条棱上两面有红色的小立方体的块数和是：x+y+z＝40÷4＝10，①；同一个顶点上的三个面上一面有红色的小立方体的块数和是：xy+xz+yz＝66÷2＝33，②；然后联立等式可得：由①和②可得，x2+y2+z2＝102﹣2×33＝34，③并且x、y、z≤5，然后分x＝1、2、3、4、5，分组讨论即可．【解答】解：设长方体的长宽高上分别有两面有红色的小立方体x、y、z块，根据题意可得x+y+z＝40÷4＝10，①xy+xz+yz＝66÷2＝33，②由①和②可得，x2+y2+z2＝102﹣2×33＝34，③并且x、y、z≤5，由②可得，（x+y）（x+z）＝x2+33，④若x＝1，（1+y）（1+z）＝12+33＝2×17＝1×34，那么x和y是：2﹣1＝1，17﹣1＝16，或 1﹣1＝0，34﹣1＝33，都不合x、y、z≤5，舍去；同理，若x＝2，（2+y）（2+z）＝22+33＝1×37，那么x和y是：1﹣2＝﹣1，37﹣2＝35，不合x、y、z≤5，舍去；若x＝3，（3+y）（3+z）＝32+33＝42＝6×7＝3×14＝1×42＝×21，显然，3×14 和 1×42 都 不合要求，那么x和y是：6﹣3＝3，7﹣3＝4，符合x、y、z≤5；若x＝4，（4+y）（4+z）＝42+33＝49＝7×7，那么x和y是：7﹣4＝3，7﹣4＝3，符合x、y、z≤5；并且和上一种情况是同一种情况，若x＝5，（5+y）（5+z）＝52+33＝58＝1×58，显然，那么x和y是：1﹣5＝﹣4，58﹣5＝54，不符合x、y、z≤5；所以，长方体的长、宽、高是：4+2＝6，3+2＝5，3+2＝5，所以，体积是：6×5×5＝150；答：这个长方体的体积是 150．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:51:31；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800