2011 年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级）一、填空题1．（8 分）算式 1×2+3×4+5×6+7×8+9×10 的计算结果是　 　．2．（8 分）十二月份共有 31 天，如果某年 12 月 1 日是星期一，那么该年 12 月 19 日是星期　 　．（星期一至星期日用数字 1 至 7 表示）3．（8 分）如图的等腰梯形上底长度等于 3，下底长度等于 9，高等于 4，那么这个等腰梯形的周长等于　 　．4．（8 分）某乐团女生人数是男生人数的 2 倍，若调走 24 名女生，则男生人数是女生人数的 2 倍，那么该乐团原有男女学生一共　 　人．5．（8 分）规定 1※2＝0.1+0.2＝0.3，2※3＝0.2+0.3+0.4＝0.9，5※4＝0.5+0.6+0.7+0.8＝2.6，如果a※15＝16.5，那么a等于　 　．二、填空题6．（10 分） 如图，蚂蚁从正方体的顶点A沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁一共有　 　种不同的爬法．7．（10 分）如图，在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．两个乘数的和是　 　．8．（10 分）两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形，若其中较小正方形的边长为 12 厘米，那么较大正方形的面积是　 　平方厘米．9．（10 分）如图的 5×5 的表格中有 6 个字母，请沿格线将右图分割为 6 个面积不同的小长方形（含正方形），使得每个长方形中恰好有一个字母，且每个字母都在小长方形角上的方格中．若这六个字母分别等于它所在小长方形的面积，那么五位数 ＝　 　． 10．（10 分）小人国有 2011 个小矮人，他们中的每个人不是戴红帽子就是戴蓝帽子．小矮人戴红帽子时说真话，戴蓝帽子时可以说假话；并且他们随时可以更换自己帽子的颜色．某一天，他们恰好每两人都见了一次面，并且都说对方戴蓝帽子．那么一天他们总共最少改变了　 　次帽子的颜色．三、填空题11．（12 分）如图，一个大长方形被分成 8 个小长方形，其中长方形A、B、C、D、E的周长分别是 26厘米、28 厘米、30 厘米、32 厘米、34 厘米，那么大长方形的面积最大是　 　平方厘米．12．（12 分）如图是一个 6×6 的方格表，将数字 1～6 填入空白方格中，使得每一行、每一列数字 1～6 都只恰好出现一次，方格表还被粗线划分成了 6 块区域，每个区域数字 1～6 也恰好都只出现一次，那么最下面一行的前 4 个数字组成的四位数 是　 　．13．（12 分）甲、乙两车同时从A地出发开往B地，出发的时候，甲车的速度比乙车的速度每小时快2.5 千米．10 分钟后，甲车减速了；再过 5 分钟后，乙车也减速了，这时乙车比甲车每小时慢 0.5千米．又过了 25 分钟后两车同时到达B地，那么甲车当时速度每小时减少了　 　千米．14．（12 分）把同时满足下列两个条件的自然数称为“幸运数“：（1）从左往右数，第三位起，每一位的数字是它前面的两个数字的差（大数减去小数）；（2）无重复数字．例如：132、871、54132都是“幸运数“；但 8918（数字“8“重复）、990（数字“9“重复）都不是“幸运数“，那么最大“幸运数“从左往右的第二位数字是　 　．15．（12 分）一个由某些非零自然数所组成的数组具有以下的性质：（1）这个数组中的每个数（除了 1 以外），都可被 2、3、5 中的至少一个数整除．（2）对于任意非零自然数n，若此数组中包含有 2n、3n、5n中的一个，则此数组中必同时包含有n、2n、3n和 5n．如果此数组中数的个数在 300 和 400 之间，那么此数组包含　 　个数．2011 年“迎春杯”数学解题能力展示初赛试卷（五年级）参考答案与试题解析一、填空题1．（8 分）算式 1×2+3×4+5×6+7×8+9×10 的计算结果是　 190 　 ．【解答】解：1×2+3×4+5×6+7×8+9×10＝2+12+30+56+90＝190故答案为：190．2．（8 分）十二月份共有 31 天，如果某年 12 月 1 日是星期一，那么该年 12 月 19 日是星期　 5 　 ．（星期一至星期日用数字 1 至 7 表示）【解答】解：19﹣1＝18（天）18÷7＝2（周）…4（天）星期 1 再过 4 天就是星期 5．答：该年 12 月 19 日是星期 5．故答案为：5． 3．（8 分）如图的等腰梯形上底长度等于 3，下底长度等于 9，高等于 4，那么这个等腰梯形的周长等于　 22 　 ．【解答】解：（9﹣3）÷2＝3，＝ ＝5，3+9+5+5＝22答：这个等腰梯形的周长等于 22．故答案为：22．4．（8 分）某乐团女生人数是男生人数的 2 倍，若调走 24 名女生，则男生人数是女生人数的 2 倍，那么该乐团原有男女学生一共　 48 　 人．【解答】解：设调走前男生有x人，则女生有 2x人， 所以x＝2（2x﹣24） x＝4x﹣48 3x＝48 x＝1616×2+16＝32+16＝48（人）答：该乐团原有男女学生一共 48 人．故答案为：48．5．（8 分）规定 1※2＝0.1+0.2＝0.3，2※3＝0.2+0.3+0.4＝0.9，5※4＝0.5+0.6+0.7+0.8＝2.6，如果a※15＝16.5，那么a等于　 4 　 ．【解答】解：根据运算规律可得，16.5 是等差数列的和，15 是等差数列的项数，公差是 0.1，a是首项的 10 倍，a＝[16.5﹣ ]÷15×10＝[16.5﹣10.5]÷15×10＝6÷15×10＝4故答案为：4．二、填空题6．（10 分） 如图，蚂蚁从正方体的顶点A沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁一共有　 6 　 种不同的爬法．【解答】解：3×2＝6（种）；答：蚂蚁一共有 6 种不同的爬法．故答案为：6．7．（10 分）如图，在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．两个乘数的和是　 684 　 ． 【解答】解：根据题意，由竖式可得：第一个因数与 2 相乘，是一个三位数，并且末尾数是 0，5×2＝10，所以，第一个因数的个位上的数是 5，第一个因数百位数字最大是 4，因为最后的结果是六位数，那么，只能是 4；可以得到第一个因数是 4□5；又因为 4□5 与第二个因数十位数数相乘的积是□1□，那么第二个因数十位数是 1 或 2；假设是1，415×1＝415，那么第一个因数是 415，第二个因数最大是 219，415×219＝90885，不是六位数，那么第二个因数十位数是 2；只有 455×2＝910，所以，第一个是 455，又因为 455×9＝4095，所以，第二个因数是 229；由以上可得：；所以，两个乘数的和是：455+229＝684．故答案为：684．8．（10 分）两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形，若其中较小正方形的边长为 12 厘米，那么较大正方形的面积是　 162 　 平方厘米．【解答】解：根据分析，全部分成和最小的等腰直角三角形大小相同的图形，如图：大正方形分成 18 个，小正方形分成 16 个，∴较大正方形的面积＝12×12÷16×18＝162（平方厘米）．故答案是：162． 9．（10 分）如图的 5×5 的表格中有 6 个字母，请沿格线将右图分割为 6 个面积不同的小长方形（含正方形），使得每个长方形中恰好有一个字母，且每个字母都在小长方形角上的方格中．若这六个字母分别等于它所在小长方形的面积，那么五位数 ＝　 34216 　 ．【解答】解：根据分析，因总面积＝5×5＝25，可以将图分割，如图：1+2+3+4+5＝21，需要增加 4，最大可以有 9，而且不能有 7，如果有 9，则F＝9，剩余 16 只能是 1+2+3+4+6，经尝试结果为 34216，如果有 8，则F＝8，不在角上，不合题意，综上，A＝3，B＝4，C＝2，D＝1，E＝6，故答案是：3421610．（10 分）小人国有 2011 个小矮人，他们中的每个人不是戴红帽子就是戴蓝帽子．小矮人戴红帽子时说真话，戴蓝帽子时可以说假话；并且他们随时可以更换自己帽子的颜色．某一天，他们恰好每两人都见了一次面，并且都说对方戴蓝帽子．那么一天他们总共最少改变了　 2009 　 次帽子的颜色．【解答】解：2011﹣2＝2009（次）答：一天他们总共最少改变了 2009 次帽子的颜色．故答案为：2009．三、填空题11．（12 分）如图，一个大长方形被分成 8 个小长方形，其中长方形A、B、C、D、E的周长分别是 26厘米、28 厘米、30 厘米、32 厘米、34 厘米，那么大长方形的面积最大是　 512 　 平方厘米．【解答】解：设B的高是a，则A、C、D的高分别为a﹣1，a+1，a+2，B的宽为 28÷2﹣a＝14﹣a，E的宽为 14﹣a+3＝17﹣a，大正方形的面积为（a﹣1+a+a+1+a+2）（14﹣a+17﹣a）＝（4a+2）（31﹣2a）＝2（2a+1）（31﹣2a），2a+1 和 31﹣2a的和是 32，两数和相同，两数越接近时，积越大，2a+1＝31﹣2a，4a＝30，a＝7.5，总面积为 2×16×16＝512 平方厘米．故答案为 512．12．（12 分）如图是一个 6×6 的方格表，将数字 1～6 填入空白方格中，使得每一行、每一列数字 1～6 都只恰好出现一次，方格表还被粗线划分成了 6 块区域，每个区域数字 1～6 也恰好都只出现一次，那么最下面一行的前 4 个数字组成的四位数 是　 2413 　 ． 【解答】解：依题意可知：第一行的 5 只能写在第 5 格子，进而推出第二行的 5 只能在第一列，第五行的 5 只能在第二列的位置；左上块的 4 只能填写在第 2 行的第 4 格子．所以第六行的 4 只能在B．第三列上两格子是 3 和 6，所以下两个格子就是 1 和 2．D就是 3，A不能是 1，则C为 1，进而根据最后一行可知A为 2．故答案为：2413．13．（12 分）甲、乙两车同时从A地出发开往B地，出发的时候，甲车的速度比乙车的速度每小时快2.5 千米．10 分钟后，甲车减速了；再过 5 分钟后，乙车也减速了，这时乙车比甲车每小时慢 0.5千米．又过了 25 分钟后两车同时到达B地，那么甲车当时速度每小时减少了　 10 　 千米．【解答】解：10 分＝ 小时25 分＝ 小时5 分＝ 小时前 10 分钟，甲车比乙车多行：2.5× ＝ （千米）后 25 分钟，甲车比乙车多行了 0.5× ＝ （千米）中间的 5 分钟，乙车应比甲车多行 + ＝ （千米）中间 5 分钟乙车比甲车快了： ÷ ＝7.5（千米/时）甲车减速：2.5+7.5＝10（千米/时）答：甲车当时速度每小时减少了 10 千米．故答案为：10．14．（12 分）把同时满足下列两个条件的自然数称为“幸运数“：（1）从左往右数，第三位起，每一位的数字是它前面的两个数字的差（大数减去小数）；（2）无重复数字．例如：132、871、54132都是“幸运数“；但 8918（数字“8“重复）、990（数字“9“重复）都不是“幸运数“，那么最大“幸运数“从左往右的第二位数字是　 5 　 ．【解答】解：依题意可知：首先最大的数字首位是 9．如果是 98 开头那么这个数字为 98176； 如果是 97 开头那么这个数字是 97253；如果是 96 开头那么这个数字是 963；如果是 95 开头那么这个数字是 954132；如果是 94 开头那么这个数字是 9451；如果是 93 开头那么这个数字是 936；如果是 92 开头那么这个数字是 9275；如果是 91 开头那么这个数字是 9187；最大数字是 954132，易知幸运数里面不能含有 0，如果是 7 位数，容易观察到是无法取到的．故答案为：5．15．（12 分）一个由某些非零自然数所组成的数组具有以下的性质：（1）这个数组中的每个数（除了 1 以外），都可被 2、3、5 中的至少一个数整除．（2）对于任意非零自然数n，若此数组中包含有 2n、3n、5n中的一个，则此数组中必同时包含有n、2n、3n和 5n．如果此数组中数的个数在 300 和 400 之间，那么此数组包含　 364 　 个数．【解答】解：由题意，不妨设N＝2x×3y×5z（x，y，z都是自然数，x+y+z≤n，其中最高次方为n）的形式．（1）x+y+z＝0 时，x＝y＝z＝0，N＝1，符合此时，有 1 个；（2）x+y+z＝1 时，则 或 或 ，所以N＝2 或 3 或 5，符合，此时有 3 个；（3）x+y+z＝2 时，x＝y＝1，z＝0 或x＝z＝1，y＝0 或x＝0，y＝z＝1 或x＝2，y＝z＝0 或x＝z＝0，y＝2 或x＝y＝0，z＝2，所以N＝6 或 10 或 15 或 4 或 9 或 25，符合，此时有 6 个；（4）x+y+z＝n时，有 个符合，则共有N＝ + +…+ 个符合，由题意，此数组中数的个数在 300 和 400 之间，所以N＝ + +…+ ＝1+2+…+78＝364 个符合题意．故答案为 364．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:04:07；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800