第十五讲 发现规律解题[同步巩固演练]1、 写成循环小数后，小数点后第 1000 个数字是几？2、 化成小数后，小数点右边第 1991 位上的数字是多少？这 1991 个数字的和是多少？3、 化成小数后，小数点后第 50 位是什么数？4、把 化成小数后，小数点后面 1001 位的各位数字之和是多少？5、紧接着数字 1、9、8、9 后面写一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数。例如 8×9=72，则在 9 的后面写 2，又接着 9×2=18，则在 2 的后面写 8，…得到一列数字：1、8、8、9、2、8、6…请问：这串数字从 1 开始往右写，第 2002 个数字是什么？6、下图是一个三角形数阵： 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 … … 1 2 3 … … 1 989 1 990 1 2 3 … … 1 990 1 991 第 6 题如果分别求每一行中所有数的和，可以得到 1 991 个数，其中偶数有多少个？7、 除以 7 余几？8、连续写 100 个 12 得到一个自然数 ，这个数除以 13 的余数是几？9、19931993的个位数字是几？10、31986+72000的个位数字是几？11、231001×371002×481003的积的个位数字是多少？12、31986除以 4 的余数是几？13、一列数为 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，求第 1000 个数。[能力拓展平台]1、如果全体自然数按图排列，数 1003 应在哪个字母下面？ A B C D E 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 … … … … 第 1 题 17、6 个先把第 1 到第 5 个小朋友放完时四个盒中的球表示出来： 盒子 A B C D 初始状态 6 4 5 3第 1 人放过后 5 3 4 6第 2 人放过后 4 6 3 5第 3 人放过后 3 5 6 4第 4 人放过后 6 4 5 3第 5 人放过后 5 3 4 6显然，每经过 4 人放过后，四个盒子中球的情况重复出现一次，即周期是 4，而 34÷4=8……2可知：第 34 位小朋友放过后与第 2 位小朋友放过后的情况相同，即 B 盒中有球 6 个。18、B由题意可知这六个布袋是回投掷珠子，且除去第一排 A 袋投珠子数 1 以后，这样每排都只投掷五只布袋，奇数排是从 B 袋投掷到 F 袋，偶数排是从 E 袋投掷五只布袋，奇数排是从 B 袋投掷到 F 袋，偶数排是从 E 袋投掷到 A 袋，如此有周期规律地进行。（1992－1）÷5=1991÷5=398……1,可知第 1992 粒珠子应投掷在奇数排 B 袋中。19、第三列由图表 可 知连续 自 然数 是 按奇数 排自左 往 右五个 数，偶 数 排自右 往左四 个 数的规 律 共 9 个 数循环 排列.。1992÷9=664……1可知数 1992 应排列在第 222 组中偶数排第 3 个数的位置上，它在第三列中。20、1这列数可依次把三个数作为一组，第组数的第一个数都是 1，第二、第三个数从 1993 开始，依次减 1 排列。1993÷3=664……1这说明：第 1993 个数排列在（664＋1）665 组的第一个数，这个数是 1。21、2本题可直接看这串数被 3 除的余数，在求出 A 与 B 除以 3 的余数后，从第三个数起，把前两个数被 3 除所得的余数相加，然后除以 3，就得到这个数除以 3 所得的余数，算出前 10 个被 3 除的余数，列表如下：数的序号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十被 3 除的余数0 1 1 2 0 2 2 1 0 1从表中可以看出，第九、第十两个数被 3 除的余数与第一、第二两个数被 3 除的余数对应相同，因此，这串余数，以 8 个数为一个周期循环出现。1991=8×248＋7所以，第 1991 个数被 3 除的余数与第 7 个数被 3 除后的余数相同，也就是 2。22、（1）填表顶点数 边数 区域数（a）4 6 3(b) 8 12 5(c) 6 9 4(d) 10 15 6（2）该表可以看出，所给四个平面的顶点数、边数及区域数之间有下述关系： 4+3—6=1 8+5—12=1 6+4—9=110+6—15=1可以推断，任何平面图的顶点数、边数及区域数之间，都有下述关系：顶点数+区域数=边数=1（3）所求平面图的边数是：边数=顶点数+区域数—1， 999+999—1=1997 2、一串数字 9213…从第三个数字起，每个数字都是它前面两个数字之和的个位上的数字。问第 100 个数字是几？前 100 个数字之和是多少？3、字母 A、J、H、S、M、E 和数字 1989 分别按以下方式变动其次序： A J H S M E 1 9 8 9 J H S M E A 9 8 9 1（第一次变动） H S M E A J 8 9 1 9（第二次变动） S M E A J H 9 1 9 8（第三次变动）……至少经过多少次变动，AJHSME1989 将重新出现？4、在平面中任意作 20 条直线，这些直线最多可把这个平面分成多少个部分？5、100 个圆最多将平面分成多少部分？6、在平面上，作 100 条直线，使它们都相交于一点，这时将平面分成多少个部分？7、证明：32000+42001是 5 的倍数。8、如下表，第一组是“A1”，第二组是“B2”，…，第 26 组是什么？A B C D A B C D… …1 2 3 1 2 3 1 2… …9、如图，把 1～8 八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从 1 号开始顺时针方向前进 329 个位置，第二天接着按逆时针方向前进 485 个位置，第三天又顺时针前进 329 个位置，第四天再逆时针前进 485 个位置，如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的 1 号位置？ 第 9 题10、流水线上生产小木球涂色的次序是：先 5 个红，再 4 个黄，再 3 个绿，再 2 个黑，再 1 个白，然后又依次是 5红，4 黄，3 绿，2 黑，1 白……第 2004 个小球应涂什么颜色？11、数列 5，8，13，21，34，55，89……的规律是：从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。第 2004 个数被 3 除余数是几？12、1×2×3×…×500 的末尾有几个连续的零？13、50 位同学站一排，从左到右进行“1，2”报数，凡报 1 的离开，报 2 的留下，留下的人再按“1，2”报数，报1 的离开，报 2 的留下……直到剩下一个人为止，这个人在原队列中位于从左至右的第几个？14、500 位同学站成一排，从左到右“1，2，3”报数，凡报 1 和 2 的离队，报 3 的留下，向左看齐后，再重复同样的报数过程，直到剩下两个人，这两人在原来的队列中，位于从左至右的第几个？15、1994 位学生站成一排，从左至右进行“1，2，3，4”报数，凡报 4 的留下，其余同学离队，如此反复进行，直到不是 4 为止，问最后剩下几位同学？在原队列位于从左至右的第几个？16、一列数，第一个是 1949，第二个是 1994，从第三个开始，每个数是它前面两个数的平均值的整数部分，问这列数的第 100 个数是多少？17、在方格纸上画折线（如图），小方格的边长是 1，图中的 1、2、3、4……分别表示折线的第 1、2、3、4……段。求折线中第 1994 段的长度。 18、八个小于 20 的不同的正奇数的连乘积，其个位数字可能有哪几个？19、1～106的所有整数中，有多少整数 n，使 n3的个位数字为 1？有多少整数 n，使 n4的个位数为 1？[全讲综合训练]1、（北京市第五届“迎春杯”初一试题）今天是星期日，经过 992天是星期几？2、（第二届《小学生数学报》竞赛试题）有 249 朵花，按 5 朵红花、9 朵黄花、13 朵绿花的顺序排列，问最后一朵花是什么颜色的？这 249 朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？3、（福州市竞赛题，1994）小明爸爸出差离家时，小明看了钟面，他爸爸出差归来时，小明又看钟面，恰好是12 点整，而且恰好经过 200 小时，问：小明爸爸离家出 8 差时钟面是几点？4、（福建省第三届小火柜杯小学数学邀请赛决赛试题）（第六届《小学生数学报》竞赛试题）如果按红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的顺序，将 只彩灯依次反复排列，问哪些颜色的彩灯必定要比其他颜色的彩灯多一个。5．把 化成小数后，小数点后第 100 位上的数字是几？6、（北京市第三届“迎春杯”试题）自然数 —1 的个位数字是多少？7、（北京市第一届“迎春杯”试题）如图，把 16 把椅子摆成一个圆圈，依次编上 1 到 16 的号码，现在有一人从第 1 号椅子顺时针前进 328 个，再逆时针前进 136 个又顺时针前进 328 个，再逆时针前进 136 个，这时他到了第几号椅子上？ 第 7 题8、（哈尔滨市第十届未来杯竞赛题）如下图是按照一定规律用数组成的三角形，这个三角形第一排是 1 个数，第二排 2 个数，第三排 3 个数，……，最后一排是 10 个数，把这 55 个数相加所得的和的十位上的数字是几？ 1991 1991 1991 1991 3982 1991 1991 5973 5973 1991 1991 … … 1991 10 个数9、（北京市第八届迎春杯试题）一列数 1，2，4，7，11，16，22，29，……这列数的组成规律是第 2 个数比第1 个数多 1；第 3 个数比第 2 个数多 2；第 4 个数比第 3 个多 3；依次类推，那么这列数左起第 1992 个数，除以 5 的余数是几？10、（新加坡竞赛题，1993）观察下表：第一行：第二行： ，第三行： ， ，第四行： ， ， ， 问： 位于第几行。11、（北京市第二届迎春杯初一试题）自然数如下表的规则排列：1 2 5 10 17 … | | | |4— 3 6 11 18 … | | |9— 8— 7 12 19 … | | 16—15—14—13 20 … | 25—24—23—22—21 … … …（1）求上起第 10 行，左起第 13 列的数；（2）数 127 应排在上起第几行，左起第几例？12、（上海市竞赛题，1999）有 20 个等式1＋2=34＋5＋6=7＋89＋10＋11＋12=13＋14＋15…… ……第 20 个等式的左右两边的和都是多少？13、（“现代小学数学”竞赛题） 1＋2＋1 1＋2＋3＋2＋11＋2＋3＋4＋3＋2＋11＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1根据上面四式的计算规律求：1＋2＋3＋…＋1992＋1993＋1992＋…＋3＋2＋114、（第二届新苗杯竞赛题） 将数列 3 ，4 ，4 ，5 ，6 ，……依次排成 7 列，如果把最左边的列叫做第一列，从左到右依次编号，那么数列中的 64 应排在第几行第几例？3 4 4 5 6 610 10 9 8 8 711 12 12 13 14 1418 18 17 16 16 1515、（北京市第七届迎春杯试题）设 n= ，那么 n 的末两位数是几？16、（长春市竞赛题，1991）1991 个 1991 相乘的末两位数是几？17、（南京市竞赛题，1998）A、B、C、D 四个盒子中依次放有 6、4、5、3 个球，第 1 个小朋友找到放球最少的盒子，从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第 2 个小朋友找到放球最少的盒子，从其它盒子中各取一个球放入这个盒子……，如此进行下去，当 34 位小朋友放完后，问 B 盒子中放有多少个？18、（福州市竞赛题，1992）把珠子一个一个地如图按顺序往返不断地投入 A、B、C、D、E、F 袋中，问：第1992 粒珠子投入哪一个袋中？ 第 18 题19、（广州市竞赛题，1999）把自然数 1，2，3，4，5，……。如表依次排列成 5 列，问数“1992”在第几列？第一列 第二 第三列 第四列 第五列1 2 3 4 58 8 7 610 11 12 13 1418 17 16 15… … … … …… … … …20、（“现代小学数学”竞赛题，1993）有一列数：1、1993、1992、1、1991、1990、1、1989、1988、1……， 这一列数的第 1993 个数是多少？21、（全国奥赛题，1991）有一串数排成一行，其中第一个数是 15，第二个数是 40，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，那么在这串数中，求第 1991 个数被 3 除所得的余数。22、（第六届华杯赛试题）（1）下面的（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图。数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表（按填好的样子做）。顶点数 边数 区域数（a）4 6 3（b）（c）（d）（2）观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？（3）现已知某个平面图有 999 顶点，且围成了 999 个区域，试根据以上关系确定这个图有多少条边。第十五讲 发现规律解题[同步巩固演练]1、2=0. , 1000÷6=166……42 1,8958=0.0 (1991—1)÷6=331……4,所以小数点右边第 1991 位上的数字是 1。（8+5+7+1+4+2）×331+（8＋5+7+1）=89593、3=0. , 50÷3=16……2.4、4108=0. ，1001÷9=111……2，（0+1+2+3+4+5+6+7+8+9）×111+1=41085、4依照题述的规则多写几个数字：1989286884286884…，可见在 1989 后面的数字总是不断地循环出现 286884，每6 个数字一组，即循环周期为 6，因为（2002－4）÷6=333，第 2002 个数字正好是第 333 个循环的最后一数字，所以为 46、995 个因为和是按：奇、奇、偶、偶、奇、奇、偶、偶、……的循环，所以有 1990÷4×2=995（个）偶数。7、5．因为 1÷7=0……1，11÷7=1……4，111÷7=15……6 1111÷7=158……5，11111÷7=1587……2，111111÷7=15873，所以余数按 1，4，6，5，2，0 循环，100÷6=16……4，数余数是 5。8、12因为余数按 12，3，0，……循环，100÷3=33……1，所以余数是 129、3 因为 19931993的个 位数 字与 31993的个 位数 字相 同， 而 31993的个 位按 3，9 ，7 ，1 ，3 ，9 ，7 ，1 ，… …循 环 ，1993÷4=498……1，所以 19931993的个位是 310、0因 31986的个位是 9，72000 的个位是 1，所以 31986+72000 的个位数字是 0。11、4因为 231001的个位是 3，371002的个位是 9，481003的个位是 2，所以 231001×371002×481003的个位数字是 4。12、1因为 31986除以 4 的余数按 3，1，3，0，3，1，3，0，……循环，1986÷4=496……2，所以 31986除以 4 的余数是 1。13、45因为 1+2+3+4+……+44=990，所以 1000 个数是 45[能力拓展平台]1、C1003÷8=125……3，所以在 C 下面2、3、495按规则多写几个就是 9213471897639213……观察可发现是按 921347189763 循环，而 100÷12=8……4，所以第 100个数字是 3，（9＋2＋1＋3＋4＋7＋1＋8＋9＋7＋6＋3）×8＋（9＋2＋1＋3）=4953、12因为[6、4]=12，所以至少经过 12 次变动4、2111＋1＋2＋3＋……＋20=2115、99022＋2＋4＋6＋8＋……＋198=2×（1＋1＋2＋3＋……＋99）=99026、2002×100=2007、因为 32000的个位是 1，42001的个位是 4，32000＋42001的个位是 5，所以 32000+42001是 5 的倍数。8、B236÷4=6……2，是 B，26÷3=8……2，是 2，所以第 26 组是“B2”9、4 天（485—329）÷8=19……4，所以至少 4 天，10、黄色2004÷（5＋4＋3＋2＋1）=133……9，所以是黄色11、0因为这一串数中各数除以 3 的余数分别是 2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，……是按 8 个循环，2004÷8=250……4，所以第 2004 个数被 3 除余数是 0。12、124．[500÷5]+[500÷25]+[500÷125]=124，所以 1×2×3×……×500 的末尾有 124 个连续的零13、32从简单的开始分析，发现只含有质因数 2 的最大数留下，25=3214、234，486同上题，只含 3 的质因数的数是 35=243，另一个是 2×243=48615、1、1024同 13 题，210=1024，所以最后剩下 1 个，从左至右第 1024 个。16、1977这列数多写出几个是 1949，1994，1971，1982，1976，，1979，1977，1978，1977，1977……从第九个数起，每个数都是 1977。17、997将图中折线从第一段开始依次写出每段的长度，得到数列如下：2，1，3，2，4，3，5，4，6，5，7，6，8，7，……，发现规律如下：（1）第二段、第四段、第六段……的长度依次是 1、2、3……，也就是说偶数的长度是该段序号 的一半。（2）第一段比第二段、第三段比第四段、第五段比第六段……的长度都长出 1。所以第 1994 段的长度是 1994÷2=99718、5 和 1小于 20 的正奇数共 10 个，如取其中八个，当 5 或 15 至少取一个时，积的末位数必为 5，当八个数中未取到此二数时，八个正奇数的积的末位数为 1。19、105个，4×105个首先一个数为奇数时，积的末位数为奇数。N 的末位数1 3 5 7 9N2的末位数1 9 5 9 1N3的末位数1 7 5 3 9N4的末位数1 1 5 1 1据上表，只有当 N 的末位数为 1 时，N3的末位数为 1，而当 N 末位数为 1、3、7、9 时，N4的末位数都为 1，从而得解。[全讲综合训练]1、星期一992=9801=7×1400+1，所以经过 992天后是星期一。2、黄花、红花 50 朵，黄花 82 朵，绿花 117 朵。由于 5＋9＋13=27，因此花的排列以 27 朵为一周期，249=27×9＋6，所以最后一朵是黄色的，其中红花有：5×9＋5=50（朵），黄花有：9×9＋1=82（朵），绿花有：249－50－82=117（朵）3、4因为时针转一圈历时 12 小时。200÷12=16（圈）……8（小时），这样，以归来时 12 点整为起点，时针逆转 16圈后，再逆轩 8 小时，时针所指方向就是离家时刻。12-8=4（点）4、红、橙、黄、绿、青、蓝色灯的紫色多 1，因为 199219921992 能被 7 整除，2000÷3=666……2，即末尾还剩 19921992，19921992=7×2845998＋6，所以除去紫灯外，其它灯都多 1。5、8=0.6 ，这是一个循环小数，数字 428571 周期性地出现。100－1=6×16+3，可知小数点后第 100 位上的数字是 8。6、72，2×2，2×2×2，2×2×2，2×2×2×2×2 的积的个位数字分别是 2，4，8，6，2，因此个位数字变化规律是 4 个循环又 67=4×16+3，所以所求数的个位数字与 2×2×2－1 的个位数相同，即为 7。7、15328=20×16+8，485=30×16＋5，136=8×16+8。因此，本题相当于顺时针前进了：8+8+8=24（个），再逆时针前进了：5+5=10（个），总计顺时针前进了：24—10=14（个），这时他到了第 15 号。8、9仔细观察可知，第三行的 3982=1991×2；第四行的 5973=1991×3；由此可得：第二行有 2 个 1991，即 21个 1991；第三行有 4 个 1991，即 22个 1991；第四行有 8 个 1991，即 23个 1991；……，第十行有 29个 1991这 55 个数相加的和是：（1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256＋512）×1991=1023×1991经计算可知十位上数字是 9，9、2这列数除以 5 的余数排列是以 5 为周期的一列数。1992=5×398＋2，所以第 1992 个数被 5 除的余数与第 2 个被 5除的余数一样，也就是 2。10、198 行由表中前四行数知：每行的所有分数具有分子与分母的和相等；每行分数个数是该行的分子与分母的和减去 1。99＋100—1 =199—1 =198 因此 这个分数所在的行数是第 198 行。11、154，第 6 行，左起 12 列首先，数的排列有如下特点：①第一列的每个数都是完全平方数，恰好等于它所在行数的平方；②第一行的第 n 个数等于[（n—1）2+1]；③第 n 行中第一个数至第 n 个数依次递减 1；④第 n 列中第一个数至第 n 个数依次增加 1。（1）上起第 10 行，左起第 13 列的数应该是第 13 列的第 10 个数，第 13 列的第一个数是:[（12—1）2+1]=145则第 13 列第 10 个数是：145+9=154（2）数 127 满足关系式 127=112+6=[（12—1）2+1]+5即 127 在左起 12 列，上起第 6 行的位置。12、8610每个等式的第一数都是完全平方数，第 20 个等式的第一个数是 202=400第 20 个等式左边加数的个数比第一个等式左边加数多 19 个，共有 21 个。第 20 个等式左右两边的和是：400+401+402+…+420=400×21+ =861013、39720491+2+1=4=221+2+3+2+1=9=321+2+3+4+3+2+1=16=421+2+3+4+5+4+3+2+1=52因此每行的和正好等于中间最大加数的平方，则 1+2+3+…+1992+1993+1992+…+3+2+1=19932=3972049。14、16 行第 5 列这个数列的每一项的整数部分构成一个数列：3，4，4，5，6，6，7，8，8，9，10，10，11，12，12，……分数部分按 ， ， 循环出现。如果把这个数列整数部分所构成的数列每 3 项一组分组，则（64—3+1）÷3=20……2由于排列时以 63 、64 、64 为一组，因此 64 出现在原数列的第 31 组的第 2 个。每两组排列成一行，64 在第 16 行，按图中的排列方式，第 16 行右边空一项，所以 64 在第 5 列。所以数列中的 64 应排在第 16 行第 5 列。15、48210的 末 两 位 数 字 为 24 ， 220的 末 两 位 数 为 76 ， 230的 末 两 位 数 字 为 24 ， 240的 末 两 位 数 字 为 76 、 … ， 而1991=10×199+1，故 n 的末位数字为 24×2=48。16、911991 个 1991 相乘的末两位数字与 1991 个 91 相乘的末两位数字相同，91n的末两位数可由下表给出：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1091n的末两位数91 81 71 61 51 41 31 21 11 01于是 1991 个 91 的末两位字=91×01=91