第九讲 约数、倍数和最大公约数、最小公倍数9.1 约数、倍数[同步巩固演练]1、试求下列各数的约数的个数：（1）3136； （2）463052、试求下列各数的约数的和：（1）1998： （2）162003、甲数的 2 倍等于乙数，乙数的 3 倍等于丙数，丙数的 4 倍等于甲数，求甲数。4、100 以内能被 3 与 7 整除的最大奇数是几？最大偶数是几？5、小于 200 的有 14 个约数的自然数是多少？6、有奇数个约数的三位数是多少个？7、在所有两位数中，哪个数的约数最多？最多有多少个约数？8、有 12 个数约数的最小自然数是几？9、求出不大于 30 且有八个约数的最大自然数。10、求小于 1000 的只有 15 个约数的最大自然数。11、能同时被 2，3，5，7 整除的最小四位数是几？12、如果 ×4= ，求五位数 。13、把 316 表示成两个数的和，使其中一个是 13 的倍数，另一个是 11 倍的数，求此二个数。14、四个连续的自然数的积是 3024，求此四个数。15、十个连续的三位数，最大不超过 130，这十个数的和是 77 倍数，求这十个数。[能力拓展平台]1、求 50 至 70 之间只有 4 个不同约数的所有自然数。2、已知 a 有 8 个约数，b 有 9 个约数，且 a、b 的最大公约数是 12，试求 a 与 b。3、一个数的约数中，将所有约数两两求和，所有的和中，最小的是 3，最大的是 1200，求这个数。4、修改 31743 的某一个数字，可以得到 823 的倍数，问修改后的这个数是几？5、一个数如果等于除它本身外的所有约数的和，则称此数为完全数，已知 30 以内有两个完全数，试把它们找出来，并请找出，在 496，996，4128 中哪几个完全数？6 、 一 串 数 排 成 一 行 ， 头 两 个 数 都 是 1 ， 从 第 三 个 数 开 始 ， 每 一 个 数 都 是 前 两 个 数 的 和 ， 即1，1，2，3，5，8，13，21，…。在这串数的前 2000 个数中，共有多少个 6 的倍数。9.2 最大公约数、最小公倍数[同步巩固演练]1、求 35，98，112 的最大公约数与最小公倍数。2、求 403，527，713 的最大公约数与最小公倍数。3、老师将 301 个笔记本，215 支铅笔和 86 块橡皮分给班里同学，每个同学得到的笔记本、铅笔和橡皮的数量都相同，那么，每个同学各拿到多少？4．两个数的最大公约数是 6，最小公倍数是 504，如果其中一个数是 42，那么另一个数是多少？5．某校全体学生列队，不论他们人数相等地分成 2 队，3 队，4 队，5 队，6 队，7 队，8 队或 9 队，都会多出 1人，那么该校至少有多少名学生？6．已知两数的最大公约数是 8，最小公倍数是 64，求这两个数。7．两个自然数的和是 432，它们的最大公约数是 36，求这两个数。8．两个整数的最小公倍数是 1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到的两个商的和是 16，求这两个整数。9．两个自然数的差是 3，它们的最大公约数与最小公倍数的积是 180，求这两个数。10．一块长方形地面，长 120 米，宽 60 米，要在它的四周和四角中树，每 2 棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？11．已知两个自然数的积是 5766，它们的最大公约数是 31，求这两个自然数。12．兄弟三人在外工作，大哥 6 天回家一次，二哥 8 天回家一次，小弟 12 天回家一次，兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？ 13．将长 25 分米，宽 20 米，高 15 分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？14．一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过 1 的整千克数，去掉箱子后地雷净重 201 千克，拿出若干个地雷后，净重 183 千克，求一个地雷的重量？15．甲、乙、丙三个班的学生人数分别是 54 人、48 人和 72 人，现要在各班内分别组织体育锻炼小组，但各小组的人数要相同。锻炼小组的人数最多是多少？这时甲、乙、丙三班各有多少个小组？16．设计一种底面为正方形的包装箱，装运四种不同规则的象棋。每种棋盒底面都是正方形，边长分别是 21 厘米、12 厘米、14 厘米和 10.5 厘米。要使包装箱不论装运哪一种规格的象棋都能铺满底面，问包装底面的边至少是多少厘米？17．一张长方形纸，长 2703 厘米，宽 1113 厘米，要把它裁成若干个同样大的正方形，纸张不能有剩余，正方形边长最大多少厘米？18．某数与 24 的最大公约数是 4，最小公倍数是 168，这个数是多少？19．所有形如 的六位数中（其中 a，b，c 均为从 0 到 9 的整数 a≠0）它们的最大公约数是多少？20．某公共汽车站有三条线路通往不同地方。第一条线路每隔 5 分钟发车一次，第二条线路每隔 6 分钟发车一次，第三条线路每隔 10 分钟发车一次，三条线路在同一时间发车后，再过多少分钟又同时发车？[能力拓展平台]1、（北京市第三届迎春杯试题）四个连续奇数的最小公倍数是 6435，这四个数中最大的一个数是多少？2、（天津市“我爱数学”试题）两个数的积是 5766，它们的最大公约数是 31，这两个数是几？3、（南京市第二届“兴趣杯”决赛题）七个不同的三位数的最大公约数中，最大的是几？4、两个自然数的和是 50，它们的最大公约数是 5，则这两个数的差是多少？5、设 a 与 b 为两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是 72 那么 a 与 b 之和可以有多少种不同的值？6、在被除数小于 100 的条件下，在方格中填上适当的数 □=4……4□÷ □=5……5 □=6……67、有三根铁丝，长度分别是 120 厘米、180 厘米和 300 厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，至少可截成多少段？8、将一块长 3.57 米、宽 1.05 米、高 0.84 米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块，问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）9、一排电线杆的每相邻两根的距离，原来都是 45 米，现在改成 60 米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不移动？如果马路全长 5400 米，一共有多少根可以不移动？10、某厂加工一种机器零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成 3 个，第二道工序每个工人每小时完成 12 个，第三道工序每个工人每小时可完成 5 个。要使生产顺利进行，又不浪费人力、时间，三道工序至少各分配几个工人？11、两个数的差是 48，最小公倍数是 60，求这两个数。12、（全国小学数学竞赛试题）甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是 12，如果甲、乙两数相差为 18，求此二数。13、（第二届华杯赛决赛一试题）在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成 10 等分，第二种刻度线把木棍分成 12 等分，第三种刻度线把木棍分成 15 等分，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？14、写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公约数是 1，但其中任意两个数都不互质。15、用 2、3、4、5、6、7 六个数组成两个三位数，使这两个三位数与 540 的公约数尽可能地大。16、写出三个小于 10 的自然数，使它们三个数中有两个数的最大公约数为 1，其余的最大公约数大于 1。17、已知[a,b]=1000,[b,c]=2000,[c,a]=2000,满足上述要求的数组{a，b，c}共有多少组？[全讲综合训练] 1、王斌每隔 7 天去图书馆借一次书，李兴每隔 10 天去借一次书，陈军每隔 15 天去借一次书。已知 4 月 20 日他们在一起借书，那么离 4 月 20 日最近的、他们三人又在同一天借书是几月几日？2、化肥厂包装车间对化肥进行包装，需要经过：扎编织袋、装化肥入袋，缝袋口以及搬运 4 道工序。每人每小时能扎编织袋 24 个，或装化肥 36 袋，或缝袋口 18 只，或搬运化肥 16 袋。这个车间至少要多少名工人才能进行合理分工？3、从甲、乙两地原来每隔 36 米安装一根电线，现在改成每隔 54 米安装一根电线杆。在安装过程中，除两端的两根不需要移动外，途中还有 14 根不需要移动。那么甲、乙两地相距多少米？4、甲、乙两位同学写了两个数给老师看，老师看后告诉大家：甲、乙写的是两个不互质的自然数，甲写的数除以 9，乙写的数除以 10 后，不改变这两个数的最大公约数，甲、乙写的两个数的最小公倍数是 180。你知道甲、乙两位同学分别写的是什么数？5、设 A，B 两个数都只含有质因数 3 和 5，它们的最大公约数是 75，已知 A 有 12 个约数，B 有 10 个约数，那么A，B 两数的和等于多少？6、已知两个自然数的差为 3，它们的最大公约数与最小公倍数之积为 180，求这两个自然数。7、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4 米，黄鼠狼每次跳 2 米，它们每秒钟都只跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔 12 米设有一个陷阱，当他们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？8、某班学生人数不超过 60 人，一次测验成绩分为优、良、及格和不及格四等，已知这次测验该班有 的学生得优， 的学生得良， 的学生及格，问该班不及格的学生有多少人？9、（第二届华杯赛试题）有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐 6 人，如果减少一条船，正好每船坐 9 人，这个班有多少人？10、（全国奥赛题，1992）把 26，33，34，35，63，85，91，143 分成若干组，要求每组中任两个数的最大公约数都是 1，那么，至少要分几组？11、把 1～1999 这 1999 个数分成 n 个小组，使每个数都至少在一个小组中，且第一组中没有 2 倍数，第二组中没有 3 倍数，第三组中没有 4 的倍数，…，第 n 组中没有 n＋1 的倍数，那么，n 至少是几？12、一组五个连续自然数的和能分别被 2，3，4，5，6 整除，求满足此条件的最小一组数。13、有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号，1 号同学写了一个自然数，2 号说：“这个数能被 2整除”，3 号说：“这个数能被 3 整除”，…15 号说：“这个数能被 15 整除”1 号同学一一验证后发现，只有（编号连续的）两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1 号写的数是五位数，请求出这个数。