2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 A 卷）一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分） 1.375+105 ×0.9．2．（10 分）如图是用六个正方形，六个三角形、一个正六边形组成的图案，正方形边长都是 2cm，这个图案的周长是　 　cm．3．（10 分）某项工程需要 100 天完成，开始由 10 个人用 30 天完成了全部工程的 ，随后再增加 10 个人来完成这项工程，那么能提前　 　天完成任务．4．（10 分）王教授早上 8 点到达车站候车，登上列车时，站台上的时钟的时针和分针恰好左右对称．列车 8 点 35 分出发，下午 2 点 15 分到达终点站．当王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，走出车站时恰好 3 点整．那么王教授在列车上的时间共计　 　分钟．5．（10 分）由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为 73326，则这些四位数中最大的是　 　．6．（10 分）如图所示，从长、宽、高分别为 15 cm，5 cm，4 cm的长方体中切割走一块长、宽、高分别为ycm，5cm，xcm的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为 120 cm3，那么x+y＝　 　．7．（10 分）一次数学竞赛有A，B，C三题，参赛的 39 个人中，每人至少答对了一道题．在答对A的人中，只答对A的比还答对其它题目的多 5 人； 在没答对A的人中，答对B的是答对C的 2 倍； 又知道只答对A的等于只答对B的与只答对C的人数之和．那么答对A的最多有　 　人．8．（10 分）甲，乙进行乒乓球比赛，三局两胜制．每局比赛中，先得 11 分且对方少于 10 分者胜； 10 平多得 2 分者胜．甲、乙二人得分总和都是 30 分，在不计比分先后顺序时，三局的比分共有　 种情况．二、解答下列各题（每小题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）两个自然数之和为 667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于 120．求这两个数．10．（10 分）酒店有 100 个标准间，房价为 400 元/天，但入住率只有 50%．若每降低 20 元的房价，则能增加 5 间入住．求合适的房价，使酒店收到的房费最高．11．（10 分）如图，长方形ABCD的面积是 56cm2．BE＝3cm，DF＝2cm．请你回答：三角形AEF的面积是多少？12．（10 分）当N取遍 1，2，3，…，2015 中所有的数时，形如 3n+n3的数中能够被 7 整除的有多少个？三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）如图所示，ABCD是平行四边形，AM＝MB，DN＝CN，BE＝EF＝FC，四边形EFGH的面积是1，求平行四边形ABCD的面积． 14．（15 分）“虚有其表”，“表里如一”，“一见如故”，“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表11 个非零连续自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，且“表”＞“一”＞“故”＞“如”＞“虚”，且各个成语中四个汉字所代表的数的和都是 21．则“弄”可以代表的数最大是多少？2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 A 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题 10 分，共 80 分）1．（10 分） 1.375+105 ×0.9．【分析】四则运算先算乘除，再算加减，把此题中的小数化成分数计算比较简单，然后利用分数乘法法则计算．【解答】解：1.375+105 ×0.9．＝ × +＝＝＝故答案为：2102．（10 分）如图是用六个正方形，六个三角形、一个正六边形组成的图案，正方形边长都是 2cm，这个图案的周长是　 24 　 cm．【分析】这个图案的周长＝六个三角形的边长+六个正方形的边长，依此列出算式计算即可求解．【解答】解：2×6+2×6＝12+12＝24（cm）答：这个图案的周长是 24cm．故答案为：24．3．（10 分）某项工程需要 100 天完成，开始由 10 个人用 30 天完成了全部工程的 ，随后再增加 10 个人来完成这项工程，那么能提前　 10 　 天完成任务．【分析】首先把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用 10 个人用 30天完成的工作量除以 10×30，求出每个工人每天完成这项工程的几分之几；然后求出再增加 10 个人 每天一共完成这项工程的几分之几，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用剩下的工作量除以再增加 10 个人每天一共完成的工作量，求出剩下的工程需要多少天；最后用 100 减去实际需要的时间，求出能提前多少天完成任务即可．【解答】解：100﹣30﹣（1﹣ ）÷[ ×（10+10）]＝70﹣ ÷＝70﹣60＝10（天）答：能提前 10 天完成任务．故答案为：10．4．（10 分）王教授早上 8 点到达车站候车，登上列车时，站台上的时钟的时针和分针恰好左右对称．列车 8 点 35 分出发，下午 2 点 15 分到达终点站．当王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，走出车站时恰好 3 点整．那么王教授在列车上的时间共计　 360 　 分钟．【分析】钟面上 12 个数字把钟面平均分成 12 份，每份所对应的圆心角是 360°÷12＝30°，即每两个相邻数字间的夹角是 30°，分针每分钟走 ＝6°，时针每分钟走 ＝0.5°，8 时整时分针与时针的夹角是 120°，由于登上列车时，站台上的时钟的时针和分针恰好左右对称，是 8时过 120÷（6+0.5）＝ （分），此时是 8 时 分；下午 2 时 15 分时，分钟与时针的夹角是15×6﹣（60+0.5×15）＝22.5（度），又有王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，是下午 2 时 15 分过 22.5÷（6+0.5）＝ （分），此时是下午 2 时 15 分+ 分＝下午 2 时分，两个时间之差就是王教授在车上的时间．【解答】解：8 时整时分针与时针的夹角是 120°，120÷（6+0.5）＝ （分），王教授登上车的时间是：8 时 分；下午 2 时 15 分时，分钟与时针的夹角是 15×6﹣（60+0.5×15）＝22.5（度），22.5÷（6+0.5）＝ （分），王教授下车的时间是：2 时 15 分+ 分＝下午 2 时 分；下午下午 2 时 分化成 24 计时法是 14 时 分14 时 分﹣8 时 分＝6 小时6 小时＝360 分钟．故答案为：360．5．（10 分）由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为 73326，则这些四位数中最大的是　 5321 　 ．【分析】设四个数字分别为a、b、c、d．根据题意可得以a开头的组合有：abcd，abdc，acbd，acdb，adbc，adcb6 个，则这六个四位数分别是：a×1000+b×100+c×10+d×1，a×1000+b×100+c×1+d×10，…a×1000+b×1+c×10+d×100，这 6个数的和是 6000a+222b++222c++222d；同理，以b开头的 6 个四位数的和是222a+6000b+222c+222d；以c开头的 6 个四位数的和是 222a+222b+6000c+222d；以d开头的 6 个四位数的和是 222a+222b+222c+6000d；把它们组成的四位数全部加起来，就是 6666（a+b+c+d），则6666（a+b+c+d）＝73326，即a+b+c+d＝11，则分析可得a、b、c、d是 1、2、3、5 中的一个数字，所以组成的四位数中最大四位数是 5321，最小是 1235．【解答】解：设四个数字分别为a、b、c、d．根据题意可得以a开头的组合有：abcd，abdc，acbd，acdb，adbc，adcb6 个， 则这六个四位数分别是：a×1000+b×100+c×10+d×1，a×1000+b×100+c×1+d×10，…a×1000+b×1+c×10+d×100，这 6 个数的和是 6000a+222b++222c++222d；同理，以b开头的 6 个四位数的和是 222a+6000b+222c+222d；以c开头的 6 个四位数的和是 222a+222b+6000c+222d；以d开头的 6 个四位数的和是 222a+222b+222c+6000d；则 6666（a+b+c+d）＝73326，即a+b+c+d＝11，分析可得a、b、c、d是 1、2、3、5 中的一个数字，所以组成的四位数中最大四位数是 5321．故答案为：5321．6．（10 分）如图所示，从长、宽、高分别为 15 cm，5 cm，4 cm的长方体中切割走一块长、宽、高分别为ycm，5cm，xcm的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为 120 cm3，那么x+y＝　 15 cm 　 ．【分析】割走的长方体的体积＝大长方体的体积﹣余下部分的体积，依此列出算式 15×5×4﹣120 求得割走的长方体的体积，再根据x，y为整数，由整数的性质即可求解．【解答】解：15×5×4﹣120＝300﹣120＝180（cm3）则 5xy＝180，即xy＝36，因为x，y为整数，且 0＜x＜4，0＜y＜15，所以x为 3cm，y为 12cm，x+y＝15cm．故答案为：15．7．（10 分）一次数学竞赛有A，B，C三题，参赛的 39 个人中，每人至少答对了一道题．在答对A的人中，只答对A的比还答对其它题目的多 5 人； 在没答对A的人中，答对B的是答对C的 2 倍； 又知道只答对A的等于只答对B的与只答对C的人数之和．那么答对A的最多有　 23 　 人．【分析】由题意得，如下图所示：只答对A的人数是 3b+a，答对A还答对其他题目的人数是3b+a﹣5，所以有：3b+a+3b+a﹣5+3b+2a＝39，化简得 4a+9b＝44，然后对a、b进行取值，求得a、b，取a、b的最大值；因为答对A的人共 3b+a+3b+a﹣5＝6b+2a﹣5，把a、b的最大值代入 6b+2a﹣5 中，解决问题．【解答】解：只答对A的人数是 3b+a，答对A还答对其他题目的人数是 3b+a﹣5，所以有：3b+a+3b+a﹣5+3b+2a＝39，化简得：4a+9b＝44，因为a、b都为自然数，所以当a＝2 时，b＝4；当a＝11 时，b＝0，即 或答对A的人共 3b+a+3b+a﹣5＝6b+2a﹣5，把a、b的最大值代入 6b+2a﹣5 中，最大值是：6×4+2×2﹣5＝24+4﹣5＝23（人）答：答对A的人最多有 23 人． 故答案为：23．8．（10 分）甲，乙进行乒乓球比赛，三局两胜制．每局比赛中，先得 11 分且对方少于 10 分者胜； 10 平多得 2 分者胜．甲、乙二人得分总和都是 30 分，在不计比分先后顺序时，三局的比分共有　 8 种情况．【分析】通过分析可知：甲、乙二人得分总和都是 30 分，30＜3×11，三局中其中一个人胜了两局，所以至少有两个分数不小于 11，甲得分总和是 30：30＝11+9+10，乙对应的得分是：30＝7+11+12：对应的比分是 ，之后 7、9 依次减 1，10 和 12 依次加 1： 、 、、 、 、 、 ，上面 8 种都是乙取得了胜利，甲取得胜利对应的也是 8 种，但考虑不计比分先后顺序，故有 8 种情况，据此解答即可．【解答】解：甲、乙二人得分总和都是 30 分30＜3×11三局中其中一个人胜了两局，所以至少有两个分数不小于 11，甲得分总和是：30：30＝11+9+10乙对应的得分是：30＝7+11+12：对应的比分是 ，之后 7、9 依次减 1，10 和 12 依次加 1：、 、 、 、 、 、上面 8 种都是乙取得了胜利，甲取得胜利对应的也是 8 种，但考虑不计比分先后顺序，故有 8 种情况，答：三局的比分共有 8 种情况．故答案为：8．二、解答下列各题（每小题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．（10 分）两个自然数之和为 667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于 120．求这两个数．【分析】667＝23×29，最小公倍数除以最大公约数，所得的商是 120，如果 23 是它们的最大公约数的话，那么 29 就得拆成两个数和，并且积是 120，试验得到 29＝24+5，24×5＝120，所以两数分别是 24×23＝552，5×23＝115；同样，如果 29 是它们的最大公约数的话，那么 23 就得拆成两个数的和，并且积是 120，试验得到 23＝15+8，15×8＝120；所以两数分别是 15×29＝435，8×29＝232．【解答】解：667＝23×29，由题意，假设 23 是它们的最大公约数，由于 29＝24+5，24×5＝120，所以两数分别是 24×23＝552，5×23＝115；假设 29 是它们的最大公约数，由于 23＝15+8，15×8＝120；所以两数分别是 15×29＝435，8×29＝232；答：这两个数是 115 和 552，或者 232 和 435． 10．（10 分）酒店有 100 个标准间，房价为 400 元/天，但入住率只有 50%．若每降低 20 元的房价，则能增加 5 间入住．求合适的房价，使酒店收到的房费最高．【分析】计算出原房价以及降价相应价格后的酒店收益，然后进行比较，即可．【解答】解：由题意分析得①房价为 400 元/天，入住房间为 100×50%＝50，所以收到的房费为：400×50＝20000 元；②房价为 380 元/天，入住房间为 50+5＝55，所以收到的房费为：380×55＝20900 元；③房价为 360 元/天，入住房间为 60，所以收到的房费为：360×60＝21600 元；④房价为 340 元/天，入住房间为 65，所以收到的房费为：340×65＝22100 元；⑤房价为 320 元/天，入住房间为 70，所以收到的房费为：320×70＝22400 元；⑥房价为 300 元/天，入住房间为 75，所以收到的房费为：300×75＝22500 元；⑦房价为 280 元/天，入住房间为 80，所以收到的房费为：280×80＝22400 元；⑧房价为 260 元/天，入住房间为 85，所以收到的房费为：260×85＝22100 元；答：当房价为 300 元/天时，酒店受到的房费最高．11．（10 分）如图，长方形ABCD的面积是 56cm2．BE＝3cm，DF＝2cm．请你回答：三角形AEF的面积是多少？【分析】如图所示：过点F作AD的平行线GF，则三角形AGF是长方形AGFD的面积的一半；三角形GEF是长方形GBCF的面积的一半，所以四边形AGEF的面积就是长方形ABCD的面积的一半；而阴影部分的面积等于四边形AGEF的面积减去三角形AGE的面积，据此代入数据即可求解．【解答】解：据分析可知：四边形AGEF的面积为：56÷2＝28（平方厘米），则阴影部分的面积为：28﹣2×3÷2＝28﹣3＝25（平方厘米）．答：三角形AEF的面积是 25 平方厘米．12．（10 分）当N取遍 1，2，3，…，2015 中所有的数时，形如 3n+n3的数中能够被 7 整除的有多少个？【分析】通过分析可知：3n除以 7 的余数以 6 为周期，3、2、6、4、5、1；n3除以除以 7 的余数以 7 为周期，1、1、6、1、6、6、0，则总周期为 42，当余数和为 7 的倍数时能够被 7 整除，列表如图： 再看看 2015 里共有多少个这样的周期，据此列式计算即可．【解答】解：如图：3n除以 7 的余数以 6 为周期，3、2、6、4、5、1；N3除以除以 7 的余数以 7 为周期，1、1、6、1、6、6、0；则总周期为 42：2015÷42＝47…4147×6+6＝282+6＝288（个）答：能够被 7 整除的有 288 个．三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）如图所示，ABCD是平行四边形，AM＝MB，DN＝CN，BE＝EF＝FC，四边形EFGH的面积是1，求平行四边形ABCD的面积．【分析】如图，作EQ∥CD，FP∥CD，分别交BN与点Q、P，然后分别判断出△HEQ、四边形EFPQ、△FGP的面积占平行四边形ABCD的面积的几分之几，进而求出四边形EFGH的面积占平行四边形ABCD的面积的几分之几；最后根据分数除法的意义，用四边形EFGH的面积除以它占平行四边形ABCD的面积的分率，求出平行四边形ABCD的面积是多少即可．【解答】解：如图， ，作EQ∥CD，FP∥CD，分别交BN与点Q、P，因为 ，所以 ；因为△BEM的面积占平行四边形ABCD的面积的：，所以△HEQ的面积占平行四边形ABCD的面积的：＝＝因为 ＝ ，所以△BFP的面积占△BCN的面积的： ，所以四边形EFPQ的面积占平行四边形ABCD的面积的：＝＝因为 ，所以△FGP的面积占平行四边形ABCD的面积的：＝＝所以平行四边形ABCD的面积的：1＝1÷＝8 答：平行四边形ABCD的面积是 8 ．14．（15 分）“虚有其表”，“表里如一”，“一见如故”，“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表11 个非零连续自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，且“表”＞“一”＞“故”＞“如”＞“虚”，且各个成语中四个汉字所代表的数的和都是 21．则“弄”可以代表的数最大是多少？【分析】有明确大小关系的“表、一、故、如、虚”，其实都是成语中有重复的数字，每个四字成语的和都是 21，那么总和是 21×4＝84，所有数是连续的 11 个非零自然数，因此它们的和一定是 11 的倍数，它们可能是：① 1﹣﹣11，和为 66，即 5 个重复数字之和为 84﹣66＝18；② 2﹣﹣12，和为 77，5 个重复数字之和为 84﹣77＝7，由于每个数各不相同，因此这种情况不可能，可得这五个重复数字之和为 18，所有数是 1﹣﹣11，重复数字只有以下几种可能：① 1、2、3、4、8；② 1、2、3、5、7；③ 1、2、4、5、6 代入发现只有情况③符合情况，每个数都填入后，可得虚＝1，故＝4，弄、玄只能是 9、7，由此得解．【解答】解：根据分析可知，表、一、故、如、虚”，五个重复数字之和为 18，因为所有数是 1﹣﹣11，重复数字只有以下几种可能：① 1、2、3、4、8；② 1、2、3、5、7；③ 1、2、4、5、6代入发现只有情况③符合情况，每个数都填入后，可得虚＝1，故＝4，弄、玄只能是 9、7，弄最大是 9．答：“弄”可以代表的数最大是 9．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:00:27；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800