2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（一组一试）一、填空题（共 3 小题，每题 10 分）1．（10 分）化简：1÷[a+1÷（b+ ）]÷ ﹣ ＝　 　．2．（10 分）小兔和小龟同时从A地出发到森林游乐园，小兔 1 分钟向前跳 36 米，每跳 3 分钟就原地玩耍，第 1 次玩耍 0.5 分钟，第 2 次玩耍 1 分钟，第 3 次玩耍 1.5 分钟，…，第k次玩耍 0.5k分钟，小龟途中从不休息和玩耍．已知小龟比小兔早到森林游乐园 3 分 20 秒，A地到森林游乐园有 2640 米，则小龟 1 分钟爬行　 　米．3．（10 分）A、B、C、D用 10、20、30、40 四个数的一个排列代入，使得式 的值最大，则A+2B+3C+4D的值为　 　．二、解答题（共 3 小题，每小题 10 分，写出解答过程）4．（10 分）长方形O1O2BA的宽AO1＝1 厘米，分别以O1与O2为圆心，1 厘米为半径画圆O1和圆O2，交线段O1O2于点C和D，如图所示，则四边形ABCD的面积等于多少平方厘米？5．（10 分）对于十进制自然数n，S（n）表示n的数码和，三位数中满足S（a）＝S（2a）的数a有多少个？6．（10 分）n张纸片，每张都写有不大于n的 3 个不同正整数，任意 2 张纸片恰有一个数是相同的，求纸片上所有写的数的和．2010 年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（一组一试）参考答案与试题解析一、填空题（共 3 小题，每题 10 分）1．（10 分）化简：1÷[a+1÷（b+ ）]÷ ﹣ ＝　 1 　 ．【分析】本题先把除法变成乘法，提取公因数，最后约分即可．【解答】解：1÷[a+1÷（b+ ）]÷ ﹣＝ ﹣＝ ﹣＝＝＝1；故答案为：1．2．（10 分）小兔和小龟同时从A地出发到森林游乐园，小兔 1 分钟向前跳 36 米，每跳 3 分钟就原地玩耍，第 1 次玩耍 0.5 分钟，第 2 次玩耍 1 分钟，第 3 次玩耍 1.5 分钟，…，第k次玩耍 0.5k分钟，小龟途中从不休息和玩耍．已知小龟比小兔早到森林游乐园 3 分 20 秒，A地到森林游乐园有 2640 米，则小龟 1 分钟爬行　 12 　 米． 【分析】首先分析兔子不休息时用时多少，再找出休息的次数，求出对应的时间做差即是乌龟的时间．即可求解．【解答】解：依题意可知：小兔子不休息需要 2640÷36＝73 ．24×3＝72 证明兔子休息了 24 次．24 次休息的时间成等差数列．0.5，1，…，12．那么休息时间是 0.5+1+1.5+2+…+12＝150（分钟）兔子的总时间为：150+73+ ＝223 ．乌龟的时间是 223 ﹣3 ＝220（分）乌龟的速度为：2640÷220＝12（米/分）故答案为：123．（10 分）A、B、C、D用 10、20、30、40 四个数的一个排列代入，使得式 的值最大，则A+2B+3C+4D的值为　 290 　 ．【分析】先观察一下，分子为 1，则分数的大小由分母决定，故分母要取最小值，分别讨论，得出A，B，C，D的值【解答】解：根据分析，要使得分数 最大，分母 要取最小值，则A＝10，则A后面的分数 要最大，分母要最小，则B＝20，B加的后面那个分数 要最小，分母要越大，故C＝40，D＝30则A+2B+3C+4D＝10+2×20+3×40+4×30＝290故答案为：290二、解答题（共 3 小题，每小题 10 分，写出解答过程）4．（10 分）长方形O1O2BA的宽AO1＝1 厘米，分别以O1与O2为圆心，1 厘米为半径画圆O1和圆O2，交线段O1O2于点C和D，如图所示，则四边形ABCD的面积等于多少平方厘米？【分析】按题意，可以过D作DE⊥AB于E，易知AE＝O1D＝O2C，△AED与△BCO2的面积相等，可以得出，图中阴影部分的面积即等于正方形EBO2D的面积，不难求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，如图，过D作DE⊥AB于E，易知AE＝O1D＝O2C，△AED与△BCO2的面积相等，可以得出，图中阴影部分的面积即等于正方形EBO2D的面积＝1×1＝1（平方厘米）． 故答案是：15．（10 分）对于十进制自然数n，S（n）表示n的数码和，三位数中满足S（a）＝S（2a）的数a有多少个？【分析】根据进一减九数字谜规律，在做加法运算时，每进位一次，和的数字和比加数的数字和减少 9．比如 35+8＝43，3+5+8＝16，4+3＝7，16﹣7＝9．进位两次数字和减少 18，比如 67+44＝111，6+7+4+4＝21，1+1+1＝3，21﹣3＝18．同样的有三次进位数字和就会减少 27．因为S（a）＝S（2a）一定需要有进位才会满足条件，进位就会减少 9，18 或 27．比如 108+108＝216，有一次进位数字和减少 9 两次就相等．要求的三位数一定是 9 的倍数．所以相加没有进位的，或者是多进位的都是不满足条件的．【解答】解：解法一：以下用a表示满足条件的三位数．0＝S（2a）﹣S（a）≡S（2a﹣a）≡S（a）（mod9），所以a是 9 的倍数，是 9 的倍数的三位数有 12×9，13×9，…111×9 共计 100 个，（1）数码 5＞x≥y≥z≥0，且数字和为 9 的数组{x，y，z}＝{4，4，1}，{4，3，2}，{3，3，3}．数组{4，4，1}可以组成 3 个三位数，数组{4，3，2}可以组成 6 个数字，数组{3，3，3}可以组成 1 个三位数．这 10 个数不满足条件．（2）设a＝100x+10y+z，x，y，z为数码，则 2a＝100×2x+10×2y+2z．若x，y，z中有一个不小于 5 时，例如y＞5 则 2y＝10+m，0≤m≤8．2a＝100×（2x+1）+10×m+2z，S（2a）＝2x+1+m+2z＝2x+1+（2y﹣10）+2z＝2（x+y+z）﹣9＝2S（a）﹣9，完全一样可以证明，当x，y，z中有k（0≤k≤3）个数码大于 5 时，S（2a）＝S（a）﹣9k，因此数码x≥5＞y≥z≥0，且其和为 9 的数组{x，y，z}所组成的三位数是满足条件的数．数码和为 9 的三位数不可能有 2 个大于 4 的数码．（3）三个数码和是 18 的三位数，至少有 2 个数码大于 4，由上面的说明，三个数码个位 18 的三位数恰好有 2 个数码大于 4 时这样的三位数满足条件，三个数码和为 19，恰有 3 个数码大于 4 的数组．{x，y，z}，x≤y≤z．{x，y，z}＝{5，5，8}；{5，6，7}；{6，6，6}；用数码{5，5，8}可组成 3 个数字，用数码{5，6，7}可组成 6 个三位数，用数码{6，6，6}可组成 1 个三位数，共计 10 个，这 10 个三位数不满足条件（4）三个数码和为 27 的三位数只有 999，满足条件．综上所述，这 100 个 9 的倍数的三位数中，有 20 个不满足条件，所以满足条件的三位数有 80 个．解法二：三位数中 9 的倍数每 100 个数中都有 10 个是 9 的倍数．从 100﹣999 共有 100 个 9 的倍数．当S（a）＝9 需要进位一次是满足条件，三位数字都是小于 5 的组合没有进位不满足条件：（2，3，4）组合共 6 个数字，（1，4，4）组合共 3 个数字，（3，3，3）共 1 个数字．S（a）＝18 时需要进位两次满足条件，三位数字都大于 4 的组合进位三次不满足条件：（5，5，8）组合共 3 个数字，（5，6，7）组合共 6 个数字，（6，6，6）组合 1 个数字．S（a）＝27 时，999 满足条件．100 个 9 的倍数中有 20 个不满足条件 100﹣20＝80． 故答案为：80．6．（10 分）n张纸片，每张都写有不大于n的 3 个不同正整数，任意 2 张纸片恰有一个数是相同的，求纸片上所有写的数的和．【分析】由题意，每个数字都是出现了 3 次，n≥2k+1＝7，再分析出n＝7，此时，7 张牌上的数字是 1﹣7，各出现 3 次，数字和为 84．【解答】解：设a是出现最多的数字．一共有k张，则这k张纸片一共写有 2k+1 个不同的数字，因为每个数都不大于n，所以 2k+1≤n．因此，k＜n，所以，至少还有一张纸片没写上a．这张没写a的纸片与前面 k 张纸片中任一张纸片都恰 有一个数相同，这些数字彼此不同，而且这个数不是a．但是这张纸片上只有三个不同的数字，所以，k＝3．因此，n≥2k+1＝7．另外，n张纸片写有 3n个数，同 一个数最多写 3 次，所以，1，2，…n 每个数都写了 3 次．如果n＞7，三张写有 1 的纸片上有 7 个不同的数，由于 n＞7，所以，还有一 个数不出现在这三张纸片上，记为 b．写有b的纸片上有 3 个数，这张纸片与写有a的三张纸片的每一张恰有一个相同的数字，这个数字不是 1，也不是b．但是写有b的纸片上，除了b外，还只有 2 个数字，不可能与写有 1 的三张纸片每张都有一个相同的数字．所以n＝7． 每个数恰在三张纸片上出现，所有写的数的和为3×（1+2+…+7）＝3×28＝84．下面是一个实例：1，2，3；1，4，5；1，6，7；2，4，6；2，5，7；3，4，7；3，5，6．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:49:07；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800